提升三大能力 巧破概率统计中解题障碍点

摘要：通过提升数学阅读能力、计算能力、概率模型的识别能力三方面，破解概率统计中解题障碍点.

关键词：概率统计;解题障碍点;三大能力

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0058-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：张隆亿，从事高中数学教学研究.[FQ）]

概率统计解答题以实际应用题为基础，具有较高的针对性和新颖性，具有时代气息，贴近学生实际生活.它取代了传统的应用题，成为高考的亮点.本文梳理了概率统计中的解题障碍点.

1 提升数学阅读能力

概率统计题得分率低的一个重要原因是问题长且信息量大.考生读不懂试题，抓不住解决问题的关键，没有解决问题的基础.因此，提高考生的数学阅读能力是解决这一问题的关键.建议先看问题，掌握解决问题所需的要素，以便快速入题，突破概率统计问题的阅读能力障碍.

例1“碳中和”是指在一定时期内通过造林、节能减排等抵消直接或间接产生的温室气体排放总量.某个城市大力发展新能源汽车和植树造林，以取代大气中的二氧化碳，实现碳中和.该市一家研究机构统计了五年内车辆行驶里程（万千米）的频率分布直方图，如图1所示.

该研究机构对300名车主在购买汽车时是否考虑空气污染进行了调查.在这些车主中，新能源汽车拥有者占了16，而这些车主在购买汽车时考虑空气污染占20%，燃油汽車车主在购买汽车时考虑空气污染占10%.根据上述统计，作出列联表并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑空气污染有关.

分析试题中的“碳中和”等背景可作为一般理解.解决这一问题的关键是通过“是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑空气污染有关”，抓住两个分类变量：是否购买新能源汽车，是否考虑空气污染，找出购买新能源汽车的车主人数300×16=50，他们中考虑空气污染因素的人数50×20%=10，以及在购买汽车时考虑空气污染因素的燃料车主人数250×10%=25，并制作2×2列联表;根据临界值表，由K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）求解的观测值得出结论.

解析列2×2列联表如下：

考虑大气污染没考虑大气污染合计

新能源汽车车主104050

燃油汽车车主25225250

合计35265300

所以K2=300×（10×225-25×40）235×265×250×50≈4.04.

因为4.04<6.635，所以没有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.

2 提升计算能力

要想赢得计算，首先要明确计算原理，掌握一些计算方法，提高计算速度和正确率.避免盲目计算.

其次，充分利用公式和题目提供的数据.一些数据本身具有很强的提示性并适当估算.

例2（2017年课标全国Ⅰ卷文第19题节选）某天，检验员每隔一段时间从生产线抽取1个零件测量尺寸，累计16次具体如下：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.98

10.04抽取次序91011

1213141516零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

参考数据x=116∑16i=1xi=9.97，s=116∑16i=1xi-x2=116∑16i=1x2i-16x2≈0.212，0.008≈0.09.

剔除x-3s，x+3s之外的数据，估计当天该生产线生产的零件尺寸的平均值和标准差.（精确到0.01）

分析剔除1个数据，虽然剩下的15个数据具体明确，但直接代入均值和方差的公式计算量较大.观察到剔除前后的15个值是相同的.在均值和方差的求解中，∑12i=1xi+∑16i=13xi，∑12i=1x2i+∑16i=13x2i可以通过在剔除之前均值和方差的相应数据来求解.注意参考数据0.008≈0.09和方差与标准差之间的关系，并进行适当估算得到答案.

解析剔除第13个数据，剩余数据的平均值为

11516×9.97-9.22=10.02.

由∑16i=1x2i=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，得剩余数据的方差为

1151591.134-9.222-15×10.022≈0.008.

该生产线当天生产的零件尺寸的标准差估计值为0.008≈0.09 .

点睛解决数学新颖题时，一是通过转化，变“新”为“旧”;二是通过深入分析和多元联想，以“旧”攻“新”;三是要特别注意创新问题类型的切入点和生长点.

3 提升概率模型的识别能力

概率模型的识别和应用主要集中在区分二项分布和超几何分布上.二项分布是将两个不同的对象（货物、人或事）放回的抽样问题.它是n次独立重复试验，成功概率P相等，总体的数量未知;它常与“频率估计概率”和“样本估计总体”相结合;超几何分布是将两个不同的对象（货物、人或事）不放回的抽样问题，并且总体的数量已知.

例3某单位7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，从7人中随机抽取3人进行进一步体检.使用X表示所选3人中睡眠不足的员工人数，并计算随机变量X和数学期望的分布列.

分析本题是对7人（总体数量已知）中睡眠充足与否（两类不同的对象）的不放回抽样问题，所以随机变量X服从超几何分布H（7，4，3），所以E（X）=3×47=127.

解析随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X=k）=Ck4·C3-k3C37（k=0，1，2，3）.所以随机变量X的分布列为X0123P

13512351835435

随机变量X的数学期望

E（X）=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127.

另：因为随机变量X服从超几何分布H（7，4，3），所以E（X）=3×47=127.

变式探究1若某单位每天睡眠不足的员工上班迟到的概率为23，任一员工每天上班情况相互独立.用Y表示三天中睡眠不足的员工上班迟到的天数，求随机变量Y的分布列和数学期望.

分析本題是对某单位员工（总体数量未知）睡眠充足与否（两类不同的对象）的放回抽样问题，所以随机变量Y服从二项分布B3，23，所以E（Y）=3×23=2.

解析因为员工每天上班情况相互独立，且每天睡眠不足的员工上班迟到的概率均为23.

故Y～B3，23.

从而PY=k=Ck323k133-k（k=0，1，2，3）.

所以，随机变量Y的分布列为：

Y0123P

12729

49827

随机变量Y的数学期望E（Y）=3×23=2.

变式探究2若某地区睡眠不足的人数占比为23，现从该地区中随机抽取三人，用Z表示这三人中睡眠不足的人数，求随机变量Z的分布列和数学期望.

分析本题是对某地区（总体数量未知）睡眠充足与否（两类不同的对象）的不放回抽样问题，然而，在实际应用中，“大”“较大”和“非常大”等词出现在题干中.该检验可视为一个独立的重复试验，因此随机变量服从二项分布，所以随机变量Z服从二项分布B3，23，所以E（Z）=3×23=2.

变式探究3若某单位每天睡眠不足的员工上班迟到的概率为23，任一员工每天上班情况相互独立.用Y表示三天中睡眠不足的员工上班迟到的天数， ξ表示三天考勤激励金（单位：元），且ξ=80-20Y，求随机变量ξ数学期望.

分析本题三天考勤激励金ξ不属于对两类不同的对象（物品、人或事）抽样问题，所以不属于超几何分布或二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量Y服从二项分布B3，23，可利用Eax+b=aEx+b，Dax+b=a2Dx求解.

解析因为员工每天上班情况相互独立，且每天睡眠不足的员工上班迟到的概率均为23，所以Y～B3，23，随机变量Y的数学期望E（Y）=3×23=2.

故Eξ=E80-20Y=80-20EY=80-20×2=40（元）.

本文主要分析了概率统计中常见的障碍点，提出数学阅读能力、计算能力、概率模型的识别等能力提升的方案，有效地帮助学生在教学实践中提高分析和解决问题的能力，培养一定的数学核心素养.

参考文献：

[1] 文贵双.加强学生数学阅读能力的培养[J].中学教学参考，2021（26）：21-23.

[责任编辑：李璟]