妙用多项式除法求解导数与解几压轴试题

苏艺伟 陈艺平

摘 要：巧妙借助多项式除法解决导数与解几压轴试题，往往能够化繁为简，化抽象为具体，实现解题的最优化.

关键词：多项式除法;导数与解几;最优化

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）10-0039-05

多项式除法定理 设fx，gx是两个多项式，且gx≠0，则恰有两多项式qx及rx使得fx=qxg（x）+r（x）成立，其中r（x）=0或

degrx

通俗地说，多项式除法是代数中的一种运算，用一个多项式去除以另一个多项式，从而将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题.借助多项式除法定理可以解决导数与解几压轴试题中一些较难的多项式分解问题，从而突破难点，化繁为简，化抽象为具体，实现解题的高效.

例1 （2020年全国Ⅰ卷理科第21题）已知函数fx=ex+ax2-x.

（1）当a=1时，讨论fx的单调性（略）.

（2）当x≥0时，fx≥12x3+1，求a的取值范围.

解析 由已知可得ax2≥12x3+1+x-ex.

当x=0时，a∈R.

当x>0时， a≥12x3+x+1-exx2.

令gx=12x3+x+1-exx2，x>0，

只需a≥gxmax.

g′x=12x3-x-2-x-2exx3

=x-212x2+x+1-x-2exx3

=2-xex-12x2+x+1x3.

记hx=ex-12x2-x-1，x>0，

则h′x=ex-x-1，

h″x=ex-1≥0，

所以h′x在0，+∞上单调递增.

所以h′x>h′0=0.

故hx在0，+∞上单调递增.

所以hx>h0=0.

所以ex-12x2-x-1>0.

令g′x=0，得x=2.

所以gx在0，2上单调递增，在2，+∞上单调递减.

所以gxmax=7-e24.

此时有a≥7-e24.

综上，a≥7-e24.

简析 对于多项式12x3-x-2，经检验可知x=2是方程12x3-x-2=0的一个实根，借助多项式除法得到另外一个因式12x2+x+1，通过验根和多项式除法，顺利将g′x进行化简，从而突破难点.

例2 （2020年天津卷理科第20题）已知函数fx=x3+klnx（k∈R），f ′x为fx的导函数.

当k=6时，求函数gx=fx-f ′x+9x的单调区间和极值.

解析 gx=x3+6lnx-3x2+3x，

g′x=3x2x4-2x3+2x-1

=3x2x+1x3-3x2+3x-1

=3x2x+1x-13.

所以gx在0，1上单调递减，在1，+∞上单调递增.

所以g（x）有极小值g1=1，无极大值.

简析 对于多项式x4-2x3+2x-1，经检验可知x=-1是方程x4-2x3+2x-1=0的一个实根，借助多项式除法得到另外一个因式x3-3x2+3x-1.通过验根和多项式除法，顺利将g′x进行化简，从而突破难点.

例3 （2020年江苏卷理科第19题）已知关于x的函数y=fx，y=gx与hx=kx+b（k，b∈R）在区间D上恒有fx≥hx≥gx.若

fx=x4-2x2，gx=4x2-8，hx=4t3-tx-3t4+2t2，

D=m，n-2，2，0

证明 由已知可得

x4-2x2-4t3-tx+3t4-2t2≥0，4x2-4t3-tx+3t4-2t2-8≤0.①②

先考虑第①个不等式，转化成

x-t2x2+2tx+3t2-2≥0.

即x2+2tx+3t2-2≥0对任意x∈[m，n][-2，2]，0

Δ=81-t2.

若00，则

n-m≤2+t<2+1<7.

若1≤t2≤2，Δ≤0，此時考虑不等式②.

设4x2-4t3-tx+3t4-2t2-8=0的两个实根为x1，x2，

则x1+x2=t3-t，x1x2=3t4-2t2-84.

此时n-m≤x1-x2=x1+x22-4x1x2

=t6-5t4+3t2+8.

令t2=λ，则λ∈1，2.

记fλ=λ3-5λ2+3λ+8，则f ′λ<0，故fλ的最小值为7.

故n-m≤7.

简析 对于方程

x4-2x2-4t3-tx+3t4-2t2=0，

经检验可知x=t是一个实根，借助多项式除法得到另外一个因式x3+tx2+t2x-2x-3t3+2t.

经检验可知x=t是x3+tx2+t2x-2x-3t3+2t=0的一个实根，再次用多项式除法得到另外一个因式x2+2tx+3t2-2.

因此将不等式（1）转化成x-t2x2+2tx+3t2-2≥0，

从而突破难点.

例4 已知直线x-2y-1=0与抛物线y2=4x交于A，B两点，C为抛物线上的一点，∠ACB=90°，求点C的坐标.

解析 由x-2y-1=0，y2=4x，得

y2-8y-4=0.

设Ax1，y1，Bx2，y2，Ct2，2t，AB中点为D，

则y1+y2=8，y1y2=-4.

故AB=x1+x2+p=2y1+1+2y2+1+2=20，CD=10，D9，4.

令t2-92+2t-42=100，得

t4-14t2-16t-3=0.③

经检验，t=-1是方程③的一个实根.

所以t4-14t2-16t-3含一个因式t+1.

进一步，用t4+0·t3-14t2-16t-3除以t+1，得到t3-t2-13t-3.

经检验，t=-3是t3-t2-13t-3=0的一个实根，

所以t3-t2-13t-3含一个因式t+3.

进一步，用t3-t2-13t-3除以t+3，得到t2-4t-1.

因此，方程③可以转化成

t+1t+3t2-4t-1=0.

由于点Ct2，2t不在直线x-2y-1=0上，

所以t2-4t-1≠0.

故C1，-2或C9，-6.

