借助隐圆解决向量问题 直观想象彰显魅力

⦿上海市市西中学 庞良绪

《普通高中数学课程标准(2017年)》指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决问题，主要表现为：建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题[1].平面向量具有几何与代数的“双重身份”，加之解法灵活多样，备受命题者的青睐.纵观历年的高考及模拟试题，它们大多数都有优美的几何背景，因此，若能透过向量语言把握其几何直观，尤其其中一些试题若能挖掘出隐含的圆，可以避免复杂的代数运算，能使问题快速获解.下面举例说明.

1 半径圆

图1 图2

2 直径圆

图3

例4已知向量a,β是平面内两个互相垂直的单位向量,且(3α-γ)·(4β-γ)=0.则|γ|的最大值为.

图4

3 四点圆

若四边形ABCD对角互补，则A,B,C,D四点共圆.

图5

4 极化圆

图7

5 阿波罗尼斯圆

上述介绍了借助隐圆解决平面向量问题，需要指出的是，在问题解决的过程中，并不是追求高难度的解题技巧，而是着眼于对数学问题和数学本质的理解，在重视几何直观的同时，也不能忽视代数运算.要引导学生达成“脑中有形”(亦即数学抽象、直观想象)，心中有数(亦即逻辑推理、数学运算)，手中有术(亦即数学建模、数据分析)[2].