细节蕴涵数学本质 思维追求自然天成 ——以一道数学中考新定义试题为例

沈吉儿, 郑 瑄

(1.宁波教育学院，浙江宁波 315000； 2.江北区教育局教研室，浙江宁波 315000)

2019年北京市数学中考压轴题中的新定义“中内弧”，其意蕴丰沛、别有洞天.试题的设问也引人入胜、扣人心弦，同时试题的解答更是耐人寻味、发人深省.针对此题的相关研究频频亮相.笔者亦在欣欣然对其钻研之列——对细节的质疑深究，以探求数学本质；对思维的追本溯源，以追求自然天成，并从中收获了数学教育教学的一些心得体会[1].因此，笔者以该中考题为例，择省思之疑，呈研究之道，述教学之悟，撰文如下，以飨同仁.

1 试题呈现

图1 图2

2)在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0),C(4t,0)(其中t>0),在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点．

(2019年北京市数学中考试题第28题)

2 对新定义“中内弧”的理解

2.1 关键词的联想

“中点”——指向中位线.由三角形中位线定理，知线段DE与边BC的关系为DE但此处更侧重于指向相互位置关系的特殊性，即平行关系.

2.2 研究对象的选择与确定

研究对象从中位线到中内弧，变直为曲，看似极其细微的转化，恰恰将初中阶段直线型几何图形(三角形、四边形等)的研究与曲线型几何图形(圆及圆弧形)的研究融合在一起，这是极具创意的创举.那么，这样的“碰撞”将会开启怎样意想不到的景观？三角形中位线定理中数与形的“优雅”结论，将会引发中内弧怎样的数量关系与位置关系的迁移思考？同时，进一步想象，如果从中位线到任意位置的平行线，我们可以得到一般意义上的三角形相似，那么从中内弧可以到非特殊位置的内弧……如此，研究必将进入更一般的状态.这又将展开怎样的探幽之旅？

3 对新定义“中内弧”的研究

3.1 试题设问的内在逻辑

数学家哈尔莫斯说“问题是数学的心脏.”杨玉东博士也曾经提出：“要以本原性数学问题驱动数学课堂教学.”那么一个良好的试题，该如何做到捕捉学习领域的关切问题，并提出精准的问题以促进数学思维的展开与精进？为此需要注重设问的层次性、逻辑的连贯性，以构建系统的完整性.继而通过问题的解决，探索新的研究对象所蕴涵的本质属性与客观规律.

第1)小题提供了等腰直角三角形作为初步理解新定义中内弧的特殊背景和浅显入口.这种投石问路式的特殊化观察，实则是一种数学家的研究方法，这也与学生们在初中阶段的学习经历和学习经验(比如：等腰直角三角形→锐角三角函数)一脉相承，旨在特殊图形的摸索与探究中体验与感悟中内弧的要义.本小题在几何直观的引导下，最长中内弧的获得并非难事.

第2)小题以平面直角坐标系为学习支架.淡化计算而强化思维.一方面，运用控制变量再一次以特殊图形作为研究背景，与第1)小题相比，此处的特殊化稍做退让，即第1)小题中的轴对称条件已消失，但还留存直角三角形这一特性[2]；另一方面，点C(4t,0)的不确定又使得设问具有一般性，在动态变化中扩展想象的空间和自由度.

第①问在特定的直角三角形中，探索三角形中内弧的分布(中内弧所在圆的圆心轨迹)情况，以发现并获得一般三角形中内弧的分布规律，直抵中内弧的本质属性.

第②问其表象是在增加的限制条件(中内弧所在圆的圆心需在三角形的内部或边上)下，求变量t的取值范围.但实质可以看成是在变化过程中，潜在地突显了三角形中内弧分布的影响因素，即三角形的形状、大小对其中内弧的制约作用.

综上，设问的理想与追求，是为了一步一步不断地逼近、深入、揭示新定义“中内弧”的数学本质.当然，没有最好只有更好.试题的设问是智慧的挑战与专业的享受.

3.2 试题解答的细节存疑

著名科学方法论学者波普尔曾言：“正是质疑、问题激发我们去学习，去发展知识，去实践，去观察.”教辅资料中的参考答案如下：

图3 图4

图5 图6

以上答案准确无误，并且对于关键性的临界位置，均给出了明确的表述.但不可否认的是，知道然(what)，还应该要问所以然(why),更要明白何由以知其所以然(how).否则，如浮云般飘忽而过，未必真正懂得其中的道理，入宝山而未得其珍品，可惜了！

对于第1)小题，师生可能认为这是一道送分题.但笔者认为这个分送得糊涂，即便凭直观感知(甚至猜测)得到最长中内弧，这对于中内弧的理解究竟能有多少，其中有一个很大的疑问：此时的中内弧为何最长？事实上从初中数学的角度不易说明，要用到高中求导的方法[3].那么现如今，教师该如何给学生一个交代？我们不能因为试题要求直接写出，在解题教学时就任其掠过.即便是几何直观，也要有一个合情说理.不然，与投石问路式的设问理念之初衷相悖.

