2021年日本东京大学入学考试理科数学试题解析

彭 刚 陈映彤 (广西师范大学数学与统计学院 541004)

东京大学是日本最顶尖的综合性大学，汇聚了日本一流的人力资本和学术资源.在日本 近代数学的发展中，东京大学扮演了举足轻重的角色——1877年日本东京数学会和东京大学 理学部成立，日本现代数学研究正式拉开帷幕.曾获菲尔兹奖和沃尔夫奖的著名数学家小平邦彦(Kunihiko Kodaira，1915—1997)就曾在东京大学工作过.时至今日，东京大学仍是日本最重要的数学研究机构.

与日本其他著名高校一样，东京大学每年通过大学入学考试为其选拔大批优秀后备人才，不断增强本校数学研究的力量.日本著名大学入学考试作为选拔高水平人才的得力方式，其试题的设置方式与内容均值得我们借鉴．本文对东京大学2021年数学入学考试试题进行解析，希望对当前中国实施的“强基计划”提供参考.

1 试题概述

日本国公立大学的选拔一般由两场考试构成——学生首先需通过全国统一的大学入学考试，成绩合格后才有资格参加国家公立大学自主组织的入学考试

.

东京大学自主组织的入学考试数学试题分为理科卷和文科卷，本文介绍的即为2021年东京大学入学考试中的理科数学试题

.

依据日本最大的教育辅导社河合塾提供的数据，2021年东京大学理科数学试题的总体难度与2020年持平，较2019年有所上升

.

试题中的题目均为解答题，共6大题(每个大题都包含若干个小题)，总分为120分，考试总时长为150分钟

.

从内容方面来看，这些题目涉及的知识领域包括初等数论、初等代数、解析几何以及微积分

.

下面我们对这6道问题进行解析

.

2 试题解析

第1题

已知

a

,

b

为实数，平面直角坐标系中有抛物线

C

：

y

=

x

+

ax

+

b

，它与抛物线

y

= -

x

有两个交点，且两个交点的横坐标分别满足

x

∈(-1,0)，

x

∈(0,1)

.

(1)在平面直角坐标系中表示出点(

a

,

b

)的范围；(2)在平面直角坐标系中表示出抛物线

C

的范围

.

解

(1)由得2

x

+

ax

+

b

=0

.

设

f

(

x

)=2

x

+

ax

+

b

，依题意知

f

(

x

)的图象与

x

轴的两个交点为(

x

,0),(

x

,0)，且 -1<

x

<0,0<

x

<1

.

由

x

,

x

的分布可知即从而得到平面直角坐标系中点(

a

,

b

)的范围(如图1所示，

a

轴上的点除外)

.

图1

(2)设(1)中点(

a

,

b

)的范围为

D

，抛物线通过的范围设为

E

，(

x

,

y

)为

E

中任意一点，则(

x

,

y

)满足的条件为：在

xOy

平面上，满足

y

=

x

+

ax

+

b

且(

a

,

b

)在

D

中；这等价于：在

aOb

平面上，直线

b

=-

xa

+

y

-

x

与

D

有公共点

.

令

g

(

a

)=-

xa

+

y

-

x

，可分为以下四种情况讨论：①当-

x

≤-1即

x

≥1时，有所以

x

-2

x

<

y

<

x

+2

x

；②当-1≤-

x

≤0即0≤

x

≤1时，有所以

x

-2<

y

<

x

+2

x

；③当0≤-

x

≤1即-1≤

x

≤0时，有所以

x

-2<

y

<

x

-2

x

；④当-

x

≥1即

x

≤-1时，有所以

x

+2

x

<

y

<

x

-2

x.

综上可知，

E

的边界为

y

=

x

-2

x

，

y

=

x

+2

x

，

y

=

x

-2，进一步可得到直角坐标系中

E

的图形，如图2

.

图2

点评

本题主要考查平面内两条抛物线的位置关系，内容属于“解析几何”，难度层次为“标准”

.

本题分为两小问，第(1)问较为常规，本质上是关于一元二次方程根的分布问题，解决策略是将其转换为一元二次函数的图象与

x

轴的交点情况来处理

.

