导数理论在最优化经济数学模型中的应用研究

方国敏　谢蔚

【摘要】本文从导数和偏导数的概念出发，引入边际分析的相关概念，对最低成本、最大利润和最优批量等最优化经济数学模型进行分析、研究和探讨.

【关键词】导数；偏导数；边际分析；最优化；数学模型

应用定量分析方法解决经济问题已成为经济学理论体系中的重要组成部分，很多经济学理论如纳什均衡和期权定价公式等都是用数学语言来描述的.数学使经济学理论步入了定量化、精密化和准确化的发展轨道，使经济学变成一门越来越严谨的学科.

一、导数和边际分析

（一）导数的概念

设一元函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得改变量Δx时，相应的函数改变量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果极限limx→0

（二）偏导数的概念

设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，当y固定在y0不变，而x在点x0处取得改变量Δx时，相应的函数改变量Δxz=f（x0+Δx，y0）-f（x

（三）边际分析

在现实经济活动中，若设某经济指标y与影响指标值的因素x1，x2，……，xn之间成立函数关系y=f（x1，x2，…，xn），我们把函数y=f（x1，x2，…，xn）的一阶偏导函数f′xi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）称为函数y=f（x1，x2，…，xn）的边际函数，记作My，偏导函数My=f′xi（x1，x2，…，xn）在点P0处的函数值称为函数y=f（x1，x2，…，xn）在点P0处的边际值，而使f′xi（x1，x2，…，xn）=0的边际点的函数值可能就是极大值或极小值，这种边际点在经济分析和决策中往往是最佳点，找到最合理的边际点，就能做出最有利的经济政策.微观经济学把研究这种变化规律的方法叫作边际分析法.

1.边际成本

在经济学中，常常需要研究产量增加一个单位时所增加的成本.设生产某种产品q单位时的总成本函数C=C（q）可导，则称MC=C′（q）为边际成本函数，简称边际成本，C′（q0）为产量为q0单位时的边际成本.

边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再多生产一个单位（即Δq=1）的产品所增加的成本量C（q+1）-C（q），近似地记为：C（q+1）-C（q）=Δ边际成本是极限意义下的平均，是当增量Δq→0时，总成本C（q）的瞬时变化率，只与产量q有关.

2.边际收入

设销售某种产品q单位时的总收入函数R=R（q）MR=R′（q）可导，则称为边际收入函数，简称边际收入，R′（q0）是销售量为q0单位时的边际收入.

其经济含义是：当销售量为q时，再多销售一个单位（即Δq=1）的商品总收入的改变量R（q+1）-R（q），近似地记为：

3.边际利润

与边际成本和边际收入类似，边际利润函数为总利润函数L（q）关于销售量q的导数.设某产品的销售量为q时的利润函数L=L（q）可导，则称ML=L′（q）为边际利润函数，简称边际利润，L′（q

即ML=L′（q）=limΔq→0ΔLΔq=limΔq→0L（q+Δq）-L（q）Δq.

其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即Δq=1）产品所增加（或减少）的利润L（q+1）-L（q），近似地记为：

L（q+1）-L（q）=ΔL（q）≈dL（q）=L′（q）Δq=L′（q）.

边际利润L′（q）<0意味着当产量（销量）为q时，再生产（销售）一个单位的产品（即Δq=1）总利润将减少，这时产品生产（销售）得越多利润会越小.

如果在某一经济问题中，总成本函数、总收入函数或总利润函数是多元函数，则分别称他们的偏导数为边际成本、边际收入或边际利润.

二、最优化的数学表达

在经济生活中，每个经济人在符合市场条件的前提下，都力求寻找对自己最有利的方案，如：最低成本、最大利润、最优效益、企业的最佳规模以及企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例等等.这些问题从数学的角度来看都是同一类问题，即求函数最大值和最小值的问题.

（一）一元函数的最值问题

若函数y=f（x）在点x0处有极值，且在点x0处的导数存在，则函数y=f（x）在点x0处的导数必为零，即f′（x0）=0.凡是满足方程f′（x0）=0的点称为函数y=f（x）的驻点.设函数y=f（x）在其驻点x0处具有二阶导数f″（x0），若f″（x0）<0，则f（x0）是函数f（x）的极大值；若f″（x0）>0，则f（x0）是函数f（x）的极小值.

一般而言，如果函数y=f（x）在闭区间I上连续，则函数y=f（x）在I上必定能取得它的最大值和最小值.在实际问题中，如果函数y=f（x）在区间I内最大值（或最小值）一定存在，而f（x）在I内只有唯一驻点，那么该驻点处的函数值就是函数y=f（x）在区间I上的最大值（或最小值）.

