基础与能力并重 经典与创新共存

陈宏

摘要：本文中对2022年浙江省高考数学试卷进行评析，通过分析试卷的整体难度、试题的特点、解决方法，并与新高考全国卷进行差异对比，为学生更好地适应全国新高考的评价方式及在学习中培养核心素养与关键能力做导向.

关键词：高考数学;关键能力;核心素养

2022年浙江省高考数学试卷是2014年浙江省实施高考改革——数学文理合卷考试以来浙江省自主命题的收官之作，特殊的年份和疫情给高考命题和备考都带来了挑战.针对2022 年浙江省高考数学试题的内容特点和解决方法以及其与新高考全国卷的差异，笔者谈谈自己的认识，以期能让学生更好地适应全国新高考的评价方式.

1 依纲靠本，平稳收官

2022年浙江省高考数学试题坚持立足基础、素养导向、能力立意的命题原则，秉持了浙江省自主命题以来的简约且具内涵的风格.整卷保持了浙江卷“低起点、有梯度、多层次、重区分”的经典特色，严格遵循《考试说明》《浙江省高中数学学科教学指导意见》，全面考查了高中阶段的主要内容、核心思想方法及考生的学科关键能力.试题贴近高中数学教学实际，整体难度与2021年浙江卷难度相当，在结构、题型、内容、分值等方面保持稳定，试题注重基础知识和通性通法的考查，在传承经典的同时注重变化，适度创新.在体现对考生人文关怀的同时有利于高校合理选拔人才和正确引导中学数学教学，平稳收官.

2 传承经典，准确区分

2022年试题检测全面、凸显本质，重在理解，准确区分.选择题难度较2021年略降，有利于降低考生的焦慮情绪.如单项选择题第 1～7 题，这些试题或源于课本或改编自课本中的例题、历年的浙江卷高考题等，体现了试题的基础性;第1题考查集合运算，第2 题考查复数相等的概念，第3题考查线性规划，第4题考查三角函数和简单逻辑用语，第 5 题考查三视图、组合体的体积求解（球的体积公式与圆台体积公式的简单应用），第 6题考查三角函数图象的平移，第7题考查指数、对数运算.填空题难度与2021年相当，第11题考查了数学文化知识也是植根于教材且注重内容的交叉，第12题考查了二项式定理与赋值法，第13题考查了特殊条件下三角函数值的计算，第14题考查了二次函数与“对勾”函数的图象与性质、数形结合的思想方法，计算量较小.解决这些试题只要平时学习中概念理解到位、考试时计算认真即可，体现一个“稳”字，也为考生增加了信心[1].

试卷同时编制了一些层次高、思维妙、解法巧的新题.如，第8题是立体几何中线线角、线面角、二面角的大小比较，主要考查最大角定理与三类空间角的定义，与2018年的选择题虽类似但需理解深刻

各类角的定义;第9题为多绝对值函数应用，需熟练掌握

绝对值的运算意义或图象;第10题是递推数列的考查;第17题是多向量模长的计算，需对回归圆心后进行向量的转化，要求掌握基底转化的本质和数形结合的方法;第20题是数列题但与以往求和的考查不同;第21题是椭圆上点到一个定点的距离的最值问题，需对距离公式以及通性通法理解到位且注重算理;第22题函数与导数题都是在常见的背景中以新的角度设计问题，重视思维和运算能力.这些试题体现一个“变”字，也为高考的选拔增添了公平性.