第(2)问要求动抛物线的移动范围，此类问题在我国高考和竞赛中都较为少见，其解决策略是“反客为主”，把(

a

,

b

)视为动点，从而将动抛物线与定抛物线的相交问题转化为动直线与定区域的相交问题，具有一定的挑战性

.

第2题

已知

f

(

z

)=

az

+

bz

+

c

(

a

,

b

,

c

为复数)，i为虚数单位

.

(1)设

α

,

β

,

γ

为复数，且

f

(0)=

α

，

f

(1)=

β

，

f

(i)=

γ

时，请用含

α

,

β

,

γ

的式子表示

a

,

b

,

c

；(2)当

f

(0),

f

(1),

f

(i)均为区间[1,2]中的实数时，请在复平面内表示

f

(2)的范围

.

解

(1)由题意得即从而解得(2)设

f

(2)=4

a

+2

b

+

c

=

ω

，将(1)的结果代入

f

(2)中，有=

α

(-1-2i)+

β

(3+i)+

γ

(-1+i)，其中，

α

,

β

,

γ

是满足1≤

α

≤2，1≤

β

≤2， 1≤

γ

≤2的实数

.

设-1-2i=

z

,3+i=

z

,-1+i=

z

，则当1≤

α

≤2且1≤

β

≤2时，由复数加法的几何意义可知，

αz

+

βz

的范围为一个平行四边形(图3)

.

图3 图4

假设这个平行四边形的边界及内部为

D

，

D

中的各点再加上

γz

(1≤

γ

≤2)，便可得到

ω

即

f

(2)的范围(图4)

.

点评

本题主要考查复数的运算及其几何表示，内容属于“初等代数”，难度层次为“较难”

.

本题有两问，第(1)问求

a

,

b

,

c

的表达式，为常规计算

.

第(2)问求

f

(2)的范围，涉及三个变量，难度较大；此问的解题策略是“逐步推进”——先研究两个变量的情况，然后在此基础上研究三个变量

.

就表达方式而言，求解第(2)问时既可以利用复数加法的几何意义，也可以转换成向量的加法，二者本质上是相通的

.

第3题

已知函数的图象为

C.C

在点

A

(1,

f

(1))处的切线为

l

：

y

=

g

(

x

)

.

(1)若

C

与

l

只存在一个与点

A

不同的交点，求该点的横坐标；(2)设(1)中交点的横坐标为

α

，求定积分

解

(1)由知又所以

l

的方程为令

g

(

x

)=

f

(

x

)，即解得

x

=

x

=1,

x

=-3

.

因此

C

与

l

异于

A

的交点为(-3，

g

(-3))，因此所求的横坐标为-3

.

(2)由题意

令容易得到

下面使用换元法来计算

I

和

I

.

令则从而有

综上可知

点评

本题主要考查切线方程求解及定积分的计算，属于“微积分”的内容，难度层次为“标准”

.

本题中的求导运算和积分运算均比较常规，但对计算的准确性提出了较高的要求

.

第4题

回答以下问题：(1)若正奇数

K

,

L

和正整数

A

，

B

满足

KA

=

LB

，且

K

与

L

除以4的余数相同，证明：

A

与

B

除以4的余数也相同；(2)正整数

a

,

b

满足

a

>

b

，令证明：存在正奇数

K

,

L

满足

KA

=

LB

；(3)

a

,

b

满足(2)中条件，且

a

,

b

同奇偶，证明：与除以4的余数相同；(4)求除以4的余数

.

解

(1)由于4|(

K

-

L

)，令

K

-

L

=4

n

(

n

为整数)，则

K

=

L

+4

n

．又

KA

=

LB

，故(

L

+4

n

)

A

=

LB

，即

L

(

A

-

B

)=-4

nA

，而

L

为奇数，所以

A

-

B

是4的倍数，从而得到

A

与

B

被4除的余数相同

.