（二）多元函数的最值问题

与经济问题有关的函数很少是单一变量函数.例如，厂商的生产量取决于投入生产过程的劳动、资本以及土地的数量等等.下面我们以二元函数为例.

若函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，且在点P0（x0，y0）处的偏导数存在，则函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的两个偏导数必为零，即f′x（x0，y0）=0，且f′y（x0，y0）=0.凡是满足方程组f′x（x0，y0）=0，f′y（x0，y0）=0的点P0（x0，y0）称为函数z=f（x，y）的驻点.

设函数z=f（x，y）在其驻点P0（x0，y0）处具有连续的二阶偏导数，令f″xx（x0，y0）=A，f″xy（x0，y0）=B，f″yy（x0，y0）=C，Δ=B2-AC，则当Δ<0时，函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处有极值，并且若A>0，f（x0，y0）是函数z=f（x，y）的极小值；若A<0，f（x0，y0）是函数z=f（x，y）的极大值.

一般而言，如果函数z=f（x，y）在闭区域D上连续，则函数z=f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值.在实际问题中，如果函数z=f（x，y）在区域D内一定能取得最大值（或最小值），而f（x，y）在D内只有唯一驻点，那么该驻点处的函数值就是函数z=f（x，y）在区域D上的最大值（或最小值）.

三、最优化经济数学模型分析

经济效益最优化问题是经济管理的核心，也是企业的最终目标.对于决策者来说，要求从“客观的理性”出发，寻求在一定条件下目标函数唯一的“最优解”.

（一）最低成本问题模型

微观经济学理论认为，边际成本和平均成本都是随产量的增加而由递减转为递增，只是平均成本转为递增比边际成本要迟一些.当平均成本与边际成本相等时，平均成本最低.如图1所示，F点是平均成本曲线AC由递减转为递增的转折点，在F点处，MC=AC.在边际成本曲线上升到F点之前，边际成本小于平均成本，平均成本曲线AC是下降的，当MC越过F点后再上升，边际成本就大于平均成本，平均成本曲线AC也就转为上升了，因此，MC与AC必定在AC的最低点F处相交.平均成本的最低点F就是通常所说的“经济能量点”或“经济有效点”.企业应该把生产规模调整到平均成本的最低点，才能使生产资源得到最有效的利用.

图 1

设产量为q，总成本函数为C（q），平均成本函数为AC（q），边际成本函数为MC（q），则AC（q）=C（q）q，MC=C′（q）=dC（q）dq.

以q为自变量，对平均成本函数AC（q）求导，则有

AC′（q）=dACdq=d（C（q）q）dq=C′（q）q-C（q）q2=1q（C′（q）-C（q）q）=1q[MC（q）-AC（q）].

因此，当MC（q）AC（q）时，曲线AC的切线斜率为正，曲线AC呈上升趋势；当MC（q）=AC（q）时，曲线AC的切线斜率为0，曲线到达极小值点F，函数AC（q）的二阶导数大于0.又因为它是唯一的驻点，所以平均成本函数AC（q）在MC（q）=AC（q）处取得最小值.

因此，最低成本的数学模型为：

MC（q）=AC（q），dACdq=0（函数AC（q）的二阶导数大于0）.

例1 已知某厂生产q件产品的总成本为C（q）=2500+200q+14q2（元），问该厂生产多少件产品时，平均成本最小？

解 （1）设平均成本函数为AC（q），边际成本函数为MC（q），则

AC（q）=C（q）q=2500q+200+q4，

MC（q）=C′（q）=200+q2.

由AC（q）=MC（q）得2500q+200+q4=200+q2，

解得q1=100，q2=-100（舍去）.

此时d（AC）dq=2500q+200+q4′=14-2500q2=14-14=0.

所以，q1=100时，平均成本函数AC（q）取得唯一的极小值，也就是最小值.因此，要使平均成本最小，应生产100件产品.

（二）最大利润问题模型

微观经济学理论认为，当商品产量无限增大时，价格极低，得不到最大利润；当商品价格无限增大时，销售量极少，也得不到最大利润.只有当产量增至边际成本等于边际收入，即边际利润为0时，企业才能获得最大利润.如图2所示，只有当总收入和总成本两个函数的导数相等，即两条切线平行时，总收入和总成本两条曲线上切点间的距离最大，此时，总成本与总收入的差值最大，也即企业获得最大利润.此外，为了使利润函数的极大值存在，利润函数的二阶导数还必须小于零.