3 守正出新，关注素养

试题全面考查的同时，突出了函数、几何等重点内容.2022 年的浙江高考数学试卷没有超纲试题，部分试题直击概念本质，虽取材背景熟悉，但着眼变化，适度创新，同时关注核心素养.第9题是含参绝对值不等式求参数的范围，可小题小做（对自变量赋特殊值）或采用通性通法（结合参数分离、直观想象、数形结合等思想方法）得出答案，较2021年的第9题难度有所下降，但对细心认真却数学逻辑不够强的同学来说有一个比较“委屈”的坑.第10题对思维能力与计算能力的要求都较高，主要考查数列的性质与有限项放缩求和，对学生能否选择合适的方法、放缩求和的运算等综合能力有一定的要求，但思路与2021年第10题较为相似，一定程度上降低了学生对压轴选择题的恐惧感. 第17题作为填空压轴题仍和2021年保持方向一致，考查向量的转化以及运算，且将向量放入正八边形中结构新颖，但因为提到了单位圆，因此将向量起点回归原点（圆心）对向量进行转化[2]，继而化繁为简求得答案，所以感觉难度比2021年第17题小，重在思维的创新和学生直观想象、数学运算等核心素养的考查，体现了命题者的良苦用心.

解答题第20题背景熟悉但立意独特，在第（2）小题考查了函数思想及应用一元二次方程根的存在性条件（判别式法），得到通项与公差的不等关系，继而求解公差的范围，较之前的高考数学试题中常见考查求和的题型有所创新并注重思维的灵活性.第22题（2）（3）小题考查了函数、导数、不等式的综合运用，只有深刻理解问题本质，才能完整解决整个问题，特别考查学生的逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养，有很好的选拔功能.

3.1 传承经典，凸显本质，注重算理

例1 （ 2022 年浙江省高考数学试题第 9 题）已知a，b∈R，若对任意x∈R，ax-b+x-4-2x-5≥0，则（  ）.

A.a≤1，b≥3

B.a≤1，b≤3

C.a≥1，b≥3

D.a≥1，b≤3

分析：结合参数分离法，可将不含参数的两项绝对值移项到不等式右边，可得ax-b≥2x-5-x-4.分别画出不等式左右两边对应的函数图象，如图1.由图象及斜率知a≥3，1≤b≤3或1≤a<3，1≤b≤4-3a≤3.故选：D.

或者小题小做，由于x的任意性对自变量x进行赋值，考虑移项后绝对值外的符号，因此可赋值x=b，x=4求得a，b范围.如取x=4，则不等式变为a4-b-3≥0，所以a≠0，b≠4，排除选项A，B，C.故选：D.

但是也有细心的考生用以下的数据验证：令a=1，b=3，x=4，则不等式ax-b+x-4-2x-5≥0不成立，竟没有正确答案？事实上如图1，当a≥1时，a4-b≥3，解得b≤4-3a，则当a≥3时，b取到最大值3.此处b是一个与a关联的量，并非所有的大于1的a与小于3的b都能使得题设不等式成立，因为这个问题让我们求的不是充要条件，而是使原题设不等式成立的a，b必须满足的必要条件，即求a的最小值与b的最大值.这道题对于不甚了了的学生来说构不成问题，对深谙数学逻辑或对基础知识掌握扎实的考生来说也不成问题，但对于细心认真但邏辑思维能力不够强的学生来说冷不丁考虑到这一点，算一个“痛点”.

评注：类似思维的问题在 2019 年浙江卷第9题、2020年浙江卷第9题中都出现过，也是求解参数必须满足的必要条件，这类题目强调对数学概念与函数本质、图象特征的理解，能多维度考查学生的数学知识、数学思维等.

例2 （ 2022 年浙江省高考数学试题第 21 题）如图2，已知椭圆x212+y2=1，A，B是椭圆上异于P0，1的两点，且AB过点Q0，12，若直线AP，BP分别交直线l：y=-12x+3于C，D两点.

（1）求椭圆上的点到点P距离的最大值;

（2）求CD的取值范围.

分析：本题第（1）小题主要考查两点间的距离公式及消元的思想.设椭圆上任意一点M（x，y），则|PM|2=x2+（y-1）2=12-12y2+y2-2y+1=-11y2-2y+13，y∈-1，1，而函数z=-11y2-2y+13的对称轴为y=-111∈[-1，1]，则|PM|max=14411=121111.即点P到椭圆上点的距离的最大值为121111.

本题第（2）小题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法、综合应用知识的能力、逻辑推理和数学运算素养.这些都是高中解析几何中最核心的知识、技能、思想方法和核心素养.

