新高考数学多选题的考查类型剖析

庞怡婷

【摘要】通过剖析2020-2022年新高考多选题，发现多选题分别从概念、数量关系、变式、形数兼备、辨析、几何直观、综合能力等方面对学生进行了考查，考查形式比单选题更加丰富，题目更加灵活多样，知识的穿插渗透现象更加明显，对教学有重要启示作用。

【关键词】新高考；多选题；考查类型

新高考多选题具有无需解题过程，考试分值小、考查容量大、解题思路广、数学思想丰富等特点，题中多个正确选项的设置将会影响学生的作答时间和得分率，能对学生进行多层次区分，对学生能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维。下面就2020-2022年新高考多选题进行研究分析，从中思考其考查类型，为教育教学改革提供借鉴。

一、基本概念的考查

例1：（2021年新高考Ⅱ卷，9）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（   ）。

A.样本的标准差

B.样本的中位数

C.样本的极差

D.样本的平均数

【点评】2021年高考题例1考查了平均数、中位数、标准差和极差的概念，为基本概念的考查。

【启示】数学概念是数学学习的起点，是数学体系的形成元素，概念中的每个符号，每句术语都有明确的含义，都是数学认知结构中的重要组成部分，尽管数学题型千变万化，里面蕴含的数学概念永恒不变。多选题中出现概念考查，体现了新高考试题注重基础知识，回归教材的特点，教师在教学中应指导学生端正态度，重视基础，认真学习研究教材中的基本概念、基本定理和基本方法等，通过持续巩固数学基础知识，可以更好地构建数学认知结构，提升问题解决能力。

二、数量关系的考查

例2：（2021年新高考Ⅰ卷，10）已知为坐标原点，点（cos，sin），（cos，-sin），（cos（+）sin（+）），（1，0），则（   ）。

A.

B.

C.

D.

【点评】例2考查了向量的模长、数量积的计算以及两角差的余弦公式的化简，属于数量关系的考查。

【启示】数量关系是数学知识体系的重要组成部分，在高考中占据较大的比重，其中包含基本的数与式的运算、化简或量化等，主要考查学生的数学运算化简能力。多选题的数量关系更是从多个侧面、多个角度对学生进行多次的考查，对运算能力要求更高。教师在教学中应指导学生熟记一些常用公式、法则和数据，重视解题技巧的培养，比如运算技巧和简便方法等，还要重视培养学生良好的计算习惯，引导其细心审题，规范书写，使学生真正具备“细心、灵活、迅速、正确”的运算能力。

三、变形变式的考查

例3：（2020年新高考Ⅱ卷，11）图1是函数y= sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）= （   ）。

A.

B.

C.

D.

例4：（2020年新高考Ⅱ卷，12）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）。

A.

B.

C.

D.

【点评】例3先利用周期和特殊点确定和

的值，求出函数的解析式为y=sin，再

利用诱导公式进行等价变形变换，即y=sin

sincos

sin，coscos，

属于变形变式的考查。

例4围绕一个不等式链展开，即

（当且仅当时等号成立），不等式链是由基本不等式变形延伸而来的，内涵丰富，实际应用相对于基本不等式更为广泛，考查了学生的变形拓展能力，属于变形变式的考查。

【启示】变形变式是指同一个知识点，适当地变换条件或结构，变换表述或形式，从而出现多个变形的结果。变形变式有利于检测学生的思维深度，教师在教学中要注重培养學生的变形能力，比如在三角函数教学中，要突出诱导公式的转换、三角恒等变换、正余互化、切弦互换、和积互化、平方消元等变形技巧；在不等式教学中，要拓展基本不等式的各种不同变形，比如不等式链等；在解方程教学里，要指导分组分解、提取公因式、配方法、系数变换法等变形技巧。巧妙灵活地应用变形技巧，可以化繁为简、化难为易，提升学生对知识的灵活变换能力，进而巩固了基础知识和基本技能，起到举一反三的作用。

四、形数兼备的考查

例5：（2021年新高考Ⅰ卷，11）已知点在圆上，点、，则（  ）。

A.点到直线的距离小于

B.点到直线的距离大于

C.当最小时，

D.当最大时，

例6：（2022年新高考Ⅱ卷，10）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与交于、两点，其中在第一象限，点，

若，则（   ）。

A.直线的斜率为

B.

C.

D.