图 2

设产量为q，总成本函数为C（q），总收入函数为R（q），总利润函数为L（q），边际利润函数为ML（q），则L（q）=R（q）-C（q），ML（q）=L′（q）.

令ML（q）=L′（q）=R′（q）-C′（q）=0，则可得到R′（q）=C′（q）.这就是获得最大利润的必要条件.

边际利润函数ML（q）=L′（q）=0，总利润函数为L（q）取得极值，为了使函数L（q）取得极大值，必须L″（q）=ML′（q）=[R′（q）-C′（q）]′=R″（q）-C″（q）<0，

即R″（q）

因此，利润最优化数学模型为：

R′（q）=C′（q）（即L′（q）=0），R″（q）

若利润函数为二元函数z=L（q1，q2），则利润最优化数学模型为：L′q1（q1，q2）=0，L′q2（q1，q2）=0， （1）

且[L″q1q2（q1，q2）]2-L″q1q1（q1，q2）·L″q2q2（q1，q2）<0，L″q1q1（q1，q2）<0.（2）

在实际问题中，若由（1）式解出利润函数z=L（q1，q2）的极值点只有一个，则可验证此点满足充分条件（2），就是利润最大的点.

例2 设某企业生产某种商品q单位的费用为C（q）=5q+200（元），获得的收益为R（q）=10q-0.01q2（元），问生产这种商品多R（q）=10q-0.01q2少单位时利润最大？最大利润是多少？

解 由产品的费用函数C（q）=5q+200，收益函数，可得利润函数L（q）=R（q）-C（q）=-0.01q2+5q-200.

因为L′（q）=-0.02q+5，令L′（q）=0得q=250.

此时L″（q）=-0.02<0，所以q=250时利润最大，L（250）=425元.

所以生产250个单位产品时利润最大，最大利润为425元.

（三）最优批量问题模型

在一定原材料年需求量的前提下，如果每次定货量增加，订货次数就减少，这样，虽然采购成本减少，但仓储保管成本却会增加；反之，如每次定货量减少，订货次数就会增加，因而采购成本增加，仓储保管成本减少.最优订货批量问题就是通过确定最佳的订货数量来平衡采购成本和仓储保管成本，从而保持存货的最优水平，减少储备资金的占用量，使总成本最低.

设TC为总库存成本，PC为采购进货成本（包括购置价格），HC为仓储保管成本，D为材料的年需求量，h为材料的单价，q为每次订货的数量，k为每次订货的成本，m为单位货物的仓储保管成本，n为年订货次数，F1为采购成本中的固定成本，F2为保管成本中的固定成本，那么

TC=PC+HC=F1+Dh+Dqk+F2+q2m=（hD+F1+F2）+kDq+mq2.

其中，hD+F1+F2为固定成本，设TC（q）为每次订货量为q时的变动成本，则TC（q）=kDq+mq2，以q为自变量求TC（q）的一阶导数TC′（q）=-kDq2+m2.

令TC′（q）=-kDq2+m2=0，解得q2=2kDm，即q=2kDm.

又因为TC（q）的二阶导数TC″（q）=2kDq3>0.

所以，当q=2kDm时，TC（q）取得最小值，即如果按照这个定货量订货，可以使采购成本和保管成本中的变动成本的总和最低.

因此，最优批量问题的数学模型为：

最优定货量q=2kDm，

最优批量成本TC*（q）=kD2kDm+m22kDm=2kDm.

最后需要说明的是，经济学是一个复杂的科学体系，经济研究中必须综合应用各种方法，才能使经济理论科学有效，数学只是经济研究的方法之一.在经济研究中应用数学方法时，要力求数学条件的设定与真实的经济现实最大限度地接近，不可设定脱离现实的经济模型.另一方面，随着经济学和数学的共同发展，在经济研究中将会更进一步地运用现代数学的理论知识和思想方法，建立更多、更科学实用的经济数学模型.数学作为辅助工具将会在经济研究中得到更成功、更广泛地运用.

【参考文献】

[1]张治俊，主编.新编高等数学[M].北京：北京邮电大学出版社，2012.

[2]沈跃云，马怀远，主编.应用高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]Walter Nicholson.微观经济理论基本原理与扩展[M].朱幼为，等译.第9版.北京：北京大学出版社，2008.

[4]崔宜兰.导数在经济领域中的最优化问题的应用[J].安庆师范学院学报，1997（2）.

[5]杨丽贤，曹新成，关丽红.谈高等数学理论在经济领域中的应用[J].长春大学学报，2006（12）.