跨学科视域下高中物理数学思维方法融合的习题教学策略研究

李旖旎

摘   要：基于高中物理课程的特点，在习题教学中通过合理创设问题情境，引导学生将物理科学思维及科学探究方法与数学思维方法如图像法、矢量法、阿氏圆法等相结合，可有助于学生物理模型建构能力、利用证据分析论证等能力的提高。

关键词：跨学科;高中物理;思维融合;习题教学

引言

高中物理课程以立德树人、提高学生物理学科核心素养为根本目的，在学科间交叉融合日益紧密的今天，为了更加有效地培养学生的科学思维能力和科学探究能力，在习题教学中应有意识地结合物理学科的特点，注重与数学思维方法的融合。

1  高中物理跨学科教学是新课程背景对提高学生物理学科核心素养提出的新要求

1.1  高中阶段物理学科特点

作为自然科学领域的一门基础学科，物理学始终引领着人类探索自然和科技发展的方向，也深刻地影响着人们看待世界的思维方式。物理学以观察和实验为学科底色，建构物理模型，以数学为表达工具，形成系统的研究方法和理论体系。高中阶段的物理课程，肩负着立德树人的根本任务，帮助学生从物理学的视角观察自然现象，提炼物理情境，建构思维模型，通过科学猜想及实验探究，最终以数学为表达工具，对证据进行论证及思维定律的提炼和升华。

1.2  跨学科研究是现代科技发展的必然结果

一切科技的进步都来源于测量工具的进步，而测量工具的进步又与物理学科的发展密不可分，正是物理学科的发展促进了科学技术的发展。同时现代各个领域的科技发展又给予了物理学进一步研究与发展的灵感。在现代，各学科间的相互交融日益加深。

2  高中物理习题教学中物理与数学思维方法融合的教学策略

2.1  基于学科特点的高中物理与数学思维方法融合

数学思维方法的应用广泛存在于物理研究及学习的方方面面。针对学生物理观念的学习，运用数学思维方法能够对物理规律进行简洁准确的表达;针对学生科学思维及科学探究能力的提高，数学工具的应用在物理实验数据的处理、科学论证的过程中必不可少;而针对学生科学态度与责任的培养方面，数学语言的表达有助于学生感受物理之美、科学之美。

2.2  高中物理数学融合的习题教学策略及案例

习题是学生学习过程中必不可少的一环。习题的意义不仅仅在于帮助学生诊断学习问题，习题教学的意义也不仅仅在于就题论题地评讲知识点。从提高学生关键能力的角度上看，习题及习题教学除了作为学生日常学习的一种评价方式，更可以以习题为载体，通过创设合理的学科情境与步步深入的问题情境，引导学生对相关问题进行科学推理，从情境中发现可研究的问题，通过数学思维方法的运用，提高学生利用数学建模设计探究方案的能力、获取并利用数学工具分析、处理证据的能力和利用数学表达工具解释探究结果的能力。

下面通过两个案例来说明高中物理习题教学与图像法、矢量加减法的思维融合策略。

2.2.1  高中物理习题教学与数学图像法的思维融合

图像法是数学中用于描述因变量与自变量间函数关系的一种常用方法，由于它数形一体，因而相较于列表法、函数表达法等图像法在物理研究中能够更为直观明了地展现物理量之间的关系，因此图像法是描述与探索物理规律时的重要工具。

在高中物理习题教学过程中，通过合理的问题情境的设置，可以引导学生体会将其他学科思维方法用于物理科学探究的过程、利用数学图像法对物理量之间的关系进行直观深入的分析推理，更深刻地解释物理规律内涵。

【例题1】某同学甲利用图1所示的玻意耳定律演示仪来验证玻意耳定律：当温度不变时，定量理想气体的体积与其承受的压力成反比。已知在实验中可以通过移动右侧针筒活塞的位置来改变针筒中封闭气体的体积，同时针筒底部与左侧刻度盘内部导通，利用刻度盘可读出对应的气体压强的大小。实验中该同学测得的气体体积及对应压强数据如表1所示：

（1）通过计算，该同學发现如下表1中各组气体体积与对应压强的乘积并不相等，请你判断可能的原因是： _______________________________________;

（2）另一同学乙同样也进行了实验，她首先将针筒活塞推至“10 ml”刻度处，此时刻度盘上的气体压强值为0.50 atm，接着将针筒活塞移至“0 ml”刻度处，此时刻度盘上的气体压强值为1.00 atm，则通过以上数据可知：固定在基座上的连接针筒与刻度盘的导管容积约为_________ml;

（3）我们研究物理问题时，经常利用图像法来直观地展现物理量之间的关联性。有一同学丙在进行上述实验时希望利用图像法来直观展现封闭气体体积与压强间的关系，则：

①其应选择的是________图像（填“P-V”或“-V”）;

②该同学以甲同学所测气体体积V为横坐标，以其所测气体压强的倒数为纵坐标画图，则其所作图形应为图2中A、B、C三条直线中的_____（填“A”“B”或“C”）;理论上通过图像求得图线斜率、利用理想气体状态方程=C将可求出实验时的环境温度（假设针筒导热性能良好），则在忽略针筒及刻度盘间的导管容积的情况下该同学所求得的环境温度值将____（填“偏高”“偏低”或“不变”）。

