运用整体思维解题“五法”

⦿甘肃省张掖市第二中学 纪相林

1 引言

在解数学题时，学生常习惯于“由小到大”的思维模式，就是从较复杂的“大问题”中的“小问题”入手，先解决较简单的小问题，然后再由小到大，积少成多，逐步扩大战果.但是这种常规的方法并非万能钥匙，面对有些特殊问题，我们深感运算量大、过程繁杂，甚至还可能陷入半途而废的困境.这时，不妨换个思路，站在宏观的角度，把待解决的“大问题”看作是一个整体，通过“聚焦”研究问题的形式、结构与特征，有针对性地采用“代入、联想、合设方程”[1]等多种转化的方法与技巧，最终达到化繁为简、解决问题的目的.

下面结合典型例题，探讨运用“整体思维”解决数学问题的方法与技巧.

2 “整体思维”在解题中的运用

2.1 整体代入法

有些问题在求解时，不能(或不需)分别求出各个量的具体值，只需考虑求出这些量所构成的某代数式的整体值，就能达到解题的目的.

例1已知直棱柱的底面是等腰梯形，且梯形对角线和梯形底边的夹角为α，棱柱的侧面积为Q，设此直棱柱有内切圆柱，求该圆柱的侧面积.

图1

解：如图1，梯形ABCD(AB

2DE=AB+CD.

又根据切线性质，得

AD+BC=AB+CD.

所以DE=AD=BC，故梯形的周长为4DE.

设棱柱的高为h，圆柱的底面半径为R，那么

Q=4DE·h.

在Rt△BED中，DE=BE·cotα=2R·cotα.

点评：如果按照常规解法，首先设直棱柱的高为h，圆柱底面半径为R，则S圆柱=2πRh，但是如何求Rh的值呢？这是关键所在.联想到Rt△BED与等腰梯形、直棱柱同高的特点，我们就可以避开直接计算Rh，而是选择将Rh整体代入的方法.这种避繁就简的方法在立体几何中会经常用到.

2.2 整体观察法

整体观察就是从宏观的角度来考察问题的结构与特点，从而找到解决问题的突破口.

解：由原不等式变形，得

该不等式对所有实数x恒成立的充要条件是

所以a的取值范围是(0,1).

点评：通过整体观察，发现不等式左边的三个对数式可以转化为同一类形式.因此，先把不等式变形化简后再求解，这样就避免了繁琐的运算过程.这显然比通常利用二次函数的性质求解简单得多.

2.3 整体配对法

对有些特征明显的习题，我们可以根据题型的特点，相应地配出与其相匹配的另一个整体，然后再根据相互之间的关系求解.

②

2.4 整体联想法

所谓整体联想，就是通过分析问题的整体结构或特点，找出知识点之间的相似性、相关性等，运用有关知识来解决问题.

因为(α-β)+(β-γ)+(γ-α)=0，所以

tan[(α-β)+(β-γ)+(γ-α)]=0.

整理，可得tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=

tan(α-β)tan(β-γ)tan(γ-α).

展开，整体联想，代换，即得

点评：经过观察和联想，我们发现原题待证式中的分式与正切的差角公式相似，而且整个等式又与三角形中的公式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC[3]相似，所以可以仿其形式，采用整体联想、合理代换的方法轻松完成证明.

2.5 合设方程法

对具有某种性质的两条曲线，如果把它们的方程从整体上合设成一种表达式，就可以收到化繁为简的效果.

图2

求证：|AC|=|BD|.

(b2-a2k2)x2-2kma2x-(m2+λb2)a2=0.

设直线与曲线的交点坐标分别为(x1，y1) ，(x2，y2).

所以,两交点连线段中点的横坐标为

所以，线段AB和CD的中点重合.

故|AC|=|BD|.

3 结论

从上述各例的技巧分析中可以看出，运用整体思维法来解决数学问题，具有极大的优越性与实用性.学生如果学会运用整体思维法来思考问题，就能够不断地开阔思路，激发灵感，灵活自如地运用并创新出一些更实用的方法和技巧[4]，最终达到提高解题速度与质量的目的.