聚焦整体 关注本质

蔡美莲

摘 要：基于每堂课教学的知识均位于整体知识体系中，教师应分析每堂课的知识点与学过的内容之间的联系，通过设置承上启下的问题，引导学生经历新知识在旧知识的基础上进行生成的过程，让学生顿悟教学中蕴含的思想方法，培养学生的数学思维。

关键词：整体性;生长点;问题串

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）02-0040-04

一线的教师常发觉教学中教师口若悬河地讲解知识，学生听得津津有味，课堂呈现出一种祥和的学习气氛，到小测考试时学生却踌躇不前，感觉无从下手。出现这种状况的原因是获取知识的过程中学生被教师牵着鼻子走，没有展开自己的数学思维，没有知识形成的过程体验，被动接受而少了亲身参与，自然也就不会灵活运用了。数学课堂中，如何能让更多的学生参与到学习活动中来？笔者现呈现“轴对称与坐标变化”的教学实践与大家交流。

一、 教学分析

（一）内容分析

《轴对称与坐标变化》是九年义务教育北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》最后一节的内容，是“图形与坐标”的一个分支，隶属“图形与几何”模块领域。学生在七年级经历了从运动的角度作出两个图形关于某直线对称的过程，积累了轴对称相关知识。本节课主要研究两个方面的内容，一方面是探究点或图形的轴对称引起的点的坐标变化规律;另一方面是如何利用这种坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一个图形的轴对称图形，引导学生从静止的角度理解两个图形的位置关系，感受运动和静止的辩证关系。本节课也是又一次在平面直角坐标系中研究图形的学习，将为有关图形与坐标的综合运用做好铺垫。

（二）学情分析

学生在此之前已经学习了轴对称的概念、性质和画出一个图形的轴对称图形，也学习了直角坐标系的有关概念，认识了点与坐标之间的对应关系，能根据点的坐标建立合适的直角坐标系，也具备在坐标中研究图形的性质的基本能力。同时，本班的学生有了一定的合作学习的基础，具备一般的口头表达能力，但是学习能力不是特别强，遇到新问题，需要教师辅以问题的形式引导学生思考。

（三）教学目标

（1）在同一直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。

（2）让学生经历“特例—归纳—猜想—验证—证明”这一活动过程，感受数学知识的发展变化过程，发展学生的观察能力、推理能力、符号意识和数形结合意识，建立几何直观。

（3）通过自主探究与合作交流的学习方式，激发学生的求知欲，发挥学生的主体作用。

（四）教学重、难点

教学重点：经历图形轴对称与图形坐标变化之间的关系的探索过程，明确关于坐标轴对称的两点与坐标之间的关系。

教学难点：探究关于x轴、y轴对称的点的坐标规律。

（五）教法分析

根据学生的认知水平，在教学过程中采用探究式教学。教师设置问题情境，让学生主动作图、观察、比较、猜想、实验、证明得到规律一。学生在老师的提示引导下，能自己主动、独立发现问题，无法解决时可以尝试小组合作解决问题，得到规律二。探究式教学可以达到对知识技能的理解，更有利于创新思维与创新能力的培養。

（六）学法指导

学生学习数学依靠倾听、记忆，只积累数学知识技能，没能力用数学的眼光观察现实世界。因此，学数学要让学生经历数学活动，留时间让学生思考、顿悟，学会主动合作，有交流想法的胆量。本节课指导学生的学习方法有实践探究和合作交流。

二、 教学过程

（一）环节1：问题情境引入

如图1所示。

问题1：作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1。

问题2：建立适当的直角坐标系。

问题3：写出△ABC和△A1B1C1各顶点的坐标。

设计意图：在这个活动中，学生借助网格纸容易快速找到对称点的位置，唤醒如何画出与这个图形关于这条直线成轴对称的图形的作法的记忆，同时延续上节课建立适当的直角坐标系的知识，得到各个图形的顶点坐标。问题2中的横轴位置不唯一，学生可能会建立图2至图5这几种直角坐标系。其中图2、图3、图4为学生在探究规律一中感受到关于y轴对称的两个点的坐标变化规律与横轴的位置无关埋下伏笔。图5中的直线没有作为纵轴，那么学生很难发现对应点的坐标关系，为学生研究非坐标轴对称的图形与坐标变化提供了素材。

