例谈两点间的距离公式的应用技巧

刘慧

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），则 AB = （x1 - x2） 2 + （y1 - y2） 2 ， 该公式称为两点间的距离公式.两点间的距离公式是 解析几何中重要的解题“工具”，在解题中应用广泛.下 面结合实例来谈一谈两点间的距离公式的应用技巧.

一、求点的坐标

两点间的距离公式说明了两个点的坐标之间的 关系.在由一段距离求其中一个端点的坐标时，我们可 借助两点间的距离公式，建立关于这个端点的坐标的 方程，通过解方程求得点的坐标.

例1

解：

由于已知 |PA| = 3|PB| 以及点 A、B 的坐标，所以可 设出 P（a，b） ，根据两点间的距离公式建立关于 x、y 的 方程，据此可求得点 P 的坐标.

二、证明三点共线

证明三点共线问题比较常见.求解此类问题，可利 用两点间的距离公式分别求得其中任意两点间的距 离，使得其中两条较短的线段之和等于较长的线段 长，便可证明三点共线.

例2

证明：

三条线段中的两条线段之和等于第三条线段的 长，则此三点必共线.解答本题，只需利用两点间的距 离公式证明 |AB| + |AC| = |BC| 即可.

三、求解与线段长有关的平面几何问题

解答与线段长有关的平面几何问题，往往要将数 形结合起来，通过建立合适的平面直角坐标系，求得 或设出各个点的坐标，即可利用两点间的距离公式求 出各条线段的长.

例3

证明：

先根据已知图形的特点，建立平面直角坐标系， 分别写出或设出O、A、B、C四点的坐标；然后利用两点 间的公式求出 |AB|、|AC|、|AO|、|OC| ，即可证明结论.对 于某些与线段长有关的平面几何问题，若容易建立平 面直角坐标系，并容易写出相关点的坐标，则可以考 虑利用两点间的距离公式来建立等量关系.在解答此 类问题时，灵活运用数形结合思想，可使问题快速获 解.

四、求无理函数的最值

有些无理函数的根号下的式子是二次函数式，经 过配方后，把它看成两点间的距离，就可以利用两点 间的距离公式和平面几何图形的性质来求最值.

例4

解：

函数式中的两个根式可配凑成两个完全平方式 的和，于是根据其几何意义，将其看作两点间的距离， 构造出几何图形，利用三角形的两边之和大于第三边 的公理和两点间的距离公式，即可求得无理函数式的 最小值.

五、证明无理不等式

对于某些无理不等式，若根号下的式子可以看成 两点间的距离，则可以从它的几何意义入手，通过构 建平面直角坐标系，利用两点间的距离公式来建立等 量关系式，把无理不等式证明问题转化为平面几何最 值问题，利用平面几何图形的性质加以证明.

例5

证明：

观察所要证明的不等式，可以發现该式可看作两 点间的距离的开方，于是构造几何图形，利用三角形 三边之间的关系来建立不等关系式，借助两点间的距 离公式证明结论.若代数式中出现两组完全平方式的 和，则可从其几何意义入手，将其看作两点之间的距 离，借助两点之间的距离和平面几何图形的性质来求 解，就会达到出奇制胜的效果.

从以上分析可以看出，两点间的距离公式看似很 简单，在解题中应用却十分广泛.运用该公式，可以求 点的坐标，证明三点共线，证明与线段长有关的平面 几何问题，求无理函数最值，证明无理不等式，等等.同 时，我们也可以看出，无论解答何种解析几何问题，都 需将数形结合起来，这样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省淮安市楚州中学）