二维非交换李代数的低维表示

2022-04-17 03:25曹新昌胡志广
关键词:自同构同构等价

曹新昌,胡志广

(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)

1 引言及主要引理

李代数表示是李代数研究领域中一个比较重要的内容.早在1935年,Ado证明了任意有限维复李代数存在忠实的有限维表示,最新的讨论可见文献[1].对于复半单李代数,其有限维表示完全可约,且不可约表示由最高权确定[2].文献[3]讨论了约化李代数的最小维忠实表示.文献[4-5]研究了可解李代数的表示.文献[6-7]讨论了特殊幂零李代数的最小维忠实表示和低维李代数的表示.文献[8]考虑李代数表示的反问题,证明了在半单的条件下,具有等价表示的李代数是同构的.文献[9]给出了实单李代数的不可约表示存在不变双线性型的充要条件.

二维非交换李代数是最简单的非交换可解李代数.一般的非幂零李代数一定包含二维非交换子代数.在复半单李代数的分类中,sl(2,C)的表示发挥了重要的作用.本文研究二维非交换李代数的忠实表示分类,利用群在集合上作用的轨道分类,给出了四维复表示的完全分类.

定义[2]设L为一个复李代数,V、W是C上的线性空间.若ρ是L到gl(V)的一个同态,则称(ρ,V)为L的表示.设(ρ1,V)和(ρ2,W)是L的2个表示,若存在线性空间的同构f:V→W,使得f(ρ1(x))=ρ2(f(x)),∀x∈L,则称表示(ρ1,V)和(ρ2,W)等价.

使用矩阵语言,设ρi(L)⊂gl(n,C)(i=1、2)为L的2个矩阵表示,则ρ1(L)和ρ2(L)是等价的,当且仅当存在可逆矩阵T,使得Tρ1(x)T-1=ρ2(x),∀x∈L.因此,L的n维忠实表示的分类,等价于gl(n,C)中同构于L的子代数在gl(n,C)的内自同构下的分类.

设L为一个二维非交换李代数,取x、y为L的满足[x,y]=x的一组基.设(ρ,V)为L的一个n维忠实复表示,则在V的一组基下,ρ(L)为gl(n,C)中的二维线性李代数.又因[ρ(x),ρ(y)]=ρ(x),可知ρ(x)幂零.故可选取V的一组基,使得ρ(x)的矩阵为Jordan矩阵diag(J(0,n1),J(0,n2),…,J(0,ns)),其中n1≥n2≥…≥ns,且n1+n2+…+ns=n.

由“李代数由结构常数确定”易知如下引理成立.

引理设X、Y1、Y2∈gl(n,C),满足[X,Yi]=X,令Li=span{X,Yi},i=1、2,则L1与L2等价,当且仅当存在可逆矩阵T,使得TXT-1=X,TY1T-1=Y2.

推论1设X、Y为gl(n,C)中满足[X,Y]=X的2个矩阵,则∀λ∈C,存在可逆矩阵T,使得TXT-1=X且T(Y-λX)T-1=Y.

给定幂零矩阵X∈gl(n,C),令G={T∈GL(n,C)|TXT-1=X},易知G为GL(n,C)的子群.令MX={Y∈gl(n,C)|[X,Y]=X},则由(T,ξ)→TξT-1定义了群G在集合MX上的一个作用.因而,求表示的分类便转化为求该作用下轨道的分类.文献[10]用类似的方法求gl(3,R)中的子代数,实际上给出了L的三维复忠实表示的分类.由于计算的复杂性,本文仅给出L的四维复忠实表示的完全分类.

在复数域C上定义“字典排序”:a、b、c、d∈R,a+bi≺c+di,当且仅当a

2 二维及三维表示的分类

定理1设L⊂gl(2,C)为二维非交换李代数,X、Y为L的满足[X,Y]=X的一组基,则在内自同构下有

3 四维表示的分类

定理3设L⊂gl(4,C)为二维非交换李代数,X、Y为L的满足[X,Y]=X的一组基,则在内自同构下有

其中λ1≺λ2.

其中λ2≺λ3.

证明因为X为幂零矩阵,则在相似意义下有X=X1、X2、X3或X4,下面分情况讨论.

(1)若X=X1,由[X,Y]=X可得

对以上形式相同的结果进行合并,不难得到定理中的各种情形.根据相似的条件,通过简单计算可知,上述矩阵生成的李代数均不等价.

推论2在定理3的所有分类中,情形(1)不可分解,情形(2)的①和②不可分解,情形(3)的①和②不可分解,情形(4)的①、②、③和④不可分解,其他表示均可分解.

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