第（2）小题的解题方法有很多，由于点A，B是过点Q的直线与椭圆的交点，故自然想到可以“设线”，联立椭圆与过点Q的直线方程得到A，B两点的坐标关系，继而分别联立直线AP与直线l的过程、直线BP与直线l的方程得到点C，D的坐标，从而求得CD的表达式及范围，即为解法1.此种解法虽然思维入口较宽但深入较难，运算量较大.

也可以直接结合问题本质求C，D两点距离，故可直接“设点”解决.设出点C，D的坐标，解得点A，B的坐标，利用点A，Q，B共线得到点C，D的坐标的等量关系，继而消元求得CD的表达式及范围，即为解法2.解法2较解法1运算量减少，但是审题时需要把握问题的本质.此两种解法正说明了解析几何问题中的少思多算或多思少算;也说明了该问题突破的关键都是需建立起A，B，C，D四点之间的联系，并实现消参，用尽可能少的参数表示CD.

如果对此题继续做一个探究，会发现通过仿射变换，将椭圆化成圆，在圆中应用圆幂定理便可将问题转化为三角形中的边长求解问题，也可得到CD的表达式，继而求解范围，即为解法3.

（2）解法1：设直线AB：y=kx+12，A（x1，y1），B（x2，y2）.

联立直线AB与椭圆方程y=kx+12，x212+y2=1，消去y并整理，可得（12k2+1）x2+12kx-9=0.

由韦达定理，可得

x1+x2=-12k12k2+1，x1x2=-912k2+1.

所以|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=（-12k12k2+1）2+3612k2+1=616k2+112k2+1.

设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AP：y=y1-1x1＼5x+1，直线BP：y=y2-1x2x+1.

联立y=y1-1x1x+1，y=-12x+3和y=y2-1x2x+1，y=-12x+3，

可得x3=4x1（2k+1）x1-1，x4=4x2（2k+1）x2-1.

由弦长公式，可得

CD=1+14x3-x4

=524x12k+1x1-1-4x22k+1x2-1.

=524（x1-x2）2k2+1x1x2-2k+1x1+x2+1

由x1+x2=-kk2+112，x1x2=-34k2+112，x1-x2=616k2+112k2+1，得

x3-x4=316k2+13k+1.

令t=3k+1∈R，则

x3-x4=454t-452+925≥125.

所以CD≥52×125=655，此时t=3k+1=2516，k=316.

上述解法运算量较大在于设点坐标较多，联立方程次数也较多.因此基于优化运算的目的，问题求的是C，D两点距离，故可直接设出关键点C，D的坐标，表示出CD并求得范围.

解法2：设C2c，3-c，D2d，3-d，则CD=5c-d，直线PC：y=2-c2cx+1.

联立y=2-c2cx+1，x212+y2=1，得

A3c2-6cc2-3c+3，-c22+3c-3c2-3c+3.

由结构对称，同理可得

B3d2-6dd2-3d+3，-d22+3d-3d2-3d+3.

由点A，Q，B共线，得

-d22+3d-3d2-3d+3-123d2-6dd2-3d+3=-c22+3c-3c2-3c+3-123c2-6cc2-3c+3.

整理得5cd-9（c+d）+18=0，即d=9c-185c-9.

所以，可得c-d=c-9c-185c-9=5c-95+95·15c-9≥2925=65，

当且仅当c-95=35时，等号成立.

故CD=5c-d≥655.

对此题继续做一个探究，会发现通过仿射变换，将椭圆化成圆，在圆中应用圆幂定理便可将问题转化为三角形中的边长求解问题，避免了联立方程求CD的范围.

解法3：对椭圆 x212+y2=1 进行伸缩变换x′=x，y′=23y， 得到圆x′2+y′2=12，即x2+y2=12.

则l′：y=-3x+63，P′0，23，

Q′0，3.如图3，过P′作P′I⊥C′D′于点I，则

P′I=23.

