一次提升“四能”的探究之旅——从一道三角不等式的教学谈起*

李勤俭 (安徽省池州市第一中学 247000)

在高中数学教学中，教师有意识地引导学生进行思考，从数学角度发现和提出问题、分析和解决问题，不仅是新课程标准的要求，也能高效地提高学生自主学习的能力．本文从一个正弦定理推证过程中得到的三角不等式入手，探讨如何在解题教学中提升学生的“四能”．

1 发现问题，提出问题

在三角形中，有正弦定理其中在证明“=2

R

”的过程中，文[1]得到了如下的三角不等式①．那么不等式①如何证明呢？

2 分析问题，问题解决

不等式①的左边看起来比较正常，但右边就让人难以接受．看到π，联想到几何意义，所以从圆入手也算自然；①式是代数式，理应有代数证法，那么作为三角函数式，可以从三角变换角度去解决；同时，从式子的结构出发，可以看成是余弦函数相关问题，所以从函数角度分析应该也能解决问题．

2.1 几何证法

在图1中，圆

O

是△

ABC

的外接圆

.

下面分△

ABC

是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种情形证明

.

图1 图2

证明

(1)当△

ABC

是锐角三角形时，如 图2，连结

BO

，

AO

并延长分别交圆

O

于点

E

，

F

，再连结

BF

,

FC

,

CE

,

EA

，则

BF

=2

R

cos

C

,

FC

=2

R

cos

B

,

BD

=2

R

cos

A.

在四边形

CDBF

中，显然有

CD

<

DB

+

BF

+

FC

<半圆弧，即2

R

<2

R

cos

A

+ 2

R

cos

B

+2

R

cos

C

<π

R

，故1A

+cos

B

+cos(2)当△

ABC

是直角三角形时，不妨设

C

=90°，此时

C

=0，从而cos

A

+ cos

B

+cos

C

=sin

A

+cos即1A

+cos故1A

+cos

B

+cos(3)当△

ABC

是钝角三角形时，不妨设

C

>90°，此时可将图2中的点

D

与点

C

对换，转化为情形(1)，得证

.

几何证法直观、好理解，但不容易想到

.

我们再尝试用代数证法．

2.2 代数证法

先证cos

A

+cos

B

+cos

C

>1 ②．因为cos

A

+cos

B

+cos

C

即+1 ③

.

又

A

,

B

,

C

∈(0,π),故均大于0，因此cos

A

+cos

B

+cos

C

>1

.

再证④．

为了证④式，先证下式：

=1 ⑤

.

=1

.

另一方面，在⑤式中，有如下变形:

令则上式即为2

t

+3

t

-1≤0⟹(

t

+1)(2

t

-1)≤0． 因为

t

>0,所以从而将此式代入③式，得即④式得证

.

由②④可得①式得证

.

由此还可以顺带得①式的加强式：

⑥

.

2.3 琴生不等式证法

下面用琴生不等式证明

琴生不等式(Jensen Inequality)：

函数

f

(

x

)是定义在开区间(

a

,

b

)上的凸函数

.

设

λ

,

λ

，…，

λ

是

n

个正实数，且

λ

+

λ

+…+

λ

=1，

x

,

x

,…,

x

是开区间(

a

,

b

)上任意

n

个点，则下面不等式成立：

f

(

λ

x

+

λ

x

+…+

λ

x

)≥

λ

f

(

x

)+

λ

f

(

x

)+…+

λ

f

(

x

)

.

这个不等式称为琴生不等式

.

(注意:对于凹函数(下凸函数)，上式中的“≥”变为“≤”)当△

ABC

是锐角或直角三角形时，函数

f

(

x

)=cos

x

在上是凸函数，则即故1A

+cos

B

+cos当△

ABC

是钝角三角形时，不妨设

C

>90°，则利用琴生不等式得即cos

A

+cos故cos

A

+cos

B

+cos

C

≤

3 再次提出问题

一个问题从提出到解决，并不是思维过程的结束，而往往是新问题的开始

.

①式是针对余弦函数而言的，那么对于正弦函数、正切函数，相应的结论是什么？又如何证明？

3.1 与正弦函数有关的不等式

经过探讨分析得到

⑦．

分析 一方面，不等式sin

A

+sin

B

+ sin

C

>0显然成立；另一方面，由于正弦函数在(0，π)上是凸函数，所以由琴生不等式容易得到sin

A

+sin

B

+sin从而⑦式成立

.

(注：其他证法请读者自行思考)

3.2 与正切函数有关的不等式

当△

ABC

是锐角三角形时，

⑧．

分析 显然△

ABC

是直角三角形时，正切没有意义；由于

A

=

B

=30°,

C

=120°时，所以当△

ABC

是钝角三角形时，亦不成立

.

证法1

(琴生不等式)当△

ABC

是锐角三角形时，

f

(

x

)=tan

x

在上是凹函数，所以有tan

A

+tan

B

+tan

证法2

(琴生不等式

+

函数法)由琴生不等式，易得tan

A

+tan故tan

A

+tan

B

+tan

设则上式右边

令

f

(

t

)=

t

(1-

t

)，则

f

′(

t

)=-3

t

+1,故从而

综上所述，

证法3

(基本不等式法)因为在△

ABC

中，有tan

A

+tan

B

+tan

C

=tan

A

·tan

B

·tan

C

，当△

ABC

为锐角三角形时，tan

A

>0,tan

B

>0,tan

C

>0，所以由基本不等式得tan

A

+tan

B

+tan

C

=tan

A

·tan

B

·tan,从而tan

A

·tan

B

·tan即tan

A

+ tan

B

+tan

4 几点感悟

在学习数学的过程中，发现问题往往比证明结论更重要.《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出了“四能”，因此教师需要适时、适度地引导学生发现、提出一些数学问题，进而分析和解决问题，促进学生数学水平的提高.

(1)引导学生学会提出问题的方法应成为教学中的一个重要内容.本文由余弦函数的一个优美的不等关系，运用合情推理的方法拓展到了与正弦和正切函数相关的性质.如何引导学生学会提出问题，也许比帮助学生解决问题更有意义.

(2)对一个问题的解决进行多角度思考是数学探究的基本思路.文中对不等式①的证法进行了多角度的思考，得到了很好的思维体验.这意味着教师在教学过程中如何进行多角度的思考，以及如何引导学生多角度思考是值得探索的一个课题．

(3)要在解决问题的过程中进行逻辑推理等核心素养的培养.本文在探讨的过程中，包含了很多较深刻的分析与推理，使得学生在过程中学习，在过程中提高.

(4)探究无止境.文中通过探究得到了八个关系式，它们的应用又可作为新的探讨课题.

在这一探讨的旅程中，学生得到了很好的思维能力的训练，以及分析问题和解决问题的能力训练，体会到数学的严谨美、和谐美，提高了学习数学的兴趣.这不正是新课程理念所要求的吗？