在本例中，教师以玻意耳定律演示仪为媒介，首先引导学生通过对实验数据的观察研究，发现问题，同时引入列表法在本实验中的应用，通过让学生尝试计算，体会列表法虽然也能反映物理量之间的关系，但却失之直观;之后从理想气体状态方程出发，对学生熟悉的P-V图像题型进行改造，考虑到学生此前可能已经接触过P-图像，并且知晓等温变化下P-V图像及P-图像的表现形式（分别为双曲线的一支以及过坐标原点的直线）及P-图像象的斜率的物理意义（斜率大小表征温度高低），本题引导学生思考等温变化下-V图像的表现形式（过坐标原点的直线）及其斜率的物理意义（同样表征温度高低，且斜率越大表示温度越低），帮助学生经历科学探究中证据的获取、使用及运用数学思维方法对分析证据起到的作用。

2.2.2  高中物理习题教学与数学向量、阿氏圆的思维融合

学生在高中阶段对物理的再学习是从运动学开始的。这是因为在物理学对自然界的种种认知中，物体时空坐标的改变是最容易被观测到的，我们对事物运动的研究，总是从表象上的空间位置变动、再到对其受力状态的动力学分析、进而深入考量作用其上的力的空间/时间累积效应，这是符合物理学科学研究的原则的，同时课程中的这一学习顺序也是符合学生认知水平的发展的。

另一方面，在高中物理课程的学习中，学生熟知物理量分为矢量（向量）及标量两类，也明了矢量加减遵循平行四边形定则，同时学生在高中数学课程中也进行了向量的系统学习。但往往由于学生在进行运动学的相关学习阶段数学向量课程尚未完成学习，导致学生在面对许多运动学的问题情境时，只能流于运用运动学尤其是匀变速直线运动的相关定理公式进行复杂运算，反倒忽视了运动本身的直观性。

在学生进入高三总复习阶段后，教师可以采用旧题改造等形式，在运动学情境中引导学生利用数学相关知识，进行向量角度的再思考和再解答，实现不同知识模块之间的思维贯穿融合，帮助学生深入体会物体运动规律。

【例题2】如图3所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，已知OA连线与水流方向平行，OB连线与水流方向成α角，且OA=OB，如图3所示若水流速度不变，两人在静水中游速相等且大于水流速度，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为（      ）。

A. t甲<t乙   B. t甲=t乙   C.t甲>t乙   D.无法确定

常规思路下，我们可以假设人的静水游速为v1，水速为v2，OA=OB=d，则t甲=+=，而乙的运动时间t乙的求解则相对麻烦一些：因为题中并未给出人的静水游速v1与水速v2的具体比值，且OA与OB既不平行也不垂直，我们只能通过余弦定理来勉强列式（如图4所示），试图通过求解一元二次方程v12=v22+v合2-2v2v合cosα及v12=v22+v合2-2v2v合cos（180°-α）得出乙从O到B的合速度v合 以及从B回到O的v合速度，然后利用t乙=+通过计算来比较t甲与t乙的大小。

显然，上述方法所涉及的计算量很是巨大。其实在这类问题当中，我们可以基于运动的合成与分解的原理，利用阿氏圆以及向量的数学思维方法来解决问题。

设水流方向水平向右，为研究的一般化起见，假设现在某人从河中O点出发，游至C点后立即游回O点，其中C点满足OC连线与水流方向成角θ（先讨论θ≤90°的情况）.从O到C人发生了一段位移s，之后从C返回O人发生了一段位移s'.根据运动的分解与合成的原理，这两段位移分别可看成由人在静水中发生的分位移s1、s1'和人跟随流水顺流而下的分位移s2、s2'组成（如图5所示）。

其中s1=，s2=，s1'=，s2'= .从人O→C→O的运动全过程来看，人的位移可看成由这四段位移相加而成（如图6所示），由于水速方向总是顺流而下，可知E、C、F三点总在同一直线上。

假设人在静水中的游速为v1，水速为v2，人从O运动到C所用时间为t，从C回到O所用时间为t'. 由分运动的等时性可知=，=. 设=k（k≠0），则==k，即==k. 根据数学上阿氏圆的定义，显然E、F两点位于同一个阿氏圆上。由于E、C、F三点共线，是此阿氏圆的一条弦。人O→C→O的运动全过程所用时间t总=t+t'==∝||. 由圆的最短弦性质可知，当∥时，||最长，人往返所用时间最长;当||⊥时，||最短，人往返所用时间最短。即：

①当θ=0°时，人的运动轨迹（      ）与水流方向（EF方向）在同一直线上，此时人往返所用时间最长;

②当θ=90°时，人的运动轨迹（      ）与水流方向（EF方向）垂直，此时人往返所用时间最短;

③当时，人往返所用时间随着运动轨迹（      ）與水流方向（EF方向）的夹角θ的增大而减小.

另外，当90°≤θ≤180°时，人的运动可看成与运动轨迹（      ）方向与水流方向（EF方向）成角的运动的逆运动， 人往返所用时间随着运动轨迹与水流方向夹角θ的增大而增大。

3  结语

在跨学科研究大行其道的今天，高中阶段教学针对学生的跨学科思维培养意识的渗透势在必行。高中物理课程基于其学科特点，在习题教学中合理设置物理情境、创设问题情境，可以通过多种数学思维方法的运用，引导学生提高科学思维水平及科学探究能力。