2022年新高考数学模拟试卷

罗文军

(甘肃省秦安县第二中学)

(本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A＝{-1,0,1},B＝{1,2,3},C＝{(x,y)|x∈A,y∈B,xy∈A},则集合C中所含元素的个数为( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

2.复数z满足(z＋2)(3＋4i)＝25(i为虚数单位),则z的共轭复数为( ).

A.1-4i B.1＋4i C.1＋3i D.1-3i

3.已知函数f(x)＝sinx＋sin(cosx),下列说法正确的是( ).

A.函数f(x)为奇函数 B.函数f(x)的图像关于直线x＝π对称C.π为函数f(x)的一个周期 D.函数f(x)在[-,0]上单调递增

4.若e1,e2是两个夹角为45°的单位向量,已知a＝3e1＋4e2,则|a|＝( ).

5.已知角α的顶点在原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线2x-y＋3＝0平行,则的值为( ).

6.已知倾斜角为60°的直线m经过抛物线C:y2＝4x的焦点F且与C的准线l交于点A,记直线m与C在x轴上方的交点为B,其中O为坐标原点,则△AOB的面积为( ).

7.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋x在点(1,f(1))处的切线方程为x＋4y-2＝0,则函数f(x)的零点个数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

8.已知数列{an}满足an＋1＝,a1＝,则a2022＝( ).

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)

9.已知点M与两个定点O(0,0),A(0,2)的距离之比为,记点M的轨迹为E,若直线y＝＋b与曲线E相切,则b的可能取值是( ).

10.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥,已知此正四棱锥的底面正方形的边长为米,侧棱长为4米,则该正四棱锥的( ).

11.设P为椭圆C＝1上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则下列说法正确的是( ).

12.已知x＞0,y＞0且2x＋3y＝10,则下列结论正确的是( ).

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)

13.已知函数f(x)＝则f(f(f(256)))＝_________.

14.(2＋3x＋4x2)(1＋x)6展开式中x3的系数为________.

15.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠0},若函数f(x)同时满足:①f(xy)＝f(x)＋f(y);②f(x)的单调递增区间为(0,＋∞);③f(1)＝0,则f(x)＝_________(答案不唯一,写出满足这些条件的一个函数即可).

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(10分)已知等差数列{an}满足a3＝7,a6＋a9＝32.

(1)求{an}的通项公式;

(2)从①bn＝＋an;②bn＝an·;③bn＝这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答.

数列{bn}满足_________,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,b＝6.

(1)求角B的大小;

(2)若点D在边BC上,且求△ACD面积的最大值.

19.(12分)某中学在2021年组织了“建党百年”党史知识竞赛,抽取120名考生的成绩(单位:分)按[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145]分成5组,制成频率分布直方图,如图所示.

(1)估计这120名考生的平均成绩以及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(2)由直方图可认为考生成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩¯x和考生成绩的方差s2,利用该正态分布,求P(109.55＜Z＜133.45).

20.(12分)已知圆O:x2＋y2＝7,椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于x轴的直线被椭圆C和圆O所截得的弦长分别为3和

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若不过点B的直线l与椭圆C交于M,N两点,且满足,试探究:直线l是否过定点,若是,求出定点的坐标;若不是,说明理由.

21.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB＝90°,CA＝CB＝AA1＝2,M,N分别是A1B与CC1的中点,G为ABN的重心.

(1)求证:MG⊥平面ABN;

(2)求二面角A1-AB-N的正弦值.

22.(12分)已知函数f(x)＝x-lnx＋a(a∈R).

(1)求函数f(x)的极值;

(2)设函数f(x)的图像与直线y＝t交于M(x1,t),B(x2,t)两点,且x1＜x2,求证:函数f(x)在x＝处的切线斜率大于0.