设∠A′P′O=α，∠D′P′O=β ，则∠A′=π2-β，∠P′B′A′=π2-α，∠P′C′D′=π6+α，∠P′D′C′=β-π6.在△A′P′Q′，△B′P′Q′中， 分别由正弦定理，得

|A′Q′|sin α=|P′Q′|sinπ2-β，|B′Q′|sin β=|P′Q′|sinπ2-α .于是

|A′Q′|=3sin αcos β，|B′Q′|=3sin βcos α .

由圆幂定理|A′Q′|·|B′Q′|=R2-OQ′2=9，得tan αtan β=3.

故|C′D′|=|C′I|+|D′I|=23tanα+π6+23tanβ-π6=231-33tan α33+tan α+1-33tan βtan β-33

设tan α=t则tan β=3t.

故|C′D′|=23-433+43t+3+3693-3t≥23-433+（2+6）2103=245.

（权方和不等式.）

故CD1+k2=C′D′1+k′2≥2451+3=125.

即CD≥1+14×125=655.

评注：以上方法均是解决直线与椭圆位置关系的通性通法，其中前两种解法在日常复习中用的较多，需要扎实的数学运算素养.解法3在化椭圆为圆的基础上借助圆的几何特性，把多个变量转化为一个变量，2020年浙江卷的第21题也可使用此法，使得问题的呈现更直观，解法更为简洁[3].椭圆化圆也使问题本质更清晰，该方法在一一对应思想的指导下完成了问题转化和思路突破，这种聚焦核心素养的创新思维培养应成为数学课堂教学的核心，在平时教学中需引起重视.解析几何问题对广大考生来说是一个挑战，计算对学生来说更是痛点.故需在复习中引导学生注重思维，讲究算理，突破关键，鼓励他们运用合理的思维结合运算技巧找关键点，计算到底，从而提升数学运算能力和综合能力.

3.2 守正出新，考查能力，聚焦素养

例3 （2022年年浙江省高考数学试题第20题）已知等差数列an的首項a1=-1，公差d>1.记an的前n项和为Sn（n∈N*）.

（1）若S4-2a2a3+6=0，求Sn;

（2）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围.

分析：（1）由等差数列an的首项a1=-1及S4-2a2a3+6=0可得关于公差d的方程d2=3d，

再由公差d>1的范围可得d=3，继而由等差数列的前n项和公式可得Sn=na1+n（n-1）2d=-n+3n2-3n2=3n2-5n2.

（2）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，可得关于cn的二次方程，由判别式法可得d的表达式，分类讨论可得d的取值范围.

解析：（2）因为对每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，

则（a1+nd+4cn）2=[a1+（n-1）d+cn]＼5[（a1+（n+1）d+15cn]，a1=-1.

整理可得c2n+[（14-8n）d+8]cn+d2=0，则Δ=14d-8an+12-4d2≥0.

所以an+1≥2d，或2an+1≤3d恒成立，即得n-2d≥1，或2n-3d≤2恒成立.

当n=1时，因为d>1，故n-2d≥1不成立，但2n-3d≤2成立;

当n=2时，n-2d≥1不成立，此时需要2n-3d≤2，解得d≤2;

当n≥3时，因为d>1，所以n-2d≥1恒成立.

综上所述，d∈（1，2].

评注：本题第（2）小题设问灵活，应用一元二次等式成立的判断方法（判别式法），得到通项与公差的不等关系，继而求解公差范围的方法对学生的应变能力和把握问题本质的能力有一定的要求.最后的分类讨论则考查了学生的数据分析、逻辑推理等素养.创新的设计也要求平时教学中引导学生透彻理解基础概念知识，从而学会以不变应万变.

例4 （2022 年浙江省高考数学试题第22 题）设函数f（x）=e2x+ln x（x>0）.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）已知a，b∈R，曲线y=f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）.证明：

①若a>e，则0

②若0

（注：e=2.71828…是自然对数的底数.）

分析：第（1）问和2021年浙江卷最后一题第（1）问类似，也是考查函数的单调区间，但涉及的函数更为常规，入口较宽.常用思路是从求导函数开始f′（x）=-e2x2+1x=2x-e2x2（x>0），从而由f′（x）=0，得x=e2，于是f（x）的单调递减区间为0，e2，单调递增区间为e2，+∞.

