例析圆锥曲线解答题中的双向量系数问题

摘要：圆锥曲线解答题中常涉及以向量形式呈现的条件，求解两个向量系数相关的定值或最值问题. 文章结合具体例子总结这类问题常见的解题策略.

关键词：圆锥曲线;向量系数;定值最值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0033-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：李宁（1989-），男，海南省文昌人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

圆锥曲线解答题的一些条件涉及两个向量系数，如AP=λPB，AQ=μQB，或OC=λOA+μOB，然后求解跟λ和μ有关的定值或最值问题. 下面结合具体例子总结处理这类问题的解题策略.

例1点P（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，设直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N. 设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证：1λ+1μ为定值.

解析设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），则QM=（0，y3-1），QO=（0，-1）.

于是y3-1=-λ，即λ=1-y3.

同理，μ=1-y4.

由于P，A，M三点共线，有

y3-2-1=y1-2y214-1=4y1+2.

解得y3=2y1y1+2.

同理，y4=2y2y2+2.

直线l斜率不为0，设其方程为x=m（y-1），

与y2=4x联立，得

y2-4my+4m=0.

从而y1+y2=4m，y1y2=4m.

所以1λ+1μ=11-y3+11-y4

=y1+22-y1+y2+22-y2

=8-2y1y24-2（y1+y2）+y1y2

=8-8m4-8m+4m

=2.

所以1λ+1μ为定值.

评注λ和μ与点M，N的纵坐标有关，而M，N两点与A，B两点有关，1λ+1μ最终可以转化为与A，B两点纵坐标有关的表达式. 考虑到最后要通过纵坐标来运算，所以设直线l的方程为x=m（y-1），降低了计算量. 这类定值问题，可以用相应点的横坐标或者纵坐标构建目标表达式，然后将直线方程和圆锥曲线方程联立，利用韦达定理整体消元即可得到定值.

例2直线l经过椭圆C：x22+y2=1的右焦点F交椭圆于A，B两点. 若直线l交y轴于点M，且MA=λAF，MB=μBF，则λ+μ是否为定值？若是，求出λ+μ的值;否则，请说明理由.

解析由题知F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），则

MA=（x1，y1-y0），

AF=（1-x1，-y1）.

从而x1=λ（1-x1），y1-y0=-λy1.

即x1=λ1+λ，y1=y01+λ.

因为点A在椭圆C上，则

λ1+λ2+2y01+λ2=2.

即λ2+4λ+2-2y20=0.

同理，μ2+4μ+2-2y20=0.

从而λ和μ是二次方程x2+4x+2-2y20=0的两根，故λ+μ=-4，为定值，定值为-4.

评注例2和例1类似，可以用相应点的横坐标或纵坐标来表示λ+μ，再利用韦达定理整体消元. 这里注意到例2的特殊性，A，B两点地位相同，利用点A在椭圆C上构建λ有关的二次方程，同理得到跟μ有关的二次方程，利用韦达定理直接得到λ+μ的值.

例3設A为椭圆C：x22+y2=1上的一个动点，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，AM，AN分别为过F1，F2的弦，且AF1=λF1M，AF2=μF2N，求证：λ+μ为定值.

解析由题知F1（-1，0），F2（1，0），设A（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），则

AF1=（-1-x1，-y1），

F1M=（x2+1，y2）.

故-1-x1=λ（x2+1），-y1=λy2.

即x2=-1+λ+x1λ，y2=-y1λ.

因为点M在椭圆C上，从而

1+λ+x1λ2+2y1λ2=2.

即（1+λ）2+2（1+λ）x1+x21+2y21=2λ2.

又x21+2y21=2，从而

2（1+λ）x1=λ2-2λ-3=（λ-3）（λ+1）.

由于λ>0，从而2x1=λ-3.

即λ=2x1+3.

同理μ=-2x1+3.

故λ+μ=6为定值.

评注从构图上来看，点A确定了以后，整个图形就能确定下来. 通过设点法，充分利用点在椭圆上消去二次项，得到参数之间的关系. 其实，也可以通过焦半径的计算来实现转化.

AF1=（x1+1）2+y21A969713E-28B4-4C01-9BB8-E008144CB8AE

=x21+2x1+1+（1-x212）

=（x1+2）22

=x1+22.

同理，F1M=x2+22，从而x1+2x2+2=λ.

又由AF1=λF1M得到-1-x1=λ（x2+1）.

从而λ=2x1+3.

例4设过椭圆C：x2100+y225=1的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆上任意一点M，若OM=λOA+μOB，求λμ的最大值.

解析由题意，直线AB的方程为y=x-53，

与x2100+y225=1联立，得

x2-83x+40=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=83，x1x2=40.

设M（x0，y0），则由OM=λOA+μOB，得

x0=λx1+μx2，y0=λy1+μy2.

由于M在椭圆上，从而

（λx1+μx2）2+4（λy1+μy2）2=100.

即λ2（x21+4y21）+λ2（x22+4y22）+2λμ（x1x2+4y1y2）=100.

又x21+4y21=100，

x22+4y22=100，

x1x2+4y1y2

=x1x2+4（x1-53）（x2-53）

=5x1x2-203（x1+x2）+300

=20，

于是λ2+μ2+2λμ5=1.

所以1=λ2+μ2+2λμ5≥2λμ+2λμ5=125λμ.从而λμ≤512，

当λ=μ=156时等号成立.

故λμ的最大值为512.

评注这里充分利用M，A，B三点在椭圆上来处理二次项，由直线方程和椭圆方程联立，通过韦达定理处理交叉项x1x2+4y1y2.

小结这类问题往往涉及到圆锥曲线上两个或更多动点，可以由题目给的向量条件沟通相应点的横坐标和纵坐标的关系，接下来就是消元. 可以分析整个图形的构图，考查是由动直线还是动点主导，从而考虑采取设线法还是设点法. 设线法，用韋达定理整体消元;设点法，利用点在圆锥曲线上来消元.

练习1过点P（0，3）的直线l交抛物线C：y2=4x于A，B两点，交x轴于点D，若PD=λDA=μDB，则λ+μ是否为定值？若是，求出该定值;若不是，请说明理由.

答案：λ+μ=-1.

练习2已知椭圆C：x212+y24=1，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆C相交于M，N两点，各点互不重合，且满足PM=λMQ，PN=μNQ，其中λ+μ=-3，证明：直线l恒过定点，并求出定点的坐标.

答案：（2，0）.

参考文献：

[1] 李宁，贺航飞，屈韬.韦达定理在圆锥曲线一些对称结构中的应用[J].数学通讯，2018（01）：7-9.

[责任编辑：李璟]A969713E-28B4-4C01-9BB8-E008144CB8AE