(2)依题可知，

令

r

=4

a

(4

a

-4)·…·(4

a

-4

b

+4)，

r

=(4

a

+1)(4

a

-3)·…·(4

a

-4

b

+1)，

r

=(4

a

-2)(4

a

-6)·…·(4

a

-4

b

+2)，

r

=(4

a

-1)(4

a

-5)·…·(4

a

-4

b

+3)，以及

t

=4

b

(4

b

-4)·…·8·4，

t

=(4

b

+1)(4

b

-3)·…·5·1，

t

=(4

b

-2)(4

b

-6)·…·6·2，

t

=(4

b

-1)(4

b

-5)·…·7·3，

高级氧化模块又称做深度氧化模块，在高温高压、电、声、光辐照、催化剂等反应条件下，产生具有强氧化能力的羟基自由基(·OH)，使大分子难降解有机物氧化成低毒或无毒的小分子物质的修复模块。高级氧化模块具有处理效率高，泛用性好，体积小等优点，广泛应用于各种污染场地地下水处理。西玖环保通过多年经验积累，对高级氧化模块处理工艺进行优化，达到业内较高的处理效率和设备寿命。一套设备可以拆卸成多个模块运输到下一个污染场地继续使用，有效降低地下水处理成本，大大提高了资源利用率。

则有从而得到

令

L

=

r

r

(2

a

-1)(2

a

-3)·…·(2

a

-2

b

+1)，

K

=

t

t

(2

b

-1)(2

b

-3)·…·3·1，此时

K

,

L

均为正奇数，且满足即有

KA

=

LB.

(3)易知

r

≡

t

(mod 4)，

r

≡

t

(mod 4)，又2|(

a

-

b

)，故4|(2

a

-2

b

)，即2

a

≡ 2

b

(mod 4)，从而有(2

a

-1)(2

a

-3)·…·(2

a

-2

b

+1)≡(2

b

-1)(2

b

-3)·…·(2

b

-2

b

+1)=(2

b

-1)(2

b

-3)·…·3·1(mod 4)．因此

K

≡

L

(mod 4)，结合(2)的结论便可得到(4)由(3)可知所以除以4的余数为3

.

点评

本题主要考查整除和同余理论，内容属于“初等数论”，难度层次为“较难”

.

本题共有4个小问，并且它们环环相扣，问题的设计很精妙

.

本题引入了组合数，因而增加了题目的难度，解题者需要根据(1)中的结论，将组合数展开中的诸多整数按照模4的余数进行分类，并通过换元来简化运算，具有很强的技巧性

.

第5题

已知

α

为正实数，关于

θ

的函数

f

(

θ

)为平面上

A

，

P

两点距离的平方，这两点的坐标分别为

A

(-

α

，-3)，

P

(

θ

+sin

θ

,cos

θ

)(0≤

θ

≤π)

.

(1)证明：当0<

θ

<π时，存在唯一的

θ

使得

f

′(

θ

)=0；

解

(1)依题可知

f

(

θ

)=

AP

=(

θ

+sin

θ

+

α

)+(cos

θ

+3)，则

f

′(

θ

)=-4sin

θ

+2(

θ

+

α

)cos

θ

+2(

θ

+

α

)，

f

″(

θ

)=-2(

θ

+

α

)sin

θ

-2cos

θ

+2，

f

‴(

θ

)=-2(

θ

+

α

)cos

θ.

由

f

‴(

θ

)的正负可得到

f

″(

θ

)的单调性，如下表所示：

θ00,π2 π2π2,π πf‴(θ)-0+f″(θ)0↘2-π-2α↗4

因为所以存在使得

f

″(

β

)=0．又

f

″(

θ

)在内单调递增，故这样的

β

是唯一的

.

由

f

″(

θ

)的正负继续可以得到

f

′(

θ

)的单调性，如下表所示：

θ0(0,β)β(β,π)πf″(θ)-0+f'(θ)4α↘f'(β)↗0

因为

f

′(

θ

)在(

β

,π)内单调递增，所以

f

′(

β

)<

f

′(π)=0，而

f

′(

θ

)在(0,

β

)内单调递减，且

f

′(0)=4

α

>0，所以在(0,

β

)中存在唯一一个

γ

使得

f

′(

γ

)=0

.

(2)由

f

′(

θ

)的正负可以得到

f

(

θ

)的单调性，如下表所示：

θ0(0,γ)γ(γ,π)πf'(θ)+0-0f(θ)f(0)↗f(γ)↘f(π)

从上表容易看出

f

(

θ

)的最大值为

f

(

γ

)，依题意有从而得到即-4解得

α

的范围为

点评

本题主要考查零点定理、函数的导数与函数的单调性之间的关系，属于“微积分”的内容，难度层次为“标准”

.

