巧用“一线三等角” 模型突破几何压轴难题

刘敏

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》中提出，在初中阶段核心素养的主要表现包含几何直观和模型观念.这就要求学生能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类，再根据形与数的联系，构建数学问题的直观模型.本文中抓住数学问题中常见的“一线三等角”进行研究分析，探究其在各类型问题中所表现出来的特征，从而更好地为提高学生解题能力，提升学生核心素养奠定基础.

关键词：一线三等角;模型;几何直观

1 引出问题

2022年安徽中考试题中有这样一道试题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，则∠FDG＝°．

根据题意可以发现，在直线AD上，存在三个直角，∠A=∠BEF=∠G（或者∠A=∠BEF=∠EDM），出现这种情况，我们往往称之为“一线三直角”的数学模型，从而利用两个三角形全等或者相似即可.此題可根据“AAS”证△ABE≌△GEF，得出EG＝AB，GF＝AE，进而推出DG＝GF.即可得出∠FDG的度数.

若将“一线三直角”模型中的直角改为其他角度，这样就形成了“一线三等角”的数学模型，在解答相关问题的过程中，很容易考虑到全等三角形或者相似三角形的判定.熟练把握“一线三等角”的相关特点，感悟其在全等或者相似三角形判定中的重要作用，便于引导学生在解答过程中快速掌握利用基本图形来描述或者分析、解决问题，从而培养学生的几何直观能力.

2 “一线三等角”在全等形问题中的应用

例1阅读下面的相关材料，并回答问题.

模型学习：如图2，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D；又∠ACB＝∠AED＝90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝，BC＝．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．

模型应用：如图3，△ABC为等边三角形，BD＝CF，∠EDF＝60°，求证BE＝CD.

在“模型学习”中根据这种模型的特点，可以直接判断，由“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AC＝DE，BC＝AE；对于“模型应用”，根据条件可以发现∠B=∠C=∠EDF＝60°，符合“一线三等角”的特征，故由“AAS”可证△BDE≌△CFD，从而可证明得到BE＝CD.

3 “一线三等角”在相似形问题中的应用

例2如图4，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，试求AB的长．

通过审题发现，题干中有内心，还有垂直，问题的目标AB与条件AD，CE分属三条直线.因此可以考虑延长DE看是否可以构建“一线三等角”.于是延长ED交AB于点F，连接BD，如图5，将线段AB分为AF和BF两部分，分别计算.显然，根据条件很容易证明△ADE≌△ADF，利用勾股定理求得AE的长度，即为AF的长度.再根据△ADE≌△ADF，可以得到∠AFD=∠AED，故有∠BFD=∠CED.利用三角形内角和可推理计算得到∠ABD＝∠CBD＝∠CDE，从而可得到△BFD∽△DEC，再利用相似，列比例式求得BF.BF与AF相加即可求得AB．

4 “一线三等角”在一次函数中的应用

例3如图6坐标系中，O（0，0），A（3，33），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝65，求AC∶AD的值．

根据题意可知，例3符合“一线三等角”模型，从而可以考虑使用一线三等角进行解题.过点A作AF⊥OB于F，如图7.根据已知条件得到AF＝33，OF＝3，OB＝6，求得∠AOB＝60°，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝∠ABO＝60°.根据折叠的性质得到∠CED＝∠OAB＝60°，求得∠OCE＝∠DEB，从而得△CEO∽△EDB，则OEBD=CEED=COBE.设CE＝a，ED＝b，CA＝a，CO＝6-a，AD＝b，DB＝6-b.又BE=OB-OE=245，于是根据相似比得到结论．

5 “一线三等角”在反比例函数中的应用

例4如图8，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO.当点A在反比例函数y=1x（x>0）的图象上移动时，则点B的坐标满足的函数解析式为.

分析条件发现，点A在反比例函数y=1x上，∠AOB=90°，直角边OA∶OB= 2∶1.根据“种瓜得瓜，种豆得豆”的道理，可以“预感”点B也在反比例函数上，即点B的轨迹也应该是“遗传”了点A的形状信息，于是不妨构造“一线三等角”，结合“反比例函数面积性质”来快速解题.

首先假设点B的坐标满足的函数解析式是y＝kx（k≠0），如图9，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为C，D.易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得S△AOC∶S△BOD＝2∶1，进而求得答案．当然，本题点B只能在第二象限，所以还要写清楚自变量的取值范围.

6 “一线三等角”在二次函数中的应用

例5如图10，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（-2，0），B-12，0两点．设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH＝90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

根据题意容易求得该抛物线的解析式，从而得到顶点M的坐标.判断∠AMH的存在性，即判断直角三角形的存在性，就会用到两点间的距离公式，再结合勾股定理对三边关系进行计算判断，这样处理，计算量会很大.根据图示发现它符合“一线三等角”模型，运用此模型来解答问题会变得简单，且计算也简便.如图11，作MH⊥AM交x轴于点K（x，0），作MN垂直x轴于点N.根据余角的性质，可得∠AMN＝∠NKM.根据相似三角形的判定与性质，可得ANMN= MNNK，由此求出x，即得k的坐标.再由直线MK与抛物线方程联立，可得点H的坐标．

再如：如图12所示，抛物线y＝ax2+bx+4过A（2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为D，连接AC，BC．点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为m（m＞4）．若∠ACP＝45°，求m的值.

对于此题，我们也是很难快速确定点P的位置，为此可以利用“一线三等角”模型，过点A作AC的垂线AE，并使得AE=AC，如图13，易得点E的坐标.连接FC，交抛物线于点P，将直线EC的解析式代入抛物线求得交点坐标，即可求得除点C外的另一交点P，思路清晰，方法简单，问题迎刃而解.

7 “一线三等角”在图形变换中的应用

例6等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN＝60°，且PM，PN分别于边AB，AC交于点E，F．如图14所示，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF＝AE＝2时，求PE的长．

根据题意，△ABC是等边三角形，∠MPN＝60°，可知∠B=∠C=∠MPN，符合“一线三等角”模型.因此可以考虑使用该模型下的解题基本思路.通过证明△BPE∽△CFP，根据相似三角形对应边的比相等，再设BP＝x，则CP＝6-x，即可求得BP的长，进而求得PE的长．

8 “一线三等角”在动态问题中的应用

如图15和图16，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝34．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36 s．若AK＝94，请直接写出点K被扫描到的总时长．

动态问题，往往作为数学试卷中的压轴题，对学生来说此类问题难度很大，根据AB＝AC，∠APQ＝∠B，可以判断出该问题所考查的是“一线三等角”模型，从而对于解题也就心中有数了，起码为下一步的解答找到了突破口，抓住这一切入点，利用关联三角形的相似，判断得到△ABP∽△PCQ，则有ABPC= BPCQ，再根据题干具体要求分析研究，进而求解本题答案．

通过上述问题的研究，可以感受“一线三等角”模型在各个知识背景下的应用.借助构造一线三等角模型解题的基本手段，从复杂的图形中分离出基本图形，具有将问题化繁为简的效果，同时可以帮助我们在解题中快速找到解决问题的突破口.当然，希望“一线三等角”模型能起到抛砖引玉的作用，更希望学生能形成比较完善的知识储备，从而提高基本图形的敏锐观察力，以及不断提升几何直观能力和问题建模思想.