建构图式，提升学生学习效能

胡波涛

[摘  要] 图式理论视野下的小学数学教学，遵循了学生认知结构的建构模式。图式有助于学生理解本质，有助于学生把握结构，有助于学生建立数感。在小学数学教学中，教师要激活学生的原有图式，建构学生的目标图式，迁移应用学生的新图式。通过图式唤醒、激活、迁移、应用，发展学生的图式素养，提升学生的数学学习效能。

[关键词] 图式;学习效能;小学数学

图式理论是一种认知理论。认知心理学认为，学生学习的过程是学生借助已有图式去建构、内化新图式的过程。所谓“图式”，是指个体获得的知识、经验并在头脑中储存的一种方式。德国思想家康德认为，图式是一种潜藏在人类心灵深处的技术、技巧。而瑞士认知心理学家皮亚杰则认为，图式是一个有组织的、可重复的行为或思维模式。基于图式对学生数学学习的重要性，在小学数学教学中，教师要激活学生原有的经验图式，引导学生建构新图式、运用新图式。

[⇩] 一、建构数学图式的意义和价值

在数学学习中，经验、表征以及符号学习、抽象性学习等都会在学生的大脑皮层上留下印迹。图式既是学生数学学习的载体、媒介，又是学生数学学习的一种活动方式。图式的建构过程，也是学生数学学习的自我建构过程。可以这样说，图式贯穿学生数学学习的始终。

1. 图式有助于理解本质

数学图式是以一种直观化、具体化的方式存在于学生头脑之中的，是解释知识性质的重要工具。在小学数学教学中应用图式，能让学生深刻理解数学知识本质，能帮助学生理解算理、建构算法、理解数学规律等。概言之，图式能帮助学生理解数学知识的本质。比如在“长方形的周长”一课的教学中，教师为了让学生建立“周长”概念，理解周长本质，通常会出示许多变式性的图形，诸如有的是不封闭的图形，有的表示的是图形的面积而不是图形的周长，等等。通过图形，引发学生的数学思考，建立起学生对自身体验与外物体验的对应关系，从而深化学生对概念和性质的理解。

2. 图式有助于把握结构

数学知识是高度结构化、系统化、形式化的，教师借助图式能帮助学生更好地把握数学知识之间的关联、结构等。数学图式将相关的数学知识串点成线、连线成网，进而突出了数学知识的逻辑性、层次性和网络性。在建构数学知识的过程中，学生内在的图式往往要经过改变（通过“同化”和“顺应”两种方式），最终将旧的认知系统纳入其中，或者超越旧的认知系统，建构生成新的图式系统。比如教学“圆柱的侧面积”这一部分内容之后，笔者引导学生比较“长方体的侧面积”“正方体的侧面积”等相关知识，从而让学生把握数学知识结构。同时，笔者还引导学生抽象、提炼、概括，建构直柱体统一的侧面积计算新图式，即V=Sh。总的来说，把握数学知识的图式，学生才能在数学学习中“既见树木又见森林”。

3. 图式有助于建立数感

所谓“数感”，是指对数学的一种直觉、直感，是一种对数学的敏锐感。这种“直觉”“直感”不同于感性认知，而是一种对数学本质的洞察、对数学知识结构的迅捷把握。实践表明，拥有良好数感的人，其数学学习力往往很强，其数学学科核心素养也往往很好。作为教师，应该引导学生借助图式对相关数学知识进行编码。比如在简便运算的学习过程中，有学生对“0.25与4”“0.125与8”建立了相关的图式，并能在计算过程中看到“0.25”就会去找“4”，看到“0.125”就会去找“8”。换言之，“0.25与4”“0.125与8”已经作为一种稳定的图式扎根于学生的心中，从而让学生能积极主动地探寻简便算法。通过长期的实践，学生逐步形成了具有导向性、实效性的数感。

数学图式的类型很多，主要有动作图式、表象图式和思维图式。在数学教学中，教师可以引导学生逐步从动作图式过渡到表象图式，再从表象图式提升为思维图式、符号图式等。通过学生的数学学习，让学生的学习图式逐步走向完善、完整。关注学生数学图式的有效建构、生成与完善，是数学教学的应有之义 。

[⇩] 二、数学图式建构的策略与路径

数学是抽象化、公理化、形式化的。作为教师，要将抽象化、公理化、形式化的数学进行具体化、直观化。图式是架设在抽象的数学与学生天性之间的一座桥梁。教师可以借助图形、文字、符号等多样化的语言，帮助学生建构图式。而借助图式，抽象、深奥的数学能得到具体、形象的诠释。在这个过程中，教師要让旧的图式得到改造，让新的图式得到建立，从而不断推进图式的丰富与完善。

