威尔逊定理的Python简单验证

王德贵

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。威尔逊定理是判定一个自然数是否为素数的充分必要条件，它也是数论四大定理（威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理、费马小定理）之一。

今天我们就用Python来简单地验证威尔逊定理及其逆定理。

18世纪中叶，约翰·威尔逊发现了一个极为罕见的关系：取从1到某个质数所有连续正整数的乘积，例如从1乘到11，即11的阶乘11！，除去11这个数，得10！。无疑10！不能被11整除。

然而，如果给10！加上1的话，1×2×3×4×5×6×7×8×9×10+1=3628801，怎么也不会想到，3628801却能被11整除（3628801÷11=329891）。类似地，从1到质数7的阶乘7！中略去7，再加上1，得1×2×3×4×5×6+1=721，721也能被7整除（721÷7=103）。那么其他的质数是不是也有这样的规律呢？

威尔逊定理可以简述为：

当p为质数时，（p-1）！+1能被p整除。

威尔逊定理逆定理可以简述为：

若一个数 （p-1）！+1 能被 p 整除，那么 p 为质数。

威尔逊定理已经被证明，今天我们只做简单验证。

数论四大定理之中，我们验证了费马小定理。如果想了解更深入的知识，大家可以参考相关资料。今天我们利用Python只做简单的验证。

我们任意输入一个正整数p，验证（p-1）！+1 能被 p 整除，如果整除则p为质数，否则为合数。当然我们也知道，如果输入的p是质数，（p-1）！+1 一定能被 p 整除。这样就验证了威尔逊定理和逆定理。

阶乘问题，我们用自定义函数计算出结果，然后加上1赋值给变量m保存然后我们判断m是否能被 p 整除，如果能整除，则p为质数，否则为合数。

范围验证即输入一个范围，依次验证这个范围内的整数是否为质数，如果是质数则添加到质数列表中，最后显示出来。这也是获得一定范围内质数的又一种方法。

根据前面的设计和分析，编写程序。

程序设计涉及的是等级考试的自定义函数（四级内容），如果不用自定义函数，则只涉及程序结构知识点，属于二级内容。

1.验证：即输入单个数据的验证

（1）二级考试内容：涉及程序設计的三种结构（图1）

（2）四级考试内容：利用自定义函数（图2）

两个程序运行结果相同：（图3）

2.范围：即在一定范围内验证威尔逊定理及其逆定理

（1）用二级考试内容“循环”来验证。（图4）

（2）用四级考试内容“递推-自定义函数”来验证。（图5）

（3）用四级考试内容“递归-自定义函数”来验证。（图6）

三个程序的验证结果是一样的。（图7）

威尔逊定理及其逆定理的验证测试，可以验证一个正整数，也可以验证一定范围内的所有正整数，这种方法也可以得到一定范围内的所有质数。

需要注意的是，如果阶乘运算使用了递归，则需要注意递归深度的限制。

有关威尔逊定理及数论四大定理问题，有兴趣的同学可以参考相关资料，本文不作详细介绍。如有不当之处，请各位同仁、朋友斧正。