【点评】例5考查了点到线的距离，以及数形结合思想解决角的最值问题；例6需要利用抛物线的图像及性质来求解点、线、角等基本量，均属于形数兼备的考查。

【启示】数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立进行，而是有分有合，辩证统一，图形中常常隐藏着代数问题，而代数问题中往往又寓有图形的问题，因此，形数兼备是高考数学中的一种重要考查题型，特别是对函数、圆、圆锥曲线、复数几何意义、取值范围等问题。教师在教学中要引导学生牢记各种方程、函数、圆锥曲线等对应的图形，并能适当拓展，绘制一些相关的特殊图形，必要时建立坐标系，建立起数与图的关联，学会观察分析数与形的关系，学会以形助数、以数解形，在讲解例题时，注重引导，传授数形结合的方法和技巧，以提升学生数形结合的能力。

五、辨析思维的考查

例7：（2020年新高考Ⅱ卷，10）已知曲线，（    ）。

A.若m>n>0，则是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0，则是圆，其半径为

C.若mn<0，则是双曲线，其渐近线方程为

D.若m=0，n>0，则是两条直线

例8：（2021年新高考Ⅱ卷，11）已知直线与圆，点，

则下列说法正确的是（   ）。

A.若点在圆上，则直线与圆相切

B.若点在圆内，则直线与圆相离

C.若点在圆外，则直线与圆相离

D.若点在直线上，则直线与圆相切

【点评】例7考查了曲线方程及其系数之间的关系，要求学生能动态分析参数的变化并加以辨别分析，例8考查了点、直线和圆之间的位置关系，也是要求学生能辨别分析各种不同的位置关系，这些属于辨析思维的考查。

【启示】辨析即辨别分析，对于一些相似或相关的知识，给出一定的发散条件，让学生进行辨别和分析。比如涉及参数变化的开放式题型，要分类讨论问题，分析动态变化的结果等。数学是逻辑学科，具有高度的抽象性和严密性，很多相似或相关的知识和结论，都需要非常严格的条件去辨别分析，任何细微条件的忽略都会引起辨别错误。教师在教学中要引导学生注重细节，注意辅助条件和隐含条件。对于带参数的类型，要深入理解参数的各种变化及其影响；对于动态问题，分析时要做到不缺不漏；对于分类讨论的问题，要能全方位地思考、研究、判断、推理等，从而提高学生观察、分析、逻辑推断和辨析的综合能力。

六、几何直观的考查

例9：（2020新高考Ⅱ卷，9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（   ）。

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

例10：（2022年新高考Ⅱ卷，11）如图2，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，

记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（    ）。

A. B.

C.D.

【点评】例9考查了折线图，例10考查了空间几何体的体积，属于几何直观的考查。

【启示】几何直观是指依托、利用图形描述和分析问题，它包含两个层次：一是几何，即图形，二是直观。直观不仅仅是直接看到的图形，更突出由图形得到的更深层次的思考，所以几何直观本质上是通过图形展开的想象和分析，与逻辑、推理不可分割。主要包括：利用图形图表描述分析数学问题，借助平面或空间图形认识事物的位置关系、量化特征、运动规律等。图形是数学体系的重要组成部分，几何直观是数学学习的必备思维能力，教师在教学中应该全方位、多角度地培养学生的几何直观思维，提高学生的识图能力，培养学生平面图形思维和空间图形思维，使其能从图中分析求解相关的量。

七、综合能力的考查

例11：（2021年新高考Ⅱ卷，12）设正整数，其中

，记．则（   ）。

A.

B.

C.

D.

【點评】例11属于新定义的题型，需要学生运用迁移拓展能力和思维穿透能力，对新定义的正整数的展开公式，能理解它的本质，才能正确应用于各个选项，属于综合能力的考查。

【启示】《考试说明》中提出，“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的把握程度，又注意考查进去高校连续学习的潜能”。2022年，教育部考试中心命题专家也表示要“发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质”。这都说明了提升学生的综合能力是数学培养的趋势和最终目标，而多选题选项的多样性，更能反映学生的综合能力的强弱。教师需要在教学中有意识地去培养和训练学生，使其对原有的知识能融会贯通、举一反三，对新知识能突破思维定势，进行创造性地思考。教师在教学中要多理论联系实际，多拓展延伸，多探究和启发，提高学生的主观能动性，提高学生的学习反思和迁移能力。

剖析新高考多选题的考查类型，我们不仅要关注知识的变化，更要关注学生获取知识的途径，教学不能只是简单地把解法告诉学生，更应该重视知识的形成过程，正确地应用好多选题，能让学生更多角度地理解知识的内涵和外延，使其真正得到数学能力的提升。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2]叶巧卡.新高考数学多选题的命题分析与思考[J]，中学数学杂志（高中版），2021（11）.

[3]任子朝，陈昂，黄熙彤，赵轩.新高考数学多选题考查功能研究[J].中国数学教育，2019（Z2）.