具有不同染病程度的一类阶段结构传染病模型的分析

刘亭亭， 乔志琴

(中北大学理学院， 太原 030051)

传染病是由能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的某种病原体导致的疾病.病原体中大部分为微生物，小部分为寄生虫.多年以来，传染病的防治工作始终都是关乎人类健康和国计民生的重大问题，可以说，与传染病作斗争贯穿着人类的整个发展历史.从黑死病(淋巴腺鼠疫)到天花，再到如今新型冠状病毒席卷全球，都给人类带来了巨大的灾难.因此，如何控制传染病的传播，已经成为当今社会的热点问题[1]．

自然界的种群个体都要经历从幼年到成年的生命过程.种群个体的生理机能在不同生命阶段对其本身的影响也是不同的.在现实生活中，有些疾病的传播也具有比较明显的阶段特征.例如麻疹、水痘、猩红热等疾病多在幼年时期容易患病，而白喉、淋病、性病则多见于成年阶段.在文献[2-8]中许多专家学者已经对阶段结构的传染病进行了大量研究.文献[2-3] 研究的是一类具有时滞的幼年个体染病的阶段结构传染病模型. 文献[4-7]通过将成年个体分为易感者和染病者进行研究，建立模型并进行了分析.文献[8]则将感染周期分为早期感染和晚期感染来进行研究．

许多疾病在潜伏期、早期乃至中期，常会缺乏明显的症状.一些疾病的感染者，诸如疟疾、丙型病毒肝炎(HCV)、艾滋病(HIV)等在不同的感染阶段具有不同的传播力度，感染力的不同主要取决于个体体内的病毒量[9-10].例如，急性丙型病毒肝炎患者中约有20%～50%在发病初期症状表现较轻，并可自发清除病毒；但约55%～85%的感染者病情会进一步加重，甚至发展为肝癌等.本文在文献[7]和[8]的基础上将成年染病个体分为轻度染病个体和重度染病个体两个阶段，建立了一类新的阶段结构传染病模型．

1 模型建立

为了分析，将个体分为几类，其中x=x(t)，y=y(t)，z1=z1(t)，z2=z2(t)和R=R(t)分别表示t时刻幼年个体、成年易感个体、成年轻度染病个体、成年重度染病个体和恢复个体的数量.所有参数均为正，μ表示单个幼年个体的平均成熟率；b表示y充分小时单个成年个体的平均生育率；m表示幼年个体出生率的饱和系数；β表示疾病的传染率；d表示个体的自然死亡率；α表示成年重度染病个体的因病死亡率；ε表示轻度染病个体到重度染病个体的转化率；γ1和γ2分别表示成年轻度染病个体和重度染病个体的恢复率.假设患者康复以后不再被感染并进入恢复者类，模型建立如下：

(1)

系统 (1) 对应的疾病传播图如下所示．

图1 疾病传播流程图Fig.1 Flow chart of disease transmission

由于系统 (1) 的前4个方程不依赖于第5个方程，因此本文研究下面的子系统，且t时刻总人口数为N(t)=x(t)+y(t)+z1(t)+z2(t)．

(2)

引理1系统 (2) 的正不变集为

2 平衡点的存在性分析

为了后续定理的方便，引入几个参数：

其中，R0和Re0分别表示阶段结构种群的基本再生数和传染病的基本再生数，显然有Re0

定理1

1)R0≤1时，系统 (2) 只存在平衡点E(0，0，0，0)；

2)Re0≤1

(3)

当z1=z2=0时，系统 (3) 退化为

(4)

可以得到系统 (2) 有灭绝平衡点E(0，0，0，0)，无病平衡点E0(x0，y0，0，0)，其中

当z1≠0，z2≠0时，由系统 (3) 的第四个方程有

3 平衡点的稳定性分析

3.1 灭绝平衡点分析

定理2当R0<1时，平衡点E(0，0，0，0)是局部渐近稳定的；当R0>1时，E(0，0，0，0)是不稳定．

证明系统 (2) 在平衡点E(0，0，0，0)处的雅可比矩阵为

J(E)=

对应的特征方程为

f(λ)=(λ2+(2d+μ)λ+d(d+μ)·

(1-R0))(λ+d+ε+γ1)(λ+d+α+γ2)=0.

(5)

所以，当R0<1时，f(λ)的所有特征值均有负实部，平衡点E(0，0，0，0)是局部渐近稳定的；当R0>1时，E(0，0，0，0)是不稳定，证毕．

定理3当R0≤1时，E(0，0，0，0)是全局渐近稳定性的．

证明构造Lyapunov函数[11]，设

L=dx+b(y+z1+z2)，

将L沿系统 (2) 求导有

3.2 无病平衡点分析

定理4

1) 当Re0<1

2) 当Re0<1

3) 当Re0<1<1+Θ

4) 当1=Re0

5) 当1

证明系统 (2) 在E0(x0，y0，0，0)处的雅可比矩阵为

对应的特征方程为

f(λ)=f1(λ)·f2(λ)=0.

(6)

f2(λ)=λ2+pλ+q=0.

(7)

其中，

当Re0<1时，有q>0.当Ψ<1时，等价于R0<1+Θ，此时p>0；此时f2(λ)有两个负实部的特征根.因此，当Re0<1

3.3 地方病平衡点分析

为了完成下面定理5的证明，同样引入以下几个记号：

k1=d(Re0-1)，k2=d+μ+dRe0，

k6=k1βy*，k7=k6(2d+μ+α+γ2+ε)，

k8=k6(d+μ)(d+α+γ2+ε)．

对应的特征方程为

f(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4=0.

(8)

4 分支的存在性分析

定理6当β增大且穿过β*时，地方病平衡点E*附近会发生Hopf分支．

化简得到

因此，

当Φ≠0时，系统 (2) 在β=β*处，地方病平衡点E*附近会发生Hopf分支，证毕．

5 结论

本文研究了一类具有饱和形式的输入函数，根据一些疾病在不同时期传染能力的不同，以及传染病的发病机理把成年染病个体分为轻度染病个体和重度染病个体两个阶段，建立了一类阶段结构的传染病模型.通过对系统的分析，得到两个基本再生数R0(种群基本再生数)和Re0(疾病的基本再生数)，可以证明平衡点的存在性和稳定性由两个基本再生数决定.并且发现当系统满足一定条件时，会发生Hopf分支.当然，本文的分析还存在不足，在之后的研究中可以考虑更加切合实际的疾病传染率．