湘教版与人教A版高中数学“预备知识”内容的比较研究

魏自盈 彭燕伟 吕世虎

【摘要】文章采用文本分析法和比较法，从体例结构、内容分布、内容呈现方式和例习题设置等四个维度比较研究了湘教版和人教A版高中数学“预备知识”的主题内容。发现湘教版的栏目更凸显数学文化和数学方法，人教A版的栏目则注重学生活动的引导和数学知识的拓展；湘教版注重知识的显性呈现，人教A版一些知识隐形呈现，需要归纳总结；湘教版注重用生活情境和中国传统文化故事引入，人教A版注重于用数学情境引入；湘教版的例习题总量多于人教A版，人教A版的综合性习题数量多于湘教版。基于此，为方便教师使用湘教版教科书，提出了几点建议。

【关键词】高中数学；湘教版；人教A版；预备知识；比较研究

【中图分类号】G633.6【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2022）06—0119—05

高中数学必修课程包括预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动五个主题。设置“预备知识”主题是《普通高中数学课程标准（2017年版）》内容的一个重大调整，该主题以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程的学习作了学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡[1]。下面，笔者比较研究高中数学湘教版和人教A版教科书“预备知识”的主题内容，为一线教师的教学和深入研究提供参考。

选取湖南教育出版社出版的普通高中数学教科书[2]（以下简称“湘教版”）和人民教育出版社出版的普通高中数学教科书A版[3]（以下简称“人教A版”）的“预备知识”主题内容为研究对象。采用文本分析法和比较法从体例结构、内容分布、内容呈现方式和例习题设置等方面对这两版进行比较研究。

（一）体例结构

编写教科书，需要把知识内容通过一定编排格式表达出来，这个编排格式就是体例结构。不同的教科书，采用不同的体例结构。教科书的体例结构，可以从章结构和节结构两个方面分析。（如图1、图2）

通过比较发现，两版教科书的章栏目和节栏目都比较丰富，各具特色。

关于章栏目，湘教版设计了“数学文化”栏目，且在第1章通过这个栏目阐述了“从德·摩根到康托尔：逻辑与集合”扩宽学生对逻辑与集合的认识。

关于节栏目，两版教科书都有核心内容、练习题、习题，都注重学生思考、交流和探索能力的培养。其中，湘教版的正文中设计了提示、问题和归纳等贴士，旨在提示学生注意一些易混淆的内容，启发学生进一步思考，归纳知识点及数学思想方法，还在某些章节设计了“多知道一点”栏目。人教A版在正文中设计了“观察”“思考”“探究”等栏目，旨在引导学生的探究活动，在正文的边空处设有“贴示”和“思考”，“贴示”介绍与正文相关的背景知识，且在某些章节设计了“阅读与思考”栏目。具体来说，湘教版在第1章的“多知道一点”栏目讲述“白马非马”的故事，丰富有趣的背景知识，增添了数学的趣味性，有助于吸引学生的注意，扩大学生的知识面，让学生体会到学习数学的意义。在第2章的“多知道一点”栏目呈现了“十字相乘法”的方法，为学生对二次三项式进行因式分解提供了另一种便捷的方法。人教A版用两个“阅读与思考”栏目分别呈现了“集合中元素的个数”“几何命题与充分条件、必要条件”等内容。相比之下，湘教版的栏目更凸显数学文化和数学方法，而人教A版的栏目更注重学生活动的引导和数学知识的拓展。

（二）内容分布

对两版教科书的内容分布从章头内容、内容选取与课时数、编排顺序三个维度进行比较分析。

1.章头内容。章头内容的比较分为章头语和章头图两个方面。湘教版的章头语简洁概括，高度凝练，章头图选用与本章主要内容和生活相关的图片；人教A版则用两段文字叙述。如湘教版用“数学是科学的语言，科学的语言要严谨简洁，……”等为第1章开头，以短横线连接本章的主要数学符号为章头图，简洁明了，第2章以我们熟悉的“高速公路限速标志”的图片作为章头图，让读者感受到数学离我们的生活很近。对于这两章，人教A版均用两段文字以举例、论述等方式说明该章的概貌。

