怎样求解抽象函数问题

刘苹苹

在解题时，我们经常会遇到抽象函数问题，此类问题往往不会给出具体的函数解析式，要求根据已知条件，求函数的定义域、值域，求某个函数值，判断函数的奇偶性和单调性.这类问题具有较强的抽象性，很多同学们在解答时不知该如何下手.下面结合实例，探讨一下三类抽象函数问题的解法.

一、定义域问题

抽象函数的定义域问题常以选择题、填空题的形式出现，常见的命题形式是由 f（%）的定义域，求 f（g（%））的定义域，或由 f（g（%））的定义域，求 f（%）、f（h（%））的定义域.解答这类问题，需先根据题意确定 f（g（%））中 g（%）的范围，求出 f（%）中%的范围；然后根据同一个函数的定义域相同，确定 f（h（%））中 h（%）的范围；最后解不等式，求得问题的答案.

例1.

解：

解答本题，关键在于明确 f （x） 中的 x 的范围与 f （x 2 - 1） 中 x 2 - 1 的范围都为 [-1，1] ，据此建立关系式 即可.

二、求抽象函数的值

由于抽象函数没有具体的解析式，因此在求抽象 函数的值时，需对已知的关系式进行赋值，如令 x = 1、-1、0、- x 等；再根据函数的奇偶性、对称性、周 期性建立关系式；最后通过等量代换，求得某点处函 数的值.

例2

解：

解答本题的关键在于抓住已知关系式 f （x + y）= f （x）+ f （y），对其进行合理的赋值，分别令 x = y = 4、 x = y = 2，通过等量代換，最终求出 f （2） 的值.

三、函数的奇偶性问题

解答抽象函数的奇偶性问题，需灵活运用函数奇 偶性的定义，可令 x = - x ，通过等量代换，确定 f （x） 与 f （-x） 之间的关系.若 f （x） = f （-x） ，则函数为偶函 数；若 f （x） =- f （-x） ，则函数为奇函数.

例3

解：

为了明确 f （x） 与 f （-x） 之间的关系，需分别令 x = y = 1 、x = y = -1 ，求得 f （1） 、f （-1） 的值，从而判断 出 f （x） 与 f （-x） 的关系：f （-x）= f （x） ，进而判断出函 数的奇偶性.

可见，解答抽象函数问题，需根据已知关系式和 解题需求，选择合适的值进行赋值，通过等量代换，求 出函数的定义域、某点处的函数值，明确函数的奇偶 性、对称性、周期性等，从而获得问题的答案.

（作者单位：山东省菏泽市鄄城县第一中学）