简析 对于方程t4-14t2-16t-3=0，发现有一个实根t=-1，借助多项式除法得到另外一个因式t3-t2-13t-3，进一步发现t=-3是t3-t2-13t-3=0的一个实根，再次运用多项式除法，得到t2-4t-1.故而最终分解成（t+1）（t+3）（t2-4t-1）=0.

例5 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2.F2也是抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线AF1的倾斜角为45°，求C的离心率.

解析 联立直线和椭圆方程求出点A坐标，然后代入抛物线方程.

由y=x+c，x2a2+y2b2=1，得

b2+a2x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.

所以Δ=8a2a2-c22.

由求根公式有

x=-2a2c+22aa2-c22b2+a2=2a3-a2c-2ac22a2-c2.

故A2a3-a2c-2ac22a2-c2，2a3+a2c-2ac2-c32a2-c2.

将点A坐标代入抛物线方程y2=4cx，得

2a3+a2c-2ac2-c32a2-c22

=4c·2a3-a2c-2ac22a2-c2.

化简，得

2a3+a2c-2ac2-c32

=4c2a3-a2c-2ac22a2-c2.

即

2a6+22a5c-3a4c2-42a3c3+22ac5+c6=

82a5c-8a4c2-122a3c3+4a2c4+42ac5.

得2a6-62a5c+5a4c2+82a3c3-4a2c4-22ac5+c6=0.

两边同时除以a6，得

e6-22e5-4e4+82e3+5e2-62e+2=0.④

即e+22e4-42e3+10e2-42e+1=0.⑤

则e4-42e3+10e2-42e+1=0.⑥

两边再同时除以e2，得

e-222+1e-222=6.⑦

结合0

简析 该解法通过联立直线和椭圆方程求出点A坐标，然后代入抛物线方程，从而求出离心率.将点A坐标代入抛物线方程y2=4px，整理得到关于a与c的齐次式，然后两边同时除以a6得到e的方程.由于这个关于e的方程（即④式）是一个关于e的六次方程.对于这样一个六次方程的求解在高中阶段更是显得十分困难.为了顺利求出离心率，通过观察尝试，运用合情推理，首先猜测该方程有一个根-2，代入④式检验后发现是成立的，因此不难得到④式有一个因式为e+22（注意不是e+2，因为最高次项是6）.当确定有一个因式为e+22，运用多项式除法得到另外一个因式e4-42e3+10e2-42e+1，从而将④式转化成为⑤式，进一步转化成⑥式，最后得到⑦式.事实上，还可以鼓励有能力的学生，进一步思考，将⑤式进一步分解成为e+22e-2+12e-2-12=0，从而求出离心率.

例6 已知双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦點为F1，F2，渐近线y=bax上一点N满足ON=c（点N在第一象限内），直线NF1与双曲线的另一条渐近线y=-bax相交于点M，且FM=3a，求双曲线的离心率e.

解析 由已知可得

Na，b，F1-c，0，kNF1=ba+c.

所以直线NF1方程为y=ba+cx+c.

由y=ba+cx+c，y=-bax，得

M-ac2a+c，bc2a+c.

所以ac+c222a+c2+b2c22a+c2=3a.

故2c4+2c3a=12a4+12a3c+3a2c2.

即2e4+2e3-3e2-12e-12=0.

即e-22e3+6e2+9e+6=0.

故e=2.

简析 观察到方程2e4+2e3-3e2-12e-12=0，有一个实根e=2，借助多项式除法得到另外一个因式2e3+6e2+9e+6，从而求出离心率.

例7 过椭圆C：x29+y2b2=1（0

解析 设直线AM方程为y=kx+b，

代入b2x2+9y2=9b2，

得9k2+b2x2+18kbx=0.

故xM=-18kbb2+9k2.

用-1k代替k，得xN=18kbb2k2+9.

所以AM=1+k2·18kbb2+9k2，

AN=1+1k2·18kbb2k2+9.

令AM=AN，得

1+k2·18kbb2+9k2=1+1k2·18kbb2k2+9.

設k>0且k≠1，则

b2k3-9k2+9k-b2=0.

即k-1b2k2+b2-9k+b2=0.

方程b2k2+b2-9k+b2=0有大于0且不等于1的正实根.

故Δ≥0且b2+b2-9+b2≠0，0

解得0

简析 观察到方程

b2k3-9k2+9k-b2=0，有一个实根k=1，借助多项式除法得到另外一个因式b2k2+b2-9k+b2，从而求出实数b的取值范围.

不难发现，对于此类导数与解几压轴试题中的多项式化简问题，在难以直接因式分解的前提下，可以采用先验根，得到一个因式，再借助多项式除法得到另外一个因式，从而将多项式分解成若干项之积，将复杂的问题转化成简单的问题，提高学生的数学运算能力，培育数学运算素养，可谓大道至简，柳暗花明又一村.

练习 当x>0时，ex-ax3≥16x4+12x2+x+1恒成立，求a的取值范围.

解析 由已知，得

a≤ex-16x4-12x2-x-1x3.

令g（x）=ex-16x4-12x2-x-1x3，

只需a≤gxmin.

故g′x=x-3ex-16x4-12x2-2x-3x4.

又16x4-12x2-2x-3

=x-316x3+12x2+x+1，

所以g′（x）=（x-3）（ex-16x3-12x2-x-1）x4.

又当x>0时，ex>x+1，

所以∫x0exdx>∫x0x+1dx.

即ex>1+x+12x2.

所以∫x0exdx>∫x0（1+x+12x2）dx.

解得ex>16x3+12x2+x+1.

故令g′（x）=0，得x=3.

故gx在0，3单调递减，在3，+∞单调递增.

所以gxmin=g3=e3-2227.

故a≤e3-2227.

参考文献：

[1]

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[责任编辑：李 璟]