例析二元一次方程（组）的应用

陈永华

摘要：培养初中生数学核心素养是数学学科的重要教学目标，特别是在解决实际问题中尤为突出.本文中以二元一次方程（组）为载体，在展现初中数学二元一次方程（组）基本解题思路的同时，探究二元一次方程（组）的应用，提升学生核心素养.

关键词：二元一次方程（组）；核心素养；题型；变式

数学核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，在教学中教师要注重对学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题能力的培养.因此，在课堂教学中，教师要善于利用典型例题激发学生的思维.笔者借助二元一次方程（组）在解题中的应用进行探究以供研讨.

1 例题分析

例1若|x+y+1|与（x-y-3）2互为相反数，则（3x+y）3的值为（ ）.

A.-1B.1C.-27D.27

分析：本题只给出一个条件“|x+y+1|与（x-y-3）2互为相反数”，学生要在充分理解“互为相反数”的前提下才能得到“|x+y+1|+（x-y-3）2=0”，进而根据非负性特点列方程并解出，最后才能求出（3x+y）3的值.

解：由|x+y+1|与（x-y-3）2互为相反数，得

|x+y+1|+（x-y-3）2=0.

又因为|x+y+1|≥0，（x-y-3）2≥0，所以x+y+1=0，x-y-3=0.

于是有

x+y=－1，

x－y=3.

解之得

x=1，

y=－2.

所以（3x+y）3=[3×1+（-2）]3=1 .

故本题选：B.

点评：一个问题中出现了相等关系，而未知数难以直接求出，那么可以借助一元二次方程组解决[1].但是，这样的解题方法常与相反数、绝对值、同类项等基础知识结合在一起.这样一来，很多学生在没有牢固掌握这些基础知识的前提下，顺利解题的难度较大.因此，牢固掌握基础知识非常关键.

例2若关于x，y的方程组ax+2y=10，

3x+2y=0有整数解，则正整数a的值为.

分析：本题给出的方程组中有未知系数，所以直接解方程并不是最佳方法.不妨先将未知系数看成已知，按照常规方法解出方程，再根据题目给出的“有整数解”“正整数a”进行讨论.

解：将两个方程相减，得

（ax+2y）-（3x+2y）=10-0.

即（a-3）x=10.

所以x=10a－3（a≠3）.

因为方程组有整数解，且a是正整数，所以在满足x为整数的前提下，a=1，2，4，5，8，13.

因为y=－15a－3，所以在满足y为整数的前提下，a=2，4，8.

因为方程组的整数解指的是x，y同时是整数，所以a=2，4，8.

点评：分类讨论多伴随不定方程（组）而出现，这时需要根据一些限制条件对所有解的可能性进行分类讨论，从而获得满足题意的可行性方案[2].当给定的条件是自然数、非负整数等时，需要从0开始分析；当给定的条件是正整数等时，那么就需要从1开始分析.

例3小明看中了一套新款春装准备进货，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按百分之五十的利润定价，裤子按百分之四十的利润定价.由于新年将至，为吸引顾客，两件衣服均按九折出售，这样专卖店共获利157元，但店员有事走开了，你能帮他算出每件上衣的成本吗？

分析：本题是与实际生活高度结合的应用题，数字较多，且它们之间的关系也比较复杂.面对这种问题，应该将各种量及其数值用表格的方式列举并对应，从而帮助学生梳理题中信息.另外，不难从题中看出，共有两条列方程的主线.其一是“成本共500元”；其二是“共获利157元”.所以，只需根据这两个条件，结合表格中的数据列出方程并解出即可.

解：能.设每件上衣成本为x元，每条裤子成本为y元，具体数据见下表.

依题意可得

x+y=500，

［0.9（1+50%）x-x］+［0.9（1+40%）y－y］=157.

解之得x=300.

答：每件上衣的成本是300元.

點评：像二元一次方程（组）的实际问题中往往有着层次分明的两个条件，如“第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车”和“第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车”，有着非常明显的两层意思，而这就给解题者提供了“列一元二次方程（组）”解决问题的思路.

例4某化肥厂第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？

分析：本题是学生比较常见的一元二次方程（组）与实际问题相结合的问题.首先通过分析题意不难发现，题中有两层信息“第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车”“第二次运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车”.它们正好对应了两个方程.当然，要列出这两个方程，学生要有善于发现的学习品质.

解：设每节火车车厢平均装x吨化肥，每辆汽车平均装y吨化肥.

依题意可得

6x+15y=360，

8x+10y=440.

解之得

x=50，

y=4.

答：每节火车车厢平均装50吨化肥，每辆汽车平均装4吨化肥.

点评：本题需要学生用敏锐的数感去发觉题中所给出的两层信息，而这些数感正是来源于生活感悟和解题训练.所以，日常的观察、感悟及解题训练非常重要.

2 应用策略说明

二元一次方程（组）是初中数学的重要内容，是考试中的高频考点，其考查形式多种多样，本文中研究的二元一次方程（组）的应用就是其中之一.如何有效解决这一类问题，笔者就其策略提出如下几点建议.

（1）分析题意，找出题中含有“两层”意思的语句，用序号①②进行标注，培养学生抓住题中重要信息的能力.

（2）利用表格将题中分层的题意更直观地体现出来，让数据之间存在的数量关系更加明显.

（3）按照解方程应用题的设、解、答等步骤完成接下来的过程.

（4）分类讨论是解决初中数学问题非常重要的方法，但是学生对这种方法的掌握情况不容乐观[3].作为一线数学教师，不仅要注重发散思维的培养，让学生多从几个角度思考问题，而且要经常性地利用练习训练学生的思维，让学生认识到分类讨论的重要性，继而通过一步步训练提高他们的思维能力[4].

（5）教师在实际教学时应灵活呈现各种类型的二元一次方程问题，为学生顺利解题不断积累经验.

（6）与二元一次方程（组）应用结合的问题比较多，且大多内容比较基础.所以，学生要想灵活解答这些问题，还必须牢固掌握与二元一次方程（组）有关的知识点.只有这样，才能为分析和解决实际问题奠定基础.

教师不仅要注重学生基础知识的掌握和基本技能的训练与提升，而且要帮助学生在学与练的过程中形成基本活动经验和获得基本思想.所以，教师可以放手让学生对常见题型及其变式进行归类，从而让他们在解题和应用方面不断灵活“切换”.

参考文献：

[1]赖玺艳， 王赛英. 基于变式理论的二元一次方程组复习课例及评析[J]. 数学教学通讯， 2012（27）：19-21.

[2]雷玉娟. 分层变式，改编课例——《“二元一次方程组应用题”教学建议》有感[J]. 中学数学研究（华南师范大学）， 2019（22）：8-10.

[3]顾亚平. 关注复习课教学重点：从“纸上”到“课中”——对一节二元一次方程组复习课的评析[J]. 中学数学， 2020（10）：40-41，91.

[4]邢成云. 先行组织，全景统摄——《二元一次方程组》章节起始课教学设计与思考[J]. 教育研究与评论（课堂观察）， 2020（1）：43-46.