考虑剪切变形下基坑开挖引起下卧既有隧道的纵向变形研究

冯国辉，徐长节，郑茗旺，薛文静，杨开放，管凌霄

(1.浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江大学 平衡建筑研究中心，浙江 杭州 310028；3.华东交通大学 江西省岩土工程基础设施安全与控制重点实验室，江西 南昌 330013；4.江西省地下空间技术开发工程研究中心，江西 南昌 330013；5.华东交通大学 轨道交通基础设施性能监测与保障国家重点实验室，江西 南昌 330013；6.浙江省交通投资集团有限公司，浙江 杭州 310014)

随着社会经济发展带动城市空间的拓展，城市地铁建设也越来越多，其安全性也越来越受人重视，其中有很多邻近地铁隧道的建筑施工工程对已建隧道产生影响。实际工程中，基坑开挖会引起下卧既有隧道隆起变形，并进一步会造成隧道管片开裂渗水的情况发生。

目前，国内外专家已深入研究基坑开挖对邻近隧道的影响。分析方法大多分为三类：第一类离心机试验方法，Huang等[1]采用离心机实验的方法验证了在软土工况下，基坑开挖卸载的过程中会引起下卧既有隧道的隆起变形，Ng等[2]利用离心机模拟实验验证了在砂土地基中，基坑开挖会引起下卧既有隧道隆起变形，并且随着开挖深度的增加隧道隆起的变形量也会增大；第二类[3-7]是采用大型商业有限元软件分析紧邻开挖卸载对既有隧道受力变形的影响；第三类是两阶段理论解析方法，该方法主要考虑到邻近基坑开挖改变了隧道周围土体的既有应力状态，相当于在既有应力状态下对既有隧道施加了向上的附加作用力，在附加作用力的作用下隧道发生相应的隆起变形。

现有的理论解析方法大部分是将既有隧道模拟成Euler-Bernoulli梁的两阶段分析法：第一阶段是利用Mindlin解计算基坑开挖引起隧道轴线深度处附加应力；第二阶段是附加应力施加在既有隧道上，从而获得既有隧道变形响应。Zhang等[8]考虑基坑开挖引起的坑底及四周坑壁土体卸载作用在隧道轴线附加应力，采用Winkler地基模型并根据Galerkin计算方法获得既有隧道纵向变形解析解。Liang等[9]先基于基坑坑底开挖卸载效应获得隧道轴线处附加应力，后采用Pasternak地基模型和Euler-Bernoulli梁获得隧道变形解析。康成等[10]采用非线性地基模型模拟隧道-土体之间相互作用，进一步获得非线性Pasternak地基下既有隧道纵向变形解析解。Zhang等[11]基于非均质土体下基坑开挖引起邻近管线附加应力，并采用Pasternak地基模型解析得到隧道纵向位移。Zhou等[12]考虑分部开挖下基坑坑底及坑四周卸载作用下在隧道轴线处的附加应力，利用Pasternak地基模型获得隧道纵向变形的解析解。黄栩等[13]进一步采用三参数Kerr地基模型得到基坑开挖引起邻近下卧隧道纵向变形的解析解，并与单参数Winkler地基模型和Pasternak地基模型进行对比，凸现出三参数地基模型的优越性。

上述文献均说明了基坑开挖会对邻近隧道造成较大影响，但大多既有文献均是将既有隧道简化成Euler-Bernoulli梁(或称无限长梁)。如图1所示，Euler-Bernoulli梁理论仅考虑梁的纵向刚度忽略了梁的剪切刚度，使得梁变形前后梁截面仍然为平面且始终与中性轴保持垂直，由于仅考虑梁的纵向刚度，在数学理论上处理较为简单，适合工程推广。然而，地铁隧道并非是连续整体结构，而是由许多管片和螺栓相互连接而成的复合结构物，这样会导致每段管片与相邻管片之间存在接头处，而这接头处剪切刚度明显低于管片，这也是隧道容易发生灾害的薄弱位置。为了解决梁在剪切作用下的变形问题，Timoshenko等[14]建立了两个广义位移的梁理论，称为Timoshenko梁理论，对于Timoshenko梁，有少量文献的报道。梁荣柱等[15-16]基于Timoshenko梁理论获得基坑及隧道开挖引起邻近隧道受力变形Winkler地基模型差分解，并与现场监测数据比较较为吻合。Yin等[17]将隧道简化成Timoshenko梁放在Pasternak地基模型上，利用微分方程解析得到梁在集中力下的纵向变形解析解。张冬梅等[18]将隧道简化成Timoshenko梁放在Kerr地基模型上获得隧道开挖引起上覆既有隧道变形解析解。