（二）环节2：规律探究一

问题4：关于y轴对称的两点的坐标具有什么关系？

问题5：请你在图中再找出一对对应点，它们的坐标有何关系？

设计意图：通过对“情境引入”的追问，把图形的轴对称转化为顶点的轴对称，对它们的坐标进行观察比较猜想出关于y轴对称的两个点的坐标变化规律，让学生初步感受到在特例中发现规律。

问题5：在△ABC的内部有点D（a，b），你能求出它关于y轴对称的点的坐标吗？这关于y轴对称的这两个点坐标之间有何关系？

问题6：通过操作“几何画板”演示实验，你能用坐标及轴对称的知识解释问题5的关系吗？

设计意图：借助信息技术让学生直观感受更多对对应点的坐标变化规律的正确性。又提出了问题5，让学生体会从可视的点到抽象的点的过渡过程，渗透特殊到一般思想，发展几何直观，培养学生抽象思维。问题6的证明要求，体会三种语言之间的转化，培养学生严谨的数学思维。

（三）环节3：规律探究二

问题7：类比关于y轴对称的两个图形的对称点的坐标变化规律，你能再得到什么规律？

设计意图：在问题2所作的图基础上继续探究规律二。学生学会类比研究解决问题的步骤，自主探究，合作交流意见。在实施活动过程中培养学生交流意识、提出问题和解决问题的能力。

（四）环节4：例题示范

【例1】 如图6，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴对称和x轴对称的图形。

设计意图：去掉网格，让学生体会到在直角坐标系中可以利用坐标变化规律，快速画出与一个图形关于x轴或对称y轴对称的图形。

变式：四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4）。将这四个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，依次连接这些点，所得的图形与原图形有怎样的位置关系？

设计意图：反过来研究“纵坐标相同，横坐标互为相反数”的两个点的几何特征。本题没有提供直角坐标系，引导学生意识到研究图形的位置关系，应该在同一个直角坐标系中绘图，发展数形结合思想。同时引导学生完成一道习题后，应该及时归纳总结。

（五）环节5：应用新知

比一比 谁最快

1. 点A（-2，6）关于x轴对称的点的坐标是    ;关于y轴对称的点的坐标是    。

2. 点B1（1，-2）和点B2（-1，-2）关于    轴对称。

3. 点C1（1，-2）和点C2（-1，-2）关于    轴对称。

4. 如图7，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-3），则点B的坐标是    。

设计意图：加强学生理解从关于坐标轴对称的两点的角度认识坐标变化规律和从变化规律的角度认识这两个点的几何特征，渗透数形结合意识。

（六）环节6：课堂小结

交流本节课的学习收获，构建认知体系（图8）。

设计意图：引导学生梳理本节课的学习内容，不仅能讲述知识点的内容，更要从数学活动中提炼出数学思想方法，构建学生的认知体系。

（七）环节7：课后作业

必做题：教材第69页习题3.5“知识技能”和“数学理解”。

选做题：如图9，△ABC和△A1B1C1关于直线l（直线l上各点的横坐标都为5）对称。它们的对应点的坐标之间有什么关系？作出△ABC关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为-1）对称的△A2B2C2，它们的对应点的坐标之间有什么关系？

