用数学思想引导生成课堂及简评

王红华

笔者曾受邀参加咸宁市名师工作室研讨活动，会上研讨了一节“一题一课”型的复习课.大部分教师在讨论中提出，中考前的数学复习课难上，认为复习课是“三无”产品，即“无教材、无教参、无教案”，因此许多教师往往依赖各类教辅资料搞“题海战术”，导致学生学习负担加重，阻碍数学素养的提升.而“一题一课”的课型就是让学生走出题海，减负增效.这种课型以一个问题为背景材料，深度挖掘问题的条件、结论和解决问题的思路，引导学生多角度思考，从知识体系的高度去变式拓展，探究新的问题解决方案，并提炼其中所蕴含的数学思想方法，揭示问题的本质，促进思维能力的发展，进而提升学生的关键能力和学科素养.

笔者以人教版八年级上册第十三章第4节的课题学习“最短路径问题”的问题1为素材，讨论用数学思想引导基于“一题一课”型复习课的生成过程并作简要评析.

1 课本问题呈现

问题 如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地.牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

2 课堂生成思路

此问题也叫将军饮马问题，是每年各地中考的热点之一.解决本问题可以作出点A关于直线l的对称点A′，如图2，连接A′B，交直线l于点C，即AC+BC最小.本问题通过轴对称变换，将直线同侧两点中的一个点变换到另一侧，而不改变路径的总长度，利用“两点之间线段最短”解决本问题.这其中蕴含化归思想，在解决问题的过程中轴对称变换起到了桥梁作用.

此问题为解决最短径问题提供了思考方法，下面继续对本问题进行思考.此问题中对象的特征是：有三个点，其中一个点在直线上，另两个点实际上是两定点且在直线的同侧.用运动变化的观点，从特殊到一般的思想去思考，能否由定点想到动点，而动点往往在某个几何图形上，由此我们可以联想到点A，B在某个几何图形上，由静到动多角度变式拓展，联系前后所学数学知识，将此问题逐步推进，提出新问题，然后分析问题，解决问题，进而加深对知识的理解，提高综合运用知识解决问题的能力，同时提升思维的广阔性和深刻性.

2.1 联系直线型生成

上述已经联想到点A，B在某个几何图形上，可以用分类的思想，将初中几何图形简单分为直线型、圆、一般曲线型（抛物线、双曲线）.最简单的一种，如问题1：如图3，直线l1与直线l2相交于点O，点B为一定点，若点A在直线l1上且与点B在直线l2的同侧，点C为直线l2上一点，当点A与点C分别在何处时，AC+BC的值最小？

解法指引：

问题1与将军饮马问题不同之处在于点A不是定点，但A和B都在直线l2的同侧，这与将军饮马问题中的对象有相似性，可以将此问题归类为将军饮马问题，进而类比将军饮马问题的解决方法去求解.学生容易想到用以下思路一解决.

思路一：如图4，作点B关于直线l2的对称点B′，此时BC=B′C，求AC+BC的最小值，问题转化为点到直线的距离.过点B′作直线l1的垂线，垂足为点A，连接AB′交直线l2于点C，即点A，C为所求点.

用整体的思想继续思考，若将直线l1看作是“定”的整体，能否通过类比将军饮马问题加以解决？于是指导学生用以下思路二加以解决.

思路二：如图5，作直线l1关于直线l2的对称直线l3，此时过B作BD垂直于直线l3，垂足为D，交直线l2于点C，作D关于直线l2的对称点A，即BD为AC+BC的最小值，点A，C为所求点.

两种思路的证明也可让学生类比将军饮马问题的证明，但此问题利用“垂线段最短”来说理，证明过程略.思路二中利用整体思想，使生疏的问题熟悉化，复杂的问题简单化，从而顺利解决问题.

联系等边三角形、菱形、正方形性质可编写习题.根据学情，也可让学生自主编题.以下就是结合等边三角形性质编写的例题.

例1 （2020＼5营口中考题改编）如图6，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E和F分别是线段AD和AB上的动点，连接BE，EF，则BE+EF的最小值为    .

分析：

此题中，点B和点F在AD的同侧，点F和点E分别为AB和AD上的动点，问题可转化为将军饮马直线型拓展模型解决.本题中根据等边三角形的性质，点B关于AD的对称点为点C，求BE+EF的最小值，问题可转化为求点C到AB的距离，如图7.解法略.

2.2 联系圆生成

按分类思想，继续考虑，点A若在圆上呢？

问题2 如图8，点B为一定点，圆O与点B在直线l的同侧，若点A为圆O上一动点，C点为直线l上一动点，则点A，C在何处时，AC+BC的值最小？

解法指引：

点A在定圆O上且与点B均在直线l的同侧，类比以上直线型拓展模型，也有两种思路.

思路一：如图9，作点B关于直线l的对称点B′，问题转化为圆外一点到圆上一点的距离的最小值.连接点B′和圆心O，交圆O于点A，交直线l于点C，点A，C即为所求点.

