中考中三角形面积问题的解决策略

文／龚 辉

（作者单位：江苏省太仓市高新区中学）

三角形的面积问题因变化多端、解法多样，经常出现在中考试卷上。三角形面积问题又经常与动点相结合，产生两大难点：一是导致了图形的不确定性，考查分类思想以及对动态图形的想象和处理能力；二是会引入参数，考查含参坐标或含参线段的运算。倘若三角形的底和高均含参数，则三角形面积的代数式会呈现二次函数关系，中考时常常可做进一步的研究，如最值问题、取值范围和定值问题等。下面选取中考试卷中的几道典型试题从三个角度进行剖析。

一、直接利用面积公式

例1（2020·山东济南）如图1，抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C。在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M。

图1

（1）求抛物线的表达式及C点坐标；

（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AM、OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1=2S2，求m的值。

【解析】（1）用待定系数法即可求解，易得y=-x2+2x+3，C（0，3）。

（2）∵E（m，0），

【点评】第（2）问中△AEM和△MON，均有一条边是轴上线段（线段AE和ON）。求这样的三角形面积，主要的解题策略就是直接运用三角形的面积公式，用含参线段得到关于面积的方程后求解。本题的难点是含参表达式、含参坐标和含参线段之间的转化与运算。

二、利用相似三角形转化比例

例2（2016·江苏苏州）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF。若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（ ）。

图2

【解析】连接AC，如图3，易得S△ABC=4。

图3

【点评】直接用三角形面积公式求△BEF的面积有一定的难度，因此考虑面积割补法：S△BEF=S四边形BEDF-S△DEF。在计算△DEF的面积时，连接AC可达到一举两得的效果：一方面得到了等腰直角△ABC，另一方面可以构造三角形相似，然后利用相似三角形的性质得到。我们总结的解题策略是：当直接用面积公式求解困难时，不妨用面积割补法进行转化；在求解时还可以优先寻找相似三角形，利用面积比等于相似比的平方这一性质求解。

三、利用同底等高模型转移比例

例3（2020·四川成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，-2）。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图4，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值。

图4

图5

图6

综上可知，中考关于面积的问题通常有三条解决途径可供选择，由于题目背景、图形类型、设问方法等变化较多，需要同学们在学习中不断整理、提炼和总结，形成行之有效的解题策略，从而在解题时游刃有余。