求解平面向量的模长问题的方法

周爱琴

平面向量问题的命题方式较多，常见的有根据已 知条件求向量的大小、求向量的数量积、求两个向量 的夹角的大小、求向量的模长等.其中，求向量的模长 问题的难度不大，常以选择、填空题的形式出现.此类 问题侧重于考查平面向量的模长公式、运算法则及几 何意义.本文重点谈一谈求解平面向量的模长问题的 方法.

一、代数法

1.平方

由 a 2 = |a|?|a|cos 0 = |a| 2 可得：|a| 2 = a 2 = a?a ，则平 面向量的模长为：|a| = a?a ，该式为平面向量的模长 公式.在求解平面向量的模长问题时，可根据题意和向 量的模长公式，将向量平方，把模长问题转化为数量 积问题，这样便于建立所求向量的模长与已知向量、 夹角之间的联系.建立关系式后，灵活运用平面向量中 的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式、模长公式， 即可顺利解题.

例1

解：

题目中所给条件与向量的模、数量积相关，其中 涉及的几何关系较少，所以将 | | | | a+ b - c 平方，把问题 转化为数量积问题，通过平面向量运算，根据向量夹 角的取值范围（0，180°）求得向量的模的最值.将向量 平方并计算出结果后，一定要记得将其开方.

2.坐标法

a= （x，y） ，则由平面向量的模长公式：|a| = a?a 可得 |a| = x 2 + y2 .在求解平面向量的模长问题 时，可根据题目中涉及的图形的特性，寻找垂直的两 条直线，将其视为平面直角坐标系的两条坐标轴，据 此建立平面直角坐标系，分别求得各个点的坐标以及 所求向量的方向向量，即可根据平面向量的模长公式 和平面向量的坐标运算法则解题.若题目中没有直接 给出相应的图形，则需根据平面向量的几何意义构造 几何图形，再建立平面直角坐标系，通过平面向量的 坐标运算解题.

例2

解：

我们结合题目中的垂直关系： AB ⊥AC ，建立平 面直角坐标系，从而将问题转化为坐标运算问题.通过 坐标运算，利用柯西不等式即可求得 | |AM 模长的范围.对于与平面向量的模长有关的最值问题或范围问 题，通常可考虑建立平面直角坐标系，得到向量的模 长与变量x、y之间的函数关系，从而将问题转化为求 函数最值问题来求解.

二、几何法

运用几何法解答平面向量问题，需先根据平面向 量的几何意义：三角形法则和平行四边形法作出相应 的图形，将向量的模长看作平面几何图形的一条边长 或弦长，然后根据等腰三角形、等边三角形、圆、平行 四边形等几何图形的性质，利用正弦定理： a sin A = b sin B = c sin C ，余弦定理：a2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，勾股 定理：a2 = b 2 + c 2 ，求得几何图形的边长或者弦长.

例3

解：

若从代数角度讨论向量 a- c，b - c 的夹角为 60° 的情形，运算量较大，所以从几何角度入手，根据题意 构造图形，并将 | c| 看作 | |AC ，然后利用弦定理、余弦 定理以及圆的性质：直径是圆内最长的弦，求得 | |AC 的最大值.

可见，求解平面向量的模长问题可从代数和几何 两个方面入手，寻找不同的解题思路.但无论是运用代 数法还是几何法解题，都需灵活运用向量的模长公 式，平面向量的运算法则、定理、几何意义.

（作者单位：甘肃省天水市田家炳中学）