1. 发现并激活学生的原有图式

学生的原有图式是学生数学学习的根基，包括经验图式、生活图式、已有知识图式等。其中，有的图式是以语言表征出来的，有的图式是以图形、图片和图像表征出来的，还有的图式是以符号、问题、形式等表征出来的。作为教师，必须了解学生的具体学情。只有这样，才能有效地把握学生的原有图式，将教学切入学生数学认知的“最近发展区”。

要想发现并激活学生的原有图式，教师可以采用问题诊断、问卷调查、任务诊断、作业诊断等多种方式。通过这些方式、手段和策略，唤醒并激活学生的原有图式，从而让学生找到新旧图式的连接点。比如教学“分数的初步认识”（苏教版三年级上册）这一部分知识时，笔者借助学生的生活经验图式——“一半”，引导学生建构“分数的意义”。在教学过程中，笔者引导学生动手操作，将一个长方形、一个圆形、一个正方形进行平均分，从而助推学生建立动作表象。在此基础上，笔者又让学生对操作过程进行表述，逐步引导学生将生活化的语言提升为数学化的语言，从而帮助学生建立语言图式。最后，笔者还引导学生进行抽象和概括，帮助学生建立对分数的意义的认知，从而形成符号表象。

发现并激活学生的原有图式，有助于引导学生进行数学知识的自主建构。在数学教学中，有时教师还要对学生的原有图式进行补充、修复，从而弥合学生原有认知图式与新知之间的认知裂隙。总的来说，唤醒、激活学生的原有图式，有助于引导学生积极参与，深化学生的思考与探究。

2. 建构并内化学生的目标图式

目标图式是学生数学学习的新图式，是要达到的学习点。在数学学习中，当学生的原有认知经历同化、顺应之后，当新旧知识被有机融通、统整之后，新的图式就会建构完成。在数学教学中，教师要丰富图式、拓展图式。通过新图式的建构、内化，促进学生认知心理从失衡走向新的平衡。

比如教学“圆柱的体积”，笔者从学生的已有认知图式——“圆的面积推导过程图式”出发，让学生操作圆柱的学具模型。当学生将圆柱通过切拼转化成长方体之后，笔者引导学生比较圆柱和长方体，从而帮助学生建构图式。为了进一步内化、巩固、拓展、延伸学生的认知图式，笔者让学生以不同的方式去摆放长方体，从而让学生发现建构圆柱体积的不同推导路径。比如将圆柱正着放，就能推导出“V=πr2h”;将圆柱侧向放置，就能建构“V=S侧r”;将圆柱换个方向侧放，就能推导出“V=hr×”;等等。对目标图式的补充、完善和充实，盘活了学生的思维，掀起了学生的头脑风暴。在这样的教学中，学生的数学学习逐渐走向了更深处。

目标图式是学生数学学习的原点和归宿，也是学生数学学习的灵魂和命脉。把握了目标图式，就能促进数学知识的意义建构与内化，从而真正助推学生实现从“知”到“智”的变化。

3. 迁移并应用学生的生成图式

所谓“迁移”，是指学生的已有知识、技能、方法甚至学习态度对新学习的影响。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生建构图式、发展图式、丰富图式，还要引导学生迁移图式、应用图式。只有通过迁移、应用，才能让图式具有生命活力。在数学教学中，教师需要创设情境，设计相关活动，引导学生不断应用图式，实现新图式的遷移、应用。

图式的意义不仅仅在于学生的理解，而在于灵活应用。可以这样说，静态的图式是“死”的，而动态的“图式”则是活的。将新图式、目标图式有效应用，能让数学学习充满灵性。在数学教学中，教师要启发学生构图、创图。正如著名教育家乔纳森所说：“当学生尝试用图式方法来表征事物时，其思维往往处于最佳的状态。”在数学应用中，学生的图式往往是一个个的组块，等待着学生的提取、激活、迁移、应用。比如教学了“一一间隔”这一部分内容之后，笔者引导学生应用相关的图式，如“两端物体相同，两端物体个数=中间物体个数+1”“两端物体不同，两种物体的个数相等”。在应用的过程中，学生能感受、体验到情境的复杂性。比如不仅要关注两端物体是否相同，而且要关注是一侧还是两侧，还要思考是线段还是封闭图形，等等。在迁移、应用图式的过程中，学生能逐步领悟到图式的内在本质、使用阈限、应用策略等。

图式理论视野下的小学数学教学，遵循了学生认知结构的建构模式。应用图式能指导学生的数学学习，能提升学生的数学学习效能，促进学生数学思维水平、探究水平的提升。在数学教学中，教师要以图式化素养为例，探究学生数学学习的一般化策略。通过学生的思维、探究、感悟，引导学生经历数学学科核心素养的形成、发展过程。