第（2）小题从函数存在三条切线且经过同一个点入手，分两类情况证明不等式成立，较为复杂.因此先解决大前提条件（导数背景下的切线条数问题一般转化为切点方程解的个数问题）后分类解答.①可由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解，等价转化为函数有3个不同的正零点问题，再根据零点存在定理及性质转化需求证的不等式.②结构更为复杂，解决复杂问题的思想方法仍然是等价转化，将不熟悉问题转化为熟悉问题来解答，并辅以消元思想，将多元函数问题设法转化为单元问题来处理.

证明：（2）①过三点的切线方程分别为

y=f′（x1）（x-x1）+f（x1），

y=f′（x2）（x-x2）+f（x2），

y=f′（x3）（x-x3）+f（x3）.

由三条切线方程均过点a，b，得

b=f′x1a-x1+f（x1），b=f′x2a-x2+f（x2），b=f′x3a-x3+f（x3）.

设h（x）=f（x）-b-f′（x）x-a.由题知，h（x）有三个正零点.接下来分析h（x）的单调性，求导可得h′（x）=f′（x）-f′（x）-f″（x）＼5x-a=-ex3-1x2x-a=x-ax-ex3.

分析h′（x）正负号且由题设中a>e，得到h（x）的极小值为ha，极大值为he，因此h（x）有三个正零点，只需要满足ha<0和he>0即可.

由fa-b<0，f（e）-b-f′（e）（e-a）>0，进而得到b-f（a）>0，b<1+a2e.故b-f（a）>已证.

下面用分析法转化并证明b-f（a）<12ae-1.

要证b-f（a）<12（ae-1），由b

b-f（a）<1+a2e-e2a-ln a.

需证明1+a2e-e2a-ln a<12ae-1，即证ln a+e2a>32，即证fa>32 .

由（1）的单调性可知fa>fe=32显然成立.

所以，若a>e，则0

②依据条件0

136-a6e

设t1=ex1>1，t3=ex3∈0，1，再令u=ea∈1，+∞，则上式转化为证明

t1+t3-13u-16ut1+t3-2u+u-16u<0.

进而转化为证明

t1+t3-2-2u<1-13u12u2-u+136u2t1+t3 （*）

又由①的切线方程有b=a2xi-e2x2i+exi+lnxi-1（i=1，2，3）.

令g（x）=2x-e2x2a+ex+ln x-1，则g′（x）=e-xx3a-ex2+1x=x-ex-ax3.

当x∈0，a时，g′（x）>0，g（x）单调递增;当x∈a，e时，g′（x）<0，g（x）单调递减;当x∈e，+∞时，g′（x）>0，g（x）单调递增，且满足0

注意到g（x1）=2x1-e2x21a+ex1+ln x1-1=b，g（x3）=2x3-e2x23a+ex3+ln x3-1=b.

又t1=ex1，t3=ex3，所以

a2t21+eln t1-（a+e）t1+eb=0，

a2t23+eln t3-（a+e）t3+eb=0.

所以，t1+t3=2+2ea-2ea·ln t1-ln t3t1-t3=2+2u-2uln t1-ln t3t1-t3，代入（*）式.故只需要证明

-2uln t1-ln t3t1-t3<（1-13u）（12u2-u+1）36u2（t1+t3） .

再令k=t1t3=x3x1>ea=u>1，则上式等价于证明k+1k-1ln k-13u-112u2-u+172u3>0.

注意到h（x）=x+1x-1ln x在x∈1，+∞上单调递增，故有hk>h（u），

于是只需证明

u+1u-1lnu-13u-112u2-u+172u3>0

在1，+∞上恒成立即可.

令φ（x）=ln x-x-113x-112x2-x+172x3（x+1），则只需证明φ（x）>0在1，+∞上恒成立即可.

