2022年高考数学模拟试卷

朱惊涛

(广州大学附属中学)

(本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A＝{x|x2-1＞0},B＝{x|x≥a},若A∪B＝A,则a的取值为( ).

A.1 B.2 C.-1 D.-2

2.已知复数z＝为单位虚数),则|z|的值为( ).

3.若样本数据x1,x2,…,x9的标准差为8,则数据3x1-1,3x2-1,…,3x9-1的标准差为( ).

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且公差不为0,等比数列{bn}的前n项和为Tn,且S17＝17at,Tn＝s·＋2,则t＋s＝( ).

A.19 B.7 C.11 D.15

5.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0＜|φ|＜)的横坐标缩短倍(纵坐标不变),得到函数g(x),已知函数g(x)的一个对称中心为,则φ的值为( ).

6.已知AB是半径为r的圆O的直径,过圆O上的动点P作切线与过点A,B的切线分别交于点M,N,则|AM|·|BN|＝( ).

7.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游),春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满80元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有5名顾客都领取一件礼品,则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是( ).

8.已知a＝log1.21.3,b＝,c＝log1.31.4,则a,b,c的大小关系为( ).

A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.b＞a＞cD.a＞c＞b

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)

9.下列命题正确的是( ).

B.(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c

C.a∥b且b≠0,则∃λ∈R,使a＝λb

D.b,c均为单位向量,且b⊥c,若a＝λb＋μc(λ,μ∈R),则a＝(λ,μ)

10.下列说法正确的是( ).

A.若x,y＞0,满足x＋y＝2,则2x＋2y的最小值为4

B.若x＜,则函数y＝2x＋的最小值为-1

C.若x,y＞0,满足x＋y＋xy＝3,则x＋y的最小值为2

D.函数y＝的最小值为3＋

11.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,P是线段A1C(不含端点)上的一个动点,那么在点P的运动过程中,下列说法正确的是( ).

A.存在某一位置,使得BC⊥平面AEP

B.存在某一位置,使得BC∥平面AEP

C.三棱锥C1-PBE的体积不变

D.∠AEP的余弦值的取值范围是

A.曲线Γ关于x,y轴都对称 B.曲线Γ与双曲线C有公共点

C.曲线Γ有渐近线 D.曲线Γ在第三象限内y随x的增大而增大

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.若函数f(x)＝cosx·ln(mx＋的图像关于原点对称,则实数m＝________.

15.抛物线y2＝4x的焦点为F,A,B是抛物线上两点,且,且AB的中点到准线的距离为3,则线段AF的中点到准线的距离为_________.

16.已知A,B,C,D是体积为的球体表面上四点,若AB＝6,AC＝3,BC＝,且三棱维A-BCD的体积为,则线段CD长度的最大值为_________.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(B＋)＝,且b2-c2＝5a.

(1)求a＋c的值;

(2)若cosA＝,求△ABC的面积.

18.(12分)已知首项是3的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＋1-1＝Sn＋2an＋2n＋1,数列{bn}满足bn＝

(1)证明:{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式;

(2)求数列{a2n-1}的前n项和Tn.

19.(12分)某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.

(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表.

年份 2017 2018 2019 2020 2021_成交额/百亿元 9 12 17 21 27___

求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2017年为x＝1,2018年为x＝2,…依次类推)的线性回归方程,并预测2022年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元);

(2)在2022年“双十一”购物节前,甲、乙、丙三位同学计划在该网络购物平台上分别参加A,B,C三店各一个订单的“秒杀”抢购,且订单“秒杀”成功的概率分别为,又已知甲在A店订单的商品件数是2件,其余两人订单的商品件数都是1件,求三位同学抢购到的商品总件数X的数学期望.

附:一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线^y＝^bx＋^a的斜率和截距的最小二乘估计为^b＝

20.(12分)如图所示,在五面体ABCDE中,DA⊥AC,平面ABC⊥平面DAC,AD∥BE,且AB＝BC＝,AC＝AD＝2BE＝2.

(1)求证:平面DEC⊥平面DAC;

(2)线段AC上是否存在一点P,使得二面角P-DE-C的余弦值等于,若存在,求出线段PC的长度;若不存在,说明理由.

(1)求椭圆E的方程;

22.(12分)已知函数f(x)＝ax(x＋1)-ln(x＋1),a∈R.

(1)当a＝1时,证明:f(x)≥0;

(2)若f(x)≥cosx-1恒成立,求a的取值范围.