图1 Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁变形

综上所述，Kerr地基模型在Winkler地基模型基础上不仅考虑了土体的剪切变形，还增加了一个控制参数c，使Kerr模型的计算结果更加准确。本文在前人的基础上，采用二阶段法求解基坑开挖对下卧既有隧道的纵向变形响应。第一阶段是将基坑开挖释放的地层应力作为附加应力施加在隧道上，此时附加应力可以用Mindlin经典解得到，第二阶段将隧道简化成Timoshenko梁搁置在Kerr地基模型上，并建立Kerr地基模型下隧道纵向受力平衡微分方程，合理提出计算剪切层弯矩的假设，从而获得既有隧道纵向变形解析解。与实际工程监测数据对比，验证了本文解析解计算结果的合理性；并与和不同的地基模型及梁模型比较，突出了本文解析的优越性。最后分析了基坑宽度、基坑深度、地基模量、既有隧道埋深和既有隧道与基坑水平距离变化对紧邻隧道隆起变形的影响。

1 分析方法

1.1 基本假定

为了研究基坑开挖对既有隧道受力变形的影响，需要建立本文计算模型基本假定：

(1)用可考虑剪切变形的Timoshenko梁模拟隧道变形。

(2)隧道-土体之间作用采用Kerr地基模型。

(3)隧道变形过程中与周围土体无间隙。

(4)隧道轴线处附加应力可由Mindlin解计算。

1.2 隧道附加应力计算

隧道与上覆矩形基坑相对位置示意见图2，矩形基坑长、宽、深分别为L、B、H。基坑坑底编号为①，坑壁四周依次编号为②、③、④、⑤。以基坑中点o作为全局坐标系的原点，以o点到侧壁②作为x轴正方向，以o点到侧壁⑤作为y轴正方，以地面向下为z轴正方向。隧道轴线方向为ξ方向，与ξ方向垂直建立η方向，两方向交点为o′，以o′建立关于隧道轴线的平面坐标系。隧道埋深为z0，隧道轴线与基坑中心o点的最短距离为S0，隧道轴线方向与全局坐标成α角。

图2 基坑与隧道相对位置

1.2.1 坑底卸载引起隧道轴线处附加应力

(1)

1.2.2 坑壁卸载作用在隧道轴线的附加应力

(2)

考虑到坑壁与隧道非平行关系，故需将隧道轴线坐标系纳入基坑的全局坐标里，两个坐标xoy平面关系为

(3)

(4)

1.3 隧道变形理论推导

基坑开挖引起下卧隧道隆起变形示意见图3，其中隧道-土体相互作用采用Kerr地基模型。

图3 Kerr地基模型

根据Kerr地基模型理论知，隧道变形w(x)为

w(x)=w1(x)+w2(x)

(5)

式中：w1(x)为上层弹簧的变形量；w2(x)为剪切层的变形量。

利用两层弹簧的受力特性可得

p1(x)=cw1(x)=c[w(x)-w2(x)]

(6)

p2(x)=kw2(x)

(7)

式中：p1(x)为隧道下方弹簧反力；p2(x)为剪切层下方弹簧反力；c为上层弹簧刚度；k为下层弹簧刚度。

对于剪切层受力特性有

(8)

式中：Gp为剪切层刚度。

将式(6)和式(8)合并可得

(9)

考虑到Timoshenko梁[14]的剪切刚度，其曲率方程为

(10)

式中：Φ=μGA为梁的剪切刚度M为隧道所受弯矩EI为梁的抗弯刚度。

根据Timoshenko梁[17]理论可得

(11)

式中：D为隧道直径。

假设其剪切层满足

(12)

式中：MS为剪切层的弯矩。

将式(8)～ 式(10)代入式(11)，可得

(13)

式(13)可利用差分法简化为

A1(w2)i-3+B1(w2)i-2+C1(w2)i-1+D1(w2)i+

C1(w2)i+1+B1(w2)i+2+A1(w2)i+3=Fi

(14)

式中:i=0,1,2,…,n-2,n-1,n。

利用差分特性可知A1、B1、C1、D1分别为

(15)

式中：l为单位差分节点纵向长度且l=L/n，其中L为已有隧道纵向长度。

(16)