思路二：直线型拓展模型将点A所在的直线看作“定”的整体，在这个问题中，同样用到整体思想，我们也可把点A所在的圆O看作“定”的整体.类比思路一的方法，如图10，作定圆O关于直线l的对称圆O′，连接BO′，交圆O′于点A′，交直线l于点C，作点A′关于直线l的对称点A，点A，C即为所求点.此问题利用“两点之间线段最短”来证明，理由从略.

0

进一步用运动变化的观点，从特殊到一般的思想去思考：若点A，B在两个不同圆上呢？学生作图进一步探究.

问题3 如图11，若点A为圆O1上一动点，点B为圆O2上一动点，圆O1与圆O2在直线l的同侧，C为直线l上一动点，则点A，B，C分别在何处时，AC+BC的值最小？

1

2

解法指引：

点A，B在不同的圆上，点C在直线l上，三点都是动点，圆O1，O2均在直线l的同侧，可以类比前面的问题2，用整体的思想，把圆O1，O2分别当作一个整体，看作直线l的同侧的两个不同的“定点”，就可以转化为前面的将军饮马模型加以解决.如图12，作圆O1关于直线l的对称圆O′1，连接O′1O2交圆O′1于点A′，交圆O2于点B，交直线l于点C，连接O1C，交圆O1于点A，此时AC+BC的值最小，点A，B，C即为所求点.当然也可作圆O2关于直线l的对称圆，方法与前面类似.此问题的证明方法也可类比将军饮马问题，如图12，在直线l上任取一点C′，连接O1C′，O1′C′，利用“三角形中两边之和大于第三边”来证明，具体证明略.有了此题问题的解决方法，以下2013年重庆高考题很容易找到突破口.

例2 （2013＼5重庆高考）已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（  ）.

A.52-4

B.17-1

C.6-22

D.17

3

解析：

M，N分别是圆C1，C2上的动点，均在x轴的同侧，问题归类为以上将军饮马.联系圆拓展模型，类比问题3的解法，如图13，作圆C1关于x轴的对称圆A，圆心为A（2，-3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，

即（3-2）2+（4+3）2-1-3=52-4.故选答案：A.

2.3 联系抛物线生成

用分类的思想进一步思考，若点A与点B分别在直线和抛物线上呢？引导学生探究，数形结合思想，最后拓展成如下问题.

4

问题4 如图14，若A为直线l： y=x+1上一点且在x轴上方，B为抛物线y=x2-4x+5上一动点，C为x轴上一动点，求AC+BC的最小值.

解法指引：

分析题中已知条件，可以看出，点A，B，C均为动点，且点A，B均在x轴的同侧，问题转化为将军饮马问题.类比前面的方法，如图14，作直线l：y=x+1关于x轴的对称直线l1，易求得直线l1的解析式为y=-x-1.求AC+BC的最小值就转化为求直线l1：y=-x-1上的点到抛物线y=x2-4x+5的最短距离了，此时可以平移直线l1至直线l2，当直线l2与抛物线y=x2-4x+5有且仅有一个交点B时，求得此时直线l2的解析式为y=-x+114，点B的坐标为32，54.过点B作BA′⊥l1，垂足为点A′，A′B交x 轴于点C，作点A′关于x 轴的对称点A，即AC+BC的最小值为A′B，可求得A′B=1528.

3 课例评析

3.1 点成线，线成体，强化知识间的联系

本节“一题一课”型复习课在素材的选择上具有重要意义，选择具有生长力的问题，以一个问题为点，联系前后知识，梳理相关知识点，以思想方法为线索，在逐步变式拓展推进中，将知识点与思想方法融合，形成了知识结构体系.

3.2 思想方法引导，课堂生成行云流水

在变式拓展过程中，用运动变化的观点，从特殊到一般，以分类思想、整体思想、数形结合思想、化归思想为引导，联系直线、圆及抛物线进行变式拓展，层层深入，自然生成一节“一题一课”型复习课，最后解决问题的方法动中取静，透过表象找到本质.

3.3 对比分析，学生思维得以呈现

数学学习的本质是学习思维方法、提高思维能力.在数学思想方法的引导下，变式拓展问题，分析对比变式拓展前后的问题对象的共同特征，思考能否将问题转化为拓展前的问题加以解决，让学生从思维的角度找到解决问题的切入点.如，本文中让学生分析变式拓展前后问题对象具有的共同特征，某两个对象都在直线的同侧，都是求最值的问题.让学生经历对问题的思考、拓展、对比分析、探索、提炼的过程，发展学生思维.

4 结束语

由于篇幅所限，本文只阐述了用数学思想引导生成一节“一题一课”型复习课的过程及简要评析，在具体教学实施过程中，可根据学情，创造性地变式拓展提问，合理有序地组织学生进行复习探究活动，让学生在活动的过程中，数学思维、数学技巧和数学方法得到有效演绎，从而帮助学生积累数学活动经验，总结解题方法和规律，提升数学思维能力.

参考文献：

[1]郑新发.用活教材资源 生成智慧课堂[J].数学通讯，2016（6）：1-5.

[2]李玉琪.数学中的逻辑思维方法与形象思维方法 [J].数学通报，1994（2）.

[3]G＼5波利亚.怎样解题[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2018.