2.内容选取及课时数。由表1我们可以看出，两版教科书的内容有一定差异。首先，湘教版的章节目录很简洁，却包括了该部分所有知识内容，而人教A版的目录分得很详细，让人一目了然。其次，两版教科书第1章的课时数一样多，但湘教版在第2章多2个课时。相比之下，湘教版突出了一元二次不等式的解法及其應用，更注重为学生后续学习打好基础。（如表1）

对两版教科书的知识点统计分析发现，湘教版更注重知识的显性呈现。在集合与逻辑部分，湘教版多呈现了集合的基本属性、有限集和无限集及区间等概念，通过几个实例归纳出什么是命题，并用一节的内容阐述了命题及相关概念，而人教A版仅用节头语对命题做了解释。在一元二次函数、方程和不等式部分，湘教版还引入了函数的零点等概念。

3.内容编排顺序。两版教科书对子集的概念和集合的运算呈现思路和顺序不同。湘教版用两节内容分别呈现子集和补集、集合的交与并，先呈现交集，后呈现并集，而人教A版用两节内容分别呈现了集合间的基本关系和集合的基本运算，且先呈现并集，后呈现交集。湘教版将子集和补集放在一起，突出补集是全集的子集。另外，两版教科书对三个“二次”的阐述方式不同。湘教版用两节内容分别阐述“从函数观点看一元二次方程”和“一元二次不等式的解法”，而人教A版用一节内容阐述“二次函数与一元二次方程、不等式”。

（三）内容呈现方式

从概念的引入和原理的建立与深化两个方面分析教科书的呈现方式。

1.概念呈现方式。预备知识主题的概念较多，本研究从概念的引入方式和概念生成与深化两个方面进行比较。

第一方面，概念的引入方式。湘教版从生活实例和数学实例引入概念，而人教A版侧重用数学实例引入。关于交集的引入，湘教版用某公司招聘人员的要求是“高中或高中以上学历，中文打字速度达80字/min”的实例。关于并集的引入，湘教版用“两个阅览室共有多少种不同的报刊；几个地区共有多少种不同的野生动物；两本英语字典共收录了多少个英语单词”等实际问题。关于补集的引入，湘教版用“下象棋时，看棋盘上的棋子，就知道被吃的是哪些棋子”和“上课的时候，看看教室里的同学，就知道谁没来”这两个生活实例形象地说明何为补集。人教A版则用数学问题引入集合的并集、交集和补集的概念。

湘教版还注重用中国传统文化故事引入概念。在引入集合时，湘教版设置了一个“思考”栏目，借助耳熟能详的“赤兔马故事”引入本节将要学习的集合与元素的关系、集合间的关系，把《三国志》中的“布有良马曰赤兔”转化成三句话：A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马；B.赤兔马是红马；C.红马是马。三句话中的3个“是”代表了不同的含义，A中的“是”表示“=”；B中的“是”相当于“赤兔马∈{红马}”；C中的“是”相当于“{红马}{马}”。通过语言表征与符号表征的转化深化了学生对概念的理解，培养了学生多元表征的能力。人教A版列举了6个实例，从6个实例（4个是数学实例）抽象出集合的概念和表示方法。

两版教科书都适当地采用生活实例的图片引入相关概念。如关于不等式的引入，湘教版用了实际生活中的汽车限速标志的例子，形象又生动。关于基本不等式的引入，两版教科书都用2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，即借助“赵爽弦图”提炼出基本不定式。

第二方面，概念生成与深化。人教A版教科书关于概念的生成较多采用归纳法，而湘教版教科书不仅采用归纳法，还采用演绎法。如集合、集合的表示等概念采用演绎法。第1章以概念为主，两版教科书都重视学生对概念的理解和深化，但人教A版以数学情境（以初中阶段学过的数学内容为载体）为主，湘教版除了数学情境外，还有大量的生活情境，如，在讨论集合和元素的关系时，教科书呈现了太阳系的图片，在呈现描述法时，举例“女士们，先生们”等，使用这些生活实例进行教学能帮助学生更深入地理解和应用这些概念。