(17)

如图4所示，隧道纵向长度方向被平均等分为n份，隧道被离散成n+7个节点单位长度(两端各有3个虚拟单位长度)。

图4 隧道离散化

最后隧道的纵向位移w(x)、弯矩M(x)、剪力Q(x)的表达式为

(18)

(19)

(20)

由于隧道两端各有3个虚拟单元，而实际基坑开挖对既有隧道无限远端影响极小，那么无限长隧道两端可简化成自由状态，即隧道两端弯矩M=0，剪切层弯矩MS=0，剪力Q=0，即

(21)

(22)

此时可根据边界情况得到位移w2(x)为

w2=K-1·{Fi-Ωi}

(23)

式中：w2、Fi、Ωi分别为

(24)

矩阵K可表示为

(25)

其中，N1、N2、N3、N4表达式为

(26)

Ω为补充向量,Ω1、Ω2、Ω3、Ω4分别为可计算值，即

(27)

至此，得到为w2(x)位移的解析解，将得到的结果代入公式(18)～ 式(20)即可得到隧道的纵向位移w(x)、弯矩M(x)、剪力Q(x)。然而，若Kerr地基模型中弹簧刚度c为0时，本文方法将退化成为Timoshenko梁下Pasternak地基模型解析。

1.4 Kerr地基模型参数确定

根据简化弹性空间法[19]可得Kerr地基模型参数确定为

c=3k

(28)

k=4Es/3z0

(29)

Gp=2Esz0/9(1+ν)

(30)

简化弹性空间法操作简便，但是由于缺乏考虑实际工程，其计算结果与实际存在较大偏差，故需要重新修订地基参数的取值以满足实际工程情况。根据前人的研究可知，黄栩等[13]提出了可考虑实际工程下的Kerr地基模型参数调整为

c=7k

(31)

k=4Es/3z0

(32)

Gp=2Esz0/9(1+ν)

(33)

2 算例验证

2.1 工程案例1

上海外滩的地下通道开挖可视为矩形基坑开挖，其开挖深度11 m，基坑宽度10 m，长度约为50 m。已建的延安东路隧道为南北两条长距离公路隧道，既有北线隧道为大直径11 m的盾构隧道，基坑坑底与既有北线隧道纵向间距仅为5.4 m，由于坑底与隧道拱顶距离较近，基坑在开挖过程中对下部隧道产生较大影响。基于本工程，黄宏伟等[20]采用三维有限元软件模拟了基坑开挖对既有隧道的影响，并将计算数据与检测数据进行了比较；梁荣柱等[15]将本工程中的隧道简化成Timoshenko梁搁置在Winkler地基模型上，并获得了既有隧道在上覆基坑开挖下的变形响应。同样的，本算例将依托此工程验证本文方法的合理性。场地地质条件及土体参数详见文献[20]。

由文献[22-23]方法可分别计算求得隧道的抗弯刚度及剪切刚度值为3.99×105MN·m2和3.38×103MN/m。隧道埋深20.9 m，位于④淤泥质黏土中，地基模量取30.8 MPa[20]。本文计算结果与工程实测、有限元和既有理论梁方法的对比见图5。其中工程实测和有限元方法来自文献[20]，关于本案例已有的理论方法是将隧道简化成Timoshenko梁搁置在Winkler地基模型上(图5中梁方法)，详见文献[15]。由图5可见，通过本文方法计算得到的隧道纵向最大位移为7.2 mm，相比于梁方法计算得到的隧道纵向最大位移7.7 mm，本文方法计算结果更贴近于实测最大位移6.6 mm，进一步说明本文方法的优越性。采用梁方法时，由于Winkler地基模型既无法考虑土体的剪切变形也没有考虑上弹簧参数c的加入，致使Winkler地基模型下隧道纵向位移的预测产生较大偏差。此案例的有限元模拟来自于文献[20]，且本文方法和文献[20]有限元模拟拟合较好，进一步说明本文方法的合理性。

