直线与曲线参数方程问题常见错误分析

赵程程

(山东省邹平市第二中学)

直线和曲线参数方程的引入,为解析几何问题的求解提供了便利的工具,相关问题的求解中既可以直接利用参数方程,也可以将参数方程转化为直角坐标方程.在某些问题的求解中,学生常常因为忽视参数的几何意义、不注意考虑参数的范围等原因出错,造成无谓失分,本文就常见的失分点举例辨析.

1 未对直线倾斜角进行讨论

过点M(x0,y0),倾斜角为α(α≠)的直线l的直角坐标方程为y-y0＝tanα(x-x0),其参数方程的标准形式为

将参数方程化为普通方程时要注意对倾斜角(即对斜率)存在与否进行讨论.

例1(2018年全国Ⅱ卷理22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为 参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

辨析上述解法的错误之处在第(1)问,将直线的参数方程化为普通方程,且倾斜角α未知时,要对其是否为(即cosα是否为0)进行讨论.

当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2-tanα;当cosα＝0时,l的直角坐标方程为x＝1.求解类似问题时,需注意倾斜角的范围是[0,π).

2 机械地套用参数的几何意义

选择的视角不同,同一直线或曲线的参数方程可能不同,因此参数方程有标准方程和一般方程之分.过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数).其中参数|t|表示直线l上任意一点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离.对直线参数方程的一般形式(t为参数),若a2＋b2≠1,则参数t不具有这一几何意义.

例2在平面直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ＝2.

(1)求直线l的一般方程以及圆C的直角坐标方程;

(2)设P(-1,1),直线l和圆C相交于M,N两点,求||PM|＋|PN||的值.

错解(1)由消去参数t得x-2y＋3＝0,即为直线l的一般方程.由ρ2＝x2＋y2及ρ＝2,得x2＋y2＝4,即圆C的直角坐标方程.

辨析本题中所给的直线的参数方程,并不是标准形式,其中的参数不具有相应的几何意义,因此可先将其化为参数方程的标准形式后再利用参数的几何意义求解.

从而实现了参数方程一般式与标准式的转化.

据此可得直线l的参数方程的标准式为

3 遗漏对判别式的判定

坐标系与参数方程大多以直线和曲线的位置关系为背景,此类问题往往需要将直线方程与曲线方程联立,借助判别式、根与系数的关系处理.有些题目联立方程后所得一元二次方程的判别式并不是恒大于或等于0,这时就要对其加以限制.

例3过点P,0)作倾斜角为α的直线与曲线x2＋2y2＝1交于M,N两点,求|PM|·|PN|的最小值.

错解设直线的参数方程为

将其代入曲线x2＋2y2＝1得.

设点M对应的参数为t1,点N对应的参数为t2,由根与系数的关系得t1t2＝,所以

因为0≤sin2α≤1,所以当sin2α＝1时,有

辨析对于直线与曲线相交问题,利用代入消元法,将直线方程与曲线方程联立得到一元二次方程后,首先要满足的条件是判别式大于或等于0,即

4 无视参数范围对坐标的限制

将不同的方程进行统一转化是处理坐标系与参数方程问题的常用策略,在转化的过程中如果没有注意参数范围的限制,转化后直角坐标方程中x,y的范围就会扩大,从而使解题出现错误.

例4(2020年全国Ⅰ卷理22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为

(1)若k＝1,C1是什么曲线?

(2)若k＝4,求C1与C2的公共点的直角坐标.

错解(1)当k＝1时,曲线(t为参数),进而可得x2＋y2＝1,即曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.

(2)当k＝4 时,曲线C1的参数方程为(t为参数),即(t为参数),进而可得＋1,即C1的直角坐标方程.

对于曲线C2:4ρcosθ-16ρsinθ＋3＝0,由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,得其直角坐标方程为

当然,类似的失分点还有很多,在此不再一一列举.总之,在处理有关参数方程的问题时,学生要明确易错点,认清致错根源,找到合理的避错策略,避免“会而不对,对而不全”等情况的出现.

(完)