本题有两小题，其中第(1)题十分有特色，解答过程中涉及多个存在性问题

.

与第3题主要考查计算不同，本题带有浓厚的“分析”味道，解题者既需要清晰的逻辑思维，又需要有较强的直觉能力

.

第6题

已知

b

,

c

,

p

,

q

,

r

为常数，下式为关于

x

的一个恒等式：

x

+

bx

+

c

=(

x

+

px

+

q

)(

x

-

px

+

r

)

.

(1)当

p

≠0时，用

p

,

b

表示

q

,

r

；(2)当

p

≠0时，设(

a

为常数)，请写出一组满足[

p

-(

a

+1)][

p

+

f

(

a

)

p

+

g

(

a

)]=0的有理系数整式

f

(

t

)与

g

(

t

)；(3)若

a

为整数，关于

x

的四次多项式可分解为二次有理系数多项式的乘积，求

a.

解

(1)由

x

+

bx

+

c

=(

x

+

px

+

q

)(

x

-

px

+

r

)=

x

+(

q

+

r

-

p

)

x

+

p

(

r

-

q

)

x

+

qr

知当

p

≠0时，有(2)当

p

≠0时，由可得即

p

-4

cp

-

b

=0

.

将代入上式得到

p

+(4

a

+3)(

a

+1)

p

-(

a

+1)(

a

+2)=0，从而有[

p

-(

a

+1)][

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)]=0

.

故满足条件的一组整式

f

(

t

)与

g

(

t

)为

f

(

t

)=

t

+1，

g

(

t

)=(

t

+1)(

t

+2)

.

(3)令其中

p

,

q

,

r

均为有理数

.

①当

p

=0时，

P

(

x

)=(

x

+

q

)(

x

+

r

)=

x

+(

q

+

r

)

x

+

qr

，此时有易知

a

=-2，

r

=-

q

，从而有这与

q

是有理数矛盾

.

②当

p

≠0时，由(2)知

p

满足[

p

-(

a

+1)][

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)]=0，由于

p

+(

a

+1)

p

+(

a

+1)(

a

+2)恒大于0，所以

p

-(

a

+1)=0，即又当

p

为有理数时，

q

,

r

均为有理数，故只需为有理数即可

.

令(

m

,

n

为互质的正整数)，则有

m

(

a

+1)=

n

．由于

a

为整数，所以

m

整除

n

.

由于

m

,

n

互质，所以

m

,

n

也互质，从而有

m

=1，即

m

=1，此时有

a

+1=

n

，所以(

a

+

n

)(

a

-

n

)=-1，解得当

a

=0时，

点评

本题主要考查代数式的运算，内容属于“初等代数”，难度层次为“较难”

.

本题具有较强的综合性，解题步骤也较多，对解题者的计算准确性要求很高．此外，本题涉及较多的字母(除了主元

x

外，还有6个表示常量的字母

a

,

b

,

c

,

p

,

q

,

r

)，因而解题者需要具备较强的信息处理能力

.

3 结语

2020年1月，中国教育部颁布文件《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》．该文件聚焦国家重大战略需求，决定从2020年起取消高校自主招生考试，在试点的36所高校实施“强基计划”，以提升基础学科人才选拔和人才培养质量．

通过对中国2020年“强基计划”中部分大学的试题与东京大学的入学试题的对比，不难发现两国的试题各具特点．中国实施“强基计划”的部分著名高校试题题目数量较多，比如北京大学和清华大学的试题都是20道，复旦大学的试题有33道，并且题型均为选择题，因而考查的知识面比较广；而东京大学的自主招生考试题目较少，但均为解答题，因而能更深入地考查学生的数学思维和数学表达能力．此外，东京大学入学试题对微积分这一内容的要求很高；事实上，微积分这一内容是日本各大高校入学考试中的重要考查对象，相对而言我国的高校在这方面则要求不高．东京大学等日本顶级大学的入学数学试题为当前中国数学资优生的培养与选拔提供了重要参考．