图5 隧道纵向位移计算、有限元及实测数据对比曲线

2.2 工程案例2

上海雅居乐广场基坑[21]开挖深度为5 m，上海地铁一号线从基坑底部近距离穿过，一号线隧道顶部埋深约为8.6 m，距离基坑坑底以下3.6 m纵向净距。基坑形状大致为矩形，且隧道与基坑边缘平行，基坑长度约为110 m，开挖宽度约为46 m。已建的上海一号线地铁隧道，分为南北两条隧道，隧道内径为5.5 m，衬砌厚度为35 cm，每环由6块管线拼装而成。为了保护既有隧道，坑底以下进行了隧道卸载回弹变形控制措施，并对现场隧道变形进行了数据监测。李家平等[21]采用有限元软件对此工程案例进行了模拟且将北线隧道实测结果与模拟结果进行了对比。同样本算例对北线进行隧道变形进行计算，并与前人的方法进行对比分析。场地地质条件及其他参数详见李家平等[21]。

由文献[22-23]方法可分别计算求得隧道的抗弯刚度及剪切刚度值为6.74×105MN·m2和3.32×103MN/m。既有隧道位于淤泥质黏土土层中，取其地基模量为16.8 MPa[21]。在本文方法中将Kerr地基模型中弹簧刚度c=0时，解析退化成Timoshenko梁下Pasternak地基模型解析(图6中的T-P法)，以及李家平等[21]对此工程做的有限元模拟结果和实测分析。由图6可知，本文方法以及T-P法与实测数据变化趋势相同，相比于T-P法，本文方法计算结果更加接近于实测数据，基本上与已有的有限元数据吻合。这是由于Pasternak地基模型地基参数选取时没有考虑多参数的加入，致使在分析土与结构相互作用时与实际情况相差较大。而本文方法汲取了上述模型的不足，所用的Kerr地基模型是三参数地基模型，计算所得数据与实测数据以及有限元模拟数据较为一致，再一次证明了本文方法的有效性。

图6 隧道纵向位移计算、有限元及实测数据对比曲线

3 参数分析

为了研究基坑宽度、基坑深度、地基模量、既有隧道埋深和既有隧道与基坑水平距离变化对既有隧道隆起变形的影响，以工程案例1的实际工况为基本参数展开参数研究。

3.1 基坑开挖宽度

为了考虑既有隧道隆起变形与基坑开挖宽度之间的关系，基坑宽度分别取B=10、20、30、40、50 m，采用本文方法计算获得隧道受力变形变化曲线。

不同基坑宽度开挖下引起既有隧道受力变形曲线见图7。由图7(a)可知，随着基坑开挖宽度增大，隧道的纵向位移从7 mm逐渐增大到25 mm，且增大速率逐渐放缓；隧道发生位移的影响范围也会随之增大，但是总体来说在距离中心点±60 m外隧道纵向变形位移几乎为0。由图7(b)可知，弯矩的影响范围随基坑开挖宽度的增大而逐渐增大，隧道最大正弯矩出现在隧道中心点处，且其增速先增大后减小，而产生的隧道最大负弯矩是不断增大的。随着基坑开挖范围增大，对基坑下方土体卸载效应影响是不断增大的，故隧道变形会越来越大；但是随着矩形基坑开挖宽度不断增大，当长宽比越接近1时，基坑开挖对下卧既有隧道影响在整个隧道长度上受到的附加应力表现越“均匀”，导致隧道最大正弯矩的减小。

图7 基坑宽度变化对隧道竖向位移和弯矩分布影响

3.2 基坑开挖深度

为了考虑既有隧道隆起变形与基坑开挖深度之间的关系，基坑深度分别取H=6、8、10、12、14 m，采用本文方法计算获得隧道受力变形变化曲线。

不同基坑深度开挖下引起既有隧道受力变形曲线见图8。由图8(a)可知，随着基坑开挖深度的增大，隧道的纵向位移从2 mm逐渐增大到12 mm，且增大速率逐渐加快；隧道发生位移的影响范围也会随之增大，但是总体来说在距离中心点±40 m外隧道纵向变形位移几乎为0。由图8(b)可知，弯矩峰值随着基坑开挖深度的增加逐渐增大，且增大速率也逐渐增大。图8说明随着基坑开挖深度的增加，致使坑底与隧道拱顶净距的减少，势必会导致隧道-土之间相互作用力的增大，且这种影响不呈线性关系，其增速也逐渐增大的。