对于第2)小题，取值范围确定的关键在于临界位置的发现，那么这些关键性的临界点是怎么冒出来的？是直觉还是撞大运？是散漫的找寻还是理性的求索？其背后发生了什么？这样的质疑，可以带来更深层次的发问——中内弧分布的一般规律究竟如何？中内弧与其背景三角形之间的关系究竟怎样？定性研究和定量研究如何交互作用？如何让思维来得更自然一些？最重要的是：解题不仅仅是为了得到一个解答，而是在解题中发现新定义所蕴涵的数学本质和可能的拓展空间.

3.3 解题思路的自然形成

尝试先画一条中内弧试一试，再画一条，最后画一条最长的中内弧.

从字面上理解，三角形的中内弧之要旨就在于不得“逾越过界”.这样的圆弧蕴涵着怎样的本质属性？如果说画第一条，可以由图1得到启示和迁移；那么画第二条，要有别于第一条就得思考怎样做到不越界；而第三条最长中内弧，必须从数与形两方面进行考量.

特别关注——最长中内弧的解释.在不同角度和不同层面的说理中，选择基于初中学生认知和经验的途径与方法，以便学生能够接受与接纳，这对于中内弧的深度理解至关重要.

不妨从这个视角出发,如图7，对于Rt△HIJ与Rt△KMN，因为HJ=KN=PQ，而直线yHI=k1x+b1与直线yKM=k2x+b2中，k1>k2，所以HI>KM(下略).

图7 图8 图9

线索非常有意味的是，寻找中内弧的过程，能发现很多意想不到的结论.

规律宏观上，三角形的中内弧有无数条，是以D,E为端点的圆弧束.中位线是其极限，无限接近但永远也不会到达.综上所述，图8和图9可以归纳为以下3种情形：

情形1当⊙O2与AC相切、与BC相离时，中内弧圆心分布在O1的下方或O2的上方；

情形2当⊙O2与AC相切、与BC相交时，中内弧圆心分布在O1的下方或O3的上方，其中O3G=O3D；

情形3当⊙O2与AC相切、与BC相切时，中内弧圆心分布在O1的下方或O2的上方，此时点O2与点O3重合.

微观上，由控制变量法令三角形特殊化，就第2)小题第①问和第②问的背景再进一步回味(如图4)：若2AB>BC，则归于情形1；若2AB

应用与拓展就第②问而言，要使中内弧所在圆的圆心在三角形的内部或边上，极端限制位置只需令O1落在边BC上，而O3落在边AC上即可.

还有什么问题可以提出？时空无垠、脑洞无限、知识无涯、探索无极限……循此，还可以设计诸如此类的思考练习[2]，以拓展延伸，思维迁移.

1)在平面直角坐标系中，已知点A(4,0)，B(m,n),设内弧所在圆的圆心为P，当m=0，n=4时，

4 对解题教学的启示

好的数学试题，是整个命题团队的精良杰作与奉献，也是教师实施解题教学的优秀素材，更是培养学生数学学科核心素养的有效载体.例1正是这样的经典范例.

而好的解题教学，令笔者联想到波利亚在《如何解题》开篇第一部分“在教室里”的一些文字：教师应当帮助学生，但不能太多，也不能太少，这样才能使学生有一个合理的工作量.如果学生不太能够独立工作，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立工作.为了做到这一点，教师应当谨慎地、不露痕迹地帮助学生.然而，最好是顺乎自然地帮助学生.教师应当努力去理解学生心里正在想什么，然后提出一个问题或是指出一个步骤，而这正是学生自己原本应想到的.波利亚此言易懂，但是真正践行其实很难.作为教师，照本宣科、直接告知答案，永远比“谨慎地、不露痕迹地帮助学生”要容易得多.而对细节的质疑深究以探求数学本质，对思维的追本溯源以追求自然天成，恰恰蕴涵着教师助力于学生求真务实、崇尚自然之品质的养成.

数学教育家傅种孙先生言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在知何由以知其所以然.”何由以知其所以然，此为最难，但也最为动人.数学试题的研究，不仅是为了应付一场中考[4]，而是在生命和精神的层面，注重培养学生探索的意识、思辨的觉悟以及审美的能力，培养学生像数学家那样思考，此乃数学学科独特的育人价值之所在.