因为φ′（x）=x-1272x3-49x2-20x+372x4（x+1）2=x-1272x4（x+1）23+x（72x2-49x-20），并且

易知72x2-49x-20>0在x∈1，+∞时显然成立，所以

φ′（x）>0在x∈1，+∞上恒成立.

因此φ（x）>φ1=0.

所以若0

评注：本题作为压轴题和第21（2）题类似，对综合解题能力、不等式的运用能力和数学运算、逻辑推理等素养提出了更高的要求，最后一问更是形式创新，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法、分析法等基础知识的综合应用.没有生僻技巧，但却也难寻套路.其中利用分析法和消元法转化所证关系式对学生是一大难点.这也给了压轴题型复习的启示：要善于先宏观（定性）分析，后微观（定量）落实，通过等价转化、数形结合、分析证明等方法力争化大为小、化难为易，把一道难题分解为若干个小题或分解为若干步完成，即使不能完整做出，也能多得步骤分数[4].这也为学生充分展示自己的数学能力提供了平台，为高校选拔优秀人才.

4 引导教学，服务选拔

在平时教学中应重视新授课的概念教学.新授课应该强调主题式的单元整体设计，聚焦“大单元、真情境、新技术”的先进理念提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，发展自主学习的能力;培养学生敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，继而不断提高实践能力，提升创新意识; 认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值，了解学科交叉时数学内容、思维及能力的广泛应用.新课改在不断深入，师生要一起适应新形势，用好新方法.

5 差异对比，适应变革

浙江省2023年参加高考的考生即将迎来全国高考，故笔者对2022年浙江卷与新高考全国Ι卷做简单对比.内容上的挑战在于全国卷中档题居多计算量大，基本没有送分题，对中等生不够友好，可能出现很多题有思路但写不完;而浙江卷压轴题虽然难，但梯度明显，该送分就送到位，中等生较有优势.机遇在于全国卷中档题多，压轴题没那么难，比如向量知识全国卷设置在第3题，数列设置在解答题第1题，函数与导数解答题难度相对浙江卷较小等.另外一些不同之处，比如，全国卷小题压轴题较喜欢球与几何体的接切问题，小题中也可能出现导数与函数的应用和多选题等，解答题曾出现概率的考查、应用题等，需重点关注.函数、向量、几何、统计、概率、数列、不等式仍是高考数学的重点内容，函数与不等式也仍是难点.在原则上更注重以下三点：（1）学科间的渗透和交叉，适当增加具有自然科学和社会人文学科情境的试题，促进学科间的融合以及对核心素养的有效考查;（2）关注探究能力、数学学习能力的考查，设计结论开放、解题方法多样、答案不唯一、结构不良等试题，增强试题的开放性和探究性，对学生的创新能力进行考查;（3）通过调整试卷结构，打破固有模式，探索试题排列新方式，努力破除复习备考中题海战术和套路训练的影响.

6 结语

对于新高考，学生需要时间适应，这也要求学生对课本知识的理解、历年高考真题中考查的通性通法和问题本质的掌握更加深刻到位.因此，教师在重视新课教学的同时也需重视日常复习课的教学，课堂教学需更加聚焦质量.目前以单元整体教学设计为基础、以深度学习为抓手的新一轮课堂教学改革的形态正逐步形成，复习课教学的理念也需要革新，应更加着眼于数学知识的整体性、方法的普适性、思维的系统性和逻辑的连贯性，从而提升学生综合、创新等关键能力，落实学科核心素养.

参考文献：

[1]张青伟.聚焦核心，立足基础，学以致用——2021年高考数学全国乙卷评析[J].中学数学，2022（3）：17-18，16.

[2]曹凤山.高中数学解题研究第12辑 曹凤山讲怎样解题[M].杭州：浙江大学出版社，2020：70-72.

[3]王勇强，王红权.知识与能力并重 传承与创新同行——2020年浙江省数学高考试题评析[J].中学教研（数学），2020（9）：41-44.

[4]文卫星.立足基础，客观灵活，突出能力——基于2015年高考上海数学试卷评析[J].中学数学，2015（19）：27-28.