图8 基坑深度变化对隧道竖向位移和弯矩分布影响

3.3 地基模量

为了考虑既有隧道隆起变形与地基模量之间的关系，地基模型分别取Es=5、 15、25、35、45 MPa，采用本文方法计算获得隧道受力变形变化曲线。

不同地基模量下基坑开挖引起既有隧道受力变形曲线见图9。由图9(a)可知，随着土体弹性模量的增大，隧道的纵向位移从32 mm逐渐减小到5 mm，且减小速率逐渐放缓，当地基模量达到35 MPa后，随着地基模量的增加，隧道纵向位移变化很小；隧道发生位移的影响范围也会随之减小，这是由于地基模量增大地基抵抗变形的能力增强。由图9(b)可知，弯矩峰值随着地基模量的增加逐渐减小，且减小速率也逐渐减小，正弯矩极值点较大且最大正弯矩所在处没有发生变化，使得在工程实践中要注重这些地方的施工质量。说明随着地基模量的增加，土体的抵抗变形能力增强，使得隧道的纵向位移和弯矩均会产生较大的减小。值得注意的是在地基模量较小的软土地区上穿地铁隧道进行基坑开挖，适当的通过注浆等措施提高土体模量可以显著增加地铁隧道的安全性。

图9 地基模量变化对隧道竖向位移和弯矩分布影响

3.4 隧道埋深

为了考虑既有隧道隆起变形与隧道埋深之间的关系，隧道埋深分别取z0=20、25、30、35、40 m，采用本文方法计算获得隧道受力变形变化曲线。

不同隧道埋深下基坑开挖引起既有隧道受力变形曲线见图10。由图10(a)可知，随着隧道埋深的增大，隧道的纵向位移从7.8 mm逐渐减小到3.3 mm，且减小速率逐渐放缓；隧道埋深的增大也会使得隧道发生位移的影响范围增大，但是总体来说在距离中心点±60 m外隧道纵向变形位移几乎为0。由图10(b)可知，弯矩峰值随着隧道埋深的增加逐渐减小，且减小速率也逐渐减小。说明随着隧道埋深的增加，使得坑底与隧道拱顶净距的增大，基坑开挖对隧道位移的影响在逐渐减小，且这种影响不呈线性关系，其速率逐渐放缓。

图10 隧道埋深变化对隧道竖向位移和弯矩分布影响

3.5 隧道轴线与基坑中心距离S0

为了考虑既有隧道隆起变形与隧道-基坑相对水平位置之间的关系，分别取S0=0、10、20、30、40 m，采用本文方法计算获得隧道受力变形变化曲线。

不同隧道轴线与基坑中心距离下基坑开挖引起既有隧道受力变形曲线见图11。由图11(a)可知，随着S0数值的增大，隧道的纵向位移从7.4 mm逐渐减小到0.7 mm，且其减小速率先增大后逐渐放缓；隧道发生位移的影响范围也会随之增大，但是总体来说在距离中心点±40 m外隧道纵向变形位移几乎为0。由图11(b)可知，弯矩峰值随着S0数值的增加逐渐减小，且其减小速率也出现先增大后逐渐放缓的现象。这是由于在基坑与隧道相对位置的俯视图中，当既有隧道的位置将要超出在建基坑矩形的范围时，基坑开挖引起的既有隧道轴线处的附加应力会骤然减小，此时隧道位移及内力变化对S0值减小最为敏感。说明随着隧道轴线与基坑中心距离的增加，使得隧道远离基坑中心，基坑开挖对隧道应力应变的影响也在逐渐减小，且这种影响不成线性关系，其速率先增大后放缓。

图11 S0数值变化对隧道竖向位移和弯矩分布影响

4 结论

基坑开挖对下卧既有隧道的变形响应解析方法中，既有研究将隧道简化成Timoshenko梁搁置在Winkler地基模型上，没有考虑土体剪切变形的影响。针对前人研究的不足，提出了将隧道简化成Timoshenko梁搁置在Kerr地基模型上的解析解，得到如下结论：

(1) 将隧道简化成既能考虑纵向刚度又能考虑剪切变形的Timoshenko梁，隧道-土体之间相互作用采用Kerr地基模型，利用有限差分法获得基坑开挖引起下卧既有隧道变形响应。

(2) 通过与2个工程案例做比较，显示出本文方法计算数据与实测结果及有限元结果基本吻合。验证了本文方法的合理性。

(3) 与上述2个工程案例已有解析的T-W法和本文可退化的T-P法比较，本文方法更具有优越性。

(4) 参数分析研究结果表明，基坑开挖宽度及深度的增大会引起既有隧道受力变形的增大；地基模量、隧道轴线埋深和隧道轴线与基坑中心距离的增大会引起既有隧道变形响应的减小。