巧思妙法，破解不等式“恒成立”问题

范烯

摘要：不等式“恒成立”问题综合考查函数、不等式等相关知识，以及相应的数学思想方法，一直备受命题者青睐，是各级各类考试中的热点问题之一.解决不等式“恒成立”问题，有技可循，有法可依，合理构造，巧妙转化，总结规律，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：不等式;恒成立;判别式;数形结合;分离参数

涉及不等式“恒成立”的问题，是高中数学函数与不等式的一个重点与难点，往往以含参不等式的形式出现，是一类极具交汇性、综合性与创新性的复杂应用问题，难度较大，形式多样.不等式“恒成立”问题知识融合性强，解决时有一定的经验规律与技巧方法可循，能有效考查学生各方面的数学基础知识、数学思想方法与数学能力等，具有较好的选拔性与区分度，倍受各方关注.

1 利用判别式法解决不等式“恒成立”问题

判别式法是通过引入参数进行待定系数法转化，利用二次方程有根来合理构建判别式，进而结合不等式的求解来分析与解决.

例1 对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则实数k的最大值为.

分析：根据题目条件等价转化对应的“恒成立”不等式，构建涉及分式不等式的恒成立问题，转化为关于b的二次方程，利用方程有根并结合判别式构建对应的不等式，通过不等式的求解来确定参数的最值，进而得以确定实数k的最大值.

解析：由不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，

可得不等式k≤4b2+4ab+3a22ab+a2恒成立，即

k≤4b2+4ab+3a22ab+a2min.

设4b2+4ab+3a22ab+a2=λ（λ>0）.整理可得4b2+（4-2λ）ab+（3-λ）a2=0，将其看作

关于实数b的二次方程.

由判别式Δ=（4-2λ）2a2-16a2（3-λ）≥0，整理可得λ2≥8.又λ>0，解得λ≥2 2.

所以k≤4b2+4ab+3a22ab+a2min=2 2，即k的最大值为2 2，

故填答案：2 2.

点评：利用判别式法解决不等式“恒成立”问题，关键是通过不等式的恒等变换等进行处理，巧妙引入参数转化为涉及某一变元的一元二次方程，利用方程有实根所对应的判别式非负来构建不等式，进而确定参数的取值范围，从而得以解决相应的不等式“恒成立”问题.

2 利用数形结合法解决不等式“恒成立”问题

数形结合法的关键就是将“恒成立”不等式合理转化为一个常规函数或一个含参函数的问题，通过函数图象的“形”来直观分析与处理.

例2 已知函数f（x）=ex-mx，当x>0时，（x-2）f（x）+mx2+2>0恒成立，则实数m的取值范围为.

分析：据题目条件对相应的不等式进行等价化归与转化，结合参变分离法进行处理，并通过构造两个函数，把对应的函数的“数”转化为两个函数图象的“形”的问题，进而数形结合，考察含有参数的动直线与定曲线的位置关系，从而建立相应的关系式来确定对应的参数值.

解析：由（x-2）f（x）+mx2+2>0，得（x-2）＼5ex>-2mx-2，

则问题等价于“当x>0时，（x-

2）ex>-2mx-2恒成立”.

构造g（x）=（x-2）ex，h（x）=-2mx-2.

如图1所示，根据条件，只要考察当x>0时，曲线g（x）=（x-2）ex的图象恒在直线h（x）=-2mx-2的上方即可.

对g（x）求导，可得g′（x）=（x-1）ex.

当x∈（0，1）时，g′（x）<0，g（x）单调递减;当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0，g（x）单调递增.

又当x∈（0，+∞）时，g″（x）=xex>0，所以g（x）在（0，+∞）上是凹函数.

而g（0）=h（0）=-2，所以只要满足直线h（x）=-2mx-2的斜率不大于曲线g（x）=（x-2）ex在x=0处的切线的斜率即可.

所以有-2m≤g′（0）=-1，解得m≥12.

即实数m的取值范围为12，+∞.

故填答案：12，+∞.

点评：利用数形结合法解决不等式“恒成立”问题，关键是结合“恒成立”的不等式进行恒等变形与转化，构建与之对应的两个函数，通过一条定曲线与一动直线的位置关系，利用图形直观确定临界位置，这是数形结合处理此类问题的关键所在.

3 利用分离参数法解决不等式“恒成立”问题

分离参数法是解决含参不等式“恒成立”问题最常用的一类技巧方法，结合不等式进行恒等变形，分离出相应的参数，再从另一边所对应的函数来切入与处理.

例3 （清华大学2020年1月份中学生标准学术能力诊断性测试数学试卷文科·12）已知不等式x+aln x+1ex≥xa对x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的最小值为（  ）.

A.- e

B.-e2

C.-e

D.-2e

分析：合理结合题目条件中不等式的等价变形与转化，再结合不等号两边的函数结构特征，利用函数的同构处理，通过函数求导确定函数的单调性，进而巧妙分离参数，最后利用函数的构建以及其单调性，进而确定相关参数的取值范围.

解析：由x+aln x+1ex≥xa，变形可得x+e-x≥xa-aln x，则有x+e-x≥xa+ln x-a.

设函数f（x）=x+e-x（x>1），可知f（ln x-a）=ln x-a+e-lnx-a=ln x-a+xa.

那么x+e-x≥xa+ln x-aSymbol即a≥-xln x.

设g（x）=-xln x（x>1）.求导有g′（x）=-ln x-1ln2x.由g′（x）=0，可得x=e.

所以函数g（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减.

故g（x）≤g（e）=-e，从而a≥-e.故选择：C.

点评：利用分离参数法解决不等式“恒成立”问题，关键是对含参不等式进行合理恒等变形与转化，巧妙分离出参数，进而构建对应的函数，通过基本初等函数的单调性或借助函数求导处理来确定对应函数的单调性，进而确定对应函数的极值或最值，从而得以确定参数的取值范围.

4 利用主参变换法解决不等式“恒成立”问题

主参变换法就是改变常规的主元与参数之间的关系与性质，转换思维角度，从“旁观者”的视角来切入，实现问题的化归与转化.

例4 已知函数y=mx2-mx-6+m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，则实数x的取值范围为.

分析：根据题目条件，构建不等式恒成立所对应的不等式，借助主参变换处理，转化为涉及参数m的一次不等式，利用题目条件以及参数m的限制条件构建涉及参数x的不等式，进而利用题目条件转化相应的一元二次不等式，通过求解不等式来确定对应实数x的取值范围.

解析：由y<0，得mx2-mx-6+m<0.

借助主参变换处理，整理可得（x2-x+1）m-6<0.

又由1≤m≤3，可知不等式x2-x+1<6m恒成立，

则x2-x+1<63，即x2-x-1<0，解得1- 52

所以，实数x的取值范围为（1- 52，1+ 52）.

故填答案：（1- 52，1+ 52）.

点评：利用主参变换法解决不等式“恒成立”问题，关键是利用题目中的不等式进行恒等变形与巧妙转化，合理转化主元与参数之间的关系，进行主参变换处理，结合不等式恒成立加以巧妙化归，进而转化为不等式、函数等其他相关问题加以分析与处理.

涉及不等式“恒成立”的问题，解决的基本策略就是“含参”转化与“分参”处理两个基本思维角度.具体解决时，或通过“数”的视角，利用判别式法、分离参数法、主参变换法等处理;或通过“形”的视角，数形结合法等处理.综合不等式的性质以及函数的基本性质等，合理构造，巧妙转化为较为熟悉的数学模型，从而得以破解不等式“恒成立”问题，提升学生数学品质、数学能力，培养数学核心素养.