2.原理呈现方式。为了把握两版教科书的原理呈现方式，本研究选择预备知识主题中最具特色的“基本不等式”为例说明两版教科书在原理的引入、形成等方面的特色。

首先，两版教科书对基本不等式的引入不同。湘教版在前两课时用“赵爽弦图和商店售出碘盐的数量和价格”两个具体问题引入不等式，并由问题得到不等式。在第2课时，简单复习了“赵爽弦图”后，用作差比较法得到了基本不等式及其推论，并且通过几何图形赋予了基本不等式几何直观。人教A版在第1课时讨论不等式的性质后，用一个探究呈现“赵爽弦图”，然后对得到的不等式进行了讨论，在第3课时直接给出基本不等式。

其次，两版教科书探究基本不等式推论的方式不同。湘教版类比基本不等式得到其推论及取“=”的条件，而人教A版采用变量代换的方式得到其推论，并对取“=”的条件进行了讨论。

（四）例习题设置

本研究中的习题主要指练习、习题和复习题，对于一道题中包括多个小题的情况，则按照一道题来统计。

1.例习题数量。通过表2发现，湘教版教科书例习题的总数多于人教A版。（见表2）

2.习题、复习题层次。对于习题和复习题，湘教版以“学而时习之→温故而知新→上下而求索”为栏目设计，人教A版以“复习巩固→综合应用→拓广探索”为栏目进行设计。这样的设计，体现了题型的多样性和梯度性，增强了教科书的弹性。两个版本教科书的习题、复习题在设置方式上都将习题分为三个层次，分别是基础题、中等难度题和开放、探究题，故将它们分别确定为层次一、层次二和层次三。

由表3可知，两版教科书的习题和复习题都以基础题目为主，湘教版基础题的数量多于人教A版，人教A版层次三的题目数量多于湘教版。两版教科书在层次三都呈现了一些具有开放性、探索性的题目，重点关注学生数学探究活动的落实，同时也为不同层次的学生提供了个性化的选择。（见表3）

（一）结论

通过对两版教科书“预备知识”主题内容的分析比较发现，两版教科书在体例结构、内容分布、内容呈现方式和例习题设置等四个方面有如下特点。

第一，体例结构。湘教版教科书设置“提示”“问题”“归纳”等贴士，对正文进行解释、补充和提醒；设置“多知道一点”栏目，体现数学的趣味性和数学知识的拓展；设置“数学文化”栏目，增强学生的文化底蕴。人教A版设置了“观察”“思考”“探究”等栏目，正文的边空处还设有“贴示”“思考”等，旨在引导学生进行探究活动；设置了“阅读与思考”栏目，体现数学知识的拓展。

第二，内容分布。与人教A版相比，湘教版用精炼的语言为每章开头，并用与本章主要内容相关且贴近生活的图片作为章头图，有助于激发学生学习数学的兴趣；引入与本节相关的其它概念和符号，便于学生进行数学表达。

第三，呈现方式。湘教版更多地采用生活实例和中国传统文化故事引入，而人教A版以数学实例为主进行引入。湘教版对概念、原理的引入更关注学生已有的认知水平。

第四，例习题。两版教科书的习题和复习题都有三个层次，湘教版例习题总数比人教A版多，人教A版的探究题数量比湘教版多。

（二）建议

基于以上结论，对湘教版教材使用提出以下几点建议。

第一，充分挖掘教科书各栏目的导学导教价值，更好地导引学生建构知识，促进学生深化对相关内容的理解。

第二，仔细琢磨章头语，结合学情精选数学实例和生活实例创设问题情境，帮助学生积累数学抽象经验，提升数学思维能力。

第三，深入研究内容的呈现方式和编排顺序，引导学生感受数学知识的发生、发展和应用过程。

第四，重视基础题，同时也要注重探究题，培养学生的知识迁移能力和探究创新能力。

第五，引导学生阅读教科书的拓展性栏目，了解数学文化，丰富学生对相关内容的认识广度。

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]张景中，黄步高，等.普通高中教科书数学：必修（第一册）[M].长沙：湖南教育出版社，2019.

[3]章建跃，李增沪，等.普通高中教科书数学：必修（第一册）：A版[M].北京：人民教育出版社，2019.

编辑：徐春霞