利用数学运算解决一类函数的对称性问题*

林心如 (福建师范大学附属福清德旺中学高一(1)班 350319) 指导教师 周 宁

函数的对称性问题在教材中没有直接作为授课内容呈现，而是以课后习题形式出现，并且是通过转化为函数的奇偶性加以解决．那么，是否还有其他的方式进行求解？本文进行了以下的探究．

1 试题与分析

问题我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．

(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．

分析 这道题是人教A版必修第一册第87页“拓广探索”栏目的最后一题，有一定的难度，主要体现在对背景知识的理解和代数运算．根据题意，要将题目的对称性转化为函数的奇偶性．不妨设y=f(x)图象的对称中心为(a,b)，则问题等价于y=f(x+a)-b为奇函数，利用奇函数的函数关系式可得，f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0，再将f(x)=x3-3x2代入求解．为了减少计算量，可以考虑先取特殊值(比如x=0，x= -1)求解出对称中心的坐标，再验证一般性成立．通过上述的分析可知，本题主要考查对函数奇偶性的理解以及知识的转化迁移能力，对逻辑推理、数学运算等数学核心素养要求较高．

2 反思提升

无论是解法1和解法2，在求解时都需要用到立方和差公式，运算较为麻烦．有没有更为简便的方法呢？在函数奇偶性的学习过程中，我们知道，在定义域满足关于原点对称的前提下，可以通过数学运算判断函数的奇偶性，如f(x)+g(x)的定义域关于原点对称，其中f(x),g(x)均为奇函数，则f(x)+g(x)为奇函数．那么函数的对称中心是否也可以通过运算来判断和计算呢？

·探究1 通过运算探究函数的对称中心

问题1提出猜想：若f(x),g(x)图象的对称中心都是(a,b)，则M(x)=f(x)+g(x)图象的对称中心也是(a,b)．

解析 因为f(x),g(x)图象的对称中心都是(a,b)，则f(x)+f(2a-x)=2b，g(x)+g(2a-x)=2b．两式相加得f(x)+g(x)+f(2a-x)+g(2a-x)=4b，即M(x)+M(2a-x)=4b，故猜想不正确．

事实上，M(x)=f(x)+g(x)图象的对称中心为(a,2b)，即

结论1若f(x),g(x)图象的对称中心都是(a,b)，则M(x)=f(x)+g(x)图象的对称中心为(a,2b)．

问题2若f(x),g(x)图象都有对称中心，但是对称中心横坐标相同，纵坐标不同，那么M(x)=f(x)+g(x)图象有对称中心吗？

解析 若f(x),g(x)图象的对称中心分别为(a,b),(a,c)，则f(x)+f(2a-x)=2b，g(x)+g(2a-x)=2c．两式相加得f(x)+g(x)+f(2a-x)+g(2a-x)=2b+2c，即M(x)+M(2a-x)=2b+2c．故M(x)=f(x)+g(x)图象也有对称中心，坐标为(a,b+c)．

于是有

结论2若f(x),g(x)图象的对称中心分别为(a,b),(a,c)，则M(x)=f(x)+g(x)图象的对称中心坐标为(a,b+c)．

同理，我们可以得到以下结论：

结论3若f(x),g(x)图象的对称中心横坐标不同，那么M(x)=f(x)+g(x)图象不是中心对称图形．

结论4若f(x),g(x)图象关于点成中心对称，那么N(x)=f(x)g(x)图象不是中心对称图形．

因此，我们可以给出试题的第3种解法：

解法3f(x)=x3-3x2=(x-1)3-3x+1可以看作函数u(x)=(x-1)3与v(x)= -3x+1的和，其中u(x)图象的对称中心为(1,0)，v(x)图象为直线，而直线上任意一点都是它的对称中心，那么取横坐标为1的点，即取对称中心为(1,-2)，故由结论2可知，f(x)的对称中心为(1,0+(-2)),即(1,-2)．下同解法2．

仿照解法3，我们可以推广到一般的三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象具有对称中心．

·探究2 通过运算探究函数的对称轴

结论5若f(x),g(x)图象的对称轴为x=a，则m(x)=f(x)+g(x)图象的对称轴也是x=a．

解析f(x)=f(2a-x)，g(x)=g(2a-x)，两式相加得，f(x)+g(x)=f(2a-x)+g(2a-x)，即m(x)=m(2a-x)，故m(x)=f(x)+g(x)图象的对称轴也是x=a．

结论6若f(x),g(x)图象的对称轴分别为x=a,x=b，则m(x)=f(x)+g(x)图象不是轴对称图形．

结论7若f(x),g(x)图象关于直线成轴对称图形，则n(x)=f(x)g(x)图象不是轴对称图形．

3 学以致用

练习2 函数f(x)=x2-4x+2x-2+22-x的对称轴是．(答案：x=2)

4 结语

对于数学的学习，一定要理解知识的基本结构，从知识的整体性去认知，这样才能用联系的观点建立知识间内在的逻辑关系，架构起知识的学习方法，促进自主学习．函数的对称性其实不是新的内容，奇偶性就是特殊的对称性，因此可以通过迁移奇偶性的学习内容和方法解决对称性的相关问题，达成知识方法的内化，从而实现数学能力的提升和核心素养的提高．