设计意图：必做题来源于课本的课后习题，这4题都是在网格纸的背景下提出问题。第1题学生可以轻松应用知识解决;第2题学生可以从坐标关系和轴对称性质两方面入手解决;第3题在图形上比前两题复杂，要快速说出图案的顶点坐标，要联想到例题中的变式的知识内容，需要学生有较强的知识应用能力和迁移能力;第4题是要求学生创作关于某坐标轴对称的美丽图形，让学生体会到知识点除了能解题，还能服务于生活，培养学生发现美的眼光，有利于学生个性的发展。这4题可以达到让中档生“吃得饱”、后进生“跳一跳，就能碰到”的目的，也让学生的数学思维在课后能继续延伸。优质生绝不满足这些习题的训练，需要更高、更多思维活动的习题，要求教师设置选做题。选做题的来源是学生课堂上生成的问题，由于受到学生能力不强和教学时间紧迫的影响，没办法及时在课堂上探究，只能留到课后让感兴趣的学生和有能力的学生解决。通过各层次学生课后作业反馈，教师可及时了解学生课堂上的能力发展的情况。

三、 教学思考

（一）注重前后衔接，渗透整体观念

“知其然，更知其所以然”是学生学习的必要性，更是教师教学的根本，教师应该根据学生已有知识状况进行教学，把握“本节课学习的内容”“已学过的内容”和“后续将要学的内容”这三者的联系，建构知識的结构体系，探究数学本质，形成以问题为牵动的整体思维结构，引导学生感受本节知识点在整体框架中的地位和作用，让学生重视学习研究的方法。在七年级下册，学生已经学习了轴对称的概念、性质和画出轴对称图形。在本节课的前一节课中，学生初步感受建立直角坐标系方法的多样性，为本节课研究轴对称图形的性质做好铺垫。基于学生的知识认知水平，设置了环节1的三个问题，引导学生用已有的知识来解决即将学习的内容，激发学生探究新知识的欲望，用问题串一环扣一环的发展学生的数学思维，使学生深刻体会数学的整体性和知识前后一致以及思维逻辑连贯性。

（二）注重引导学生经历探索知识的全过程

基于数学核心素养，在教学中关注学生的基本活动经验，应当多以“观察”为主，突出能力的培养。教学时教师不要急于求成，而是关注学生知识的生成过程，授之以“渔”。教学中，学生解决问题3时，引导学生把点坐标写下来、观察、比较后，鼓励学生用适当的语言描述发现的规律，继续引导学生找出更多的对应点，直观感知坐标变化规律。由于学生感性认识有点少，列举的点都是网格点，因此一定要让点动起来，利用“几何画板”，在点的位置发生变化的过程中，观察点的横、纵坐标的变化，从“形”和“数”两方面感受变化中的不变性，让学生明白图形的轴对称本质是点的坐标轴对称。通过实验，让思维可视化，加强学生对事实的认可，这样学生的形象思维有了进一步的发展。又引导学生意识到不管是观察、测量，还是实验都是有误差，不一定准确，而且也不能穷尽所有的轴对称的点，让学生从中体会证明的必要性。在证明过程中，要引导学生画图，思考点到坐标轴的距离与点坐标的关系，明确猜想的正确性。有了探索规律一的数学活动经验，在探索规律二的过程中，能力较强的学生能独立发现问题，解决问题;基础薄弱的学生感觉不知从哪个角度入手去探究问题时，能主动向同学或者老师寻求帮助，发展交流合作能力，在经历探索知识过程中体会学习个快乐。

（三）注重思想方法的渗透，形成思维逻辑体系

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等”。因此，在学生经历数学活动中，教师应重视数学思想方法的渗透，注重对学生数学思想方法的培养，为学生持续学习和发展奠定基础。课堂上教师创设出轴对称图形在坐标系中的位置，渗透了坐标思想;点的位置与坐标的关系渗透了数形结合思想;特殊点的坐标变化到一般点的坐标变化，渗透了特殊到一般思想;探究规律一到探究规律二渗透了分类思想。教师不能直接讲出教学环节中蕴含的思想方法，不能越俎代庖，丧失良好的渗透时机。要让学生独立思考、合作交流，让学生自己顿悟，或学生迷茫时，教师给以适时点拨。课堂小结及反思是对数学思想和数学本质进行归纳和再一次显化的重要环节。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.