深埋非圆形隧道开挖围岩的弹性和黏弹性位移解析

刘淑红，范金录，陈智慧，朱永全

(1.石家庄铁道大学 工程力学系，河北 石家庄 050043；2.中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北 武汉 430063；3.石家庄铁道大学 土木工程学院，河北 石家庄 050043)

软弱围岩具有流变特性，位移状态随着时间而变化。对于深埋隧道，围岩的流变特性更加显著，对于隧道稳定性的影响更大。圆形隧道由于形状简单，计算方便，因此理论研究成果相对较多。对于未施加支护的圆形隧道，刘保国等[1]根据不同温度下，秦岭隧道围岩的蠕变试验结果，得到蠕变模型中的待定参数，用黏弹性理论分析了高地热条件下的深埋圆形毛洞围岩黏弹性变形。刘干斌等[2]基于Biot理论，采用渗流-力学耦合模型，研究了因开挖深埋圆形隧道而引起周围黏弹性饱和土体中的应力和位移场。何平等[3]得到了岩石为H-Kilvin黏弹性体时，圆形隧洞任意方式断面开挖过程中的应力和位移积分形式解答。王华宁等[4]得出了流变岩体中圆形隧道分两步开挖围岩的黏弹性位移和应力的解析解。夏才初等[5]基于西原模型，采用拉普拉斯变换与逆变换，得到了圆形隧道围岩黏弹-黏塑性区的解析解。对于施加衬砌的圆形隧道，赖远明等[6]利用弹性-黏弹性对应原理，通过拉氏变换和逆变换，得到了寒区圆形隧道衬砌应力和本构关系符合鲍埃丁-汤姆逊黏弹性模型的围岩冻胀力。考虑支护滞后效应，Fahimifar等[7]和Nomikos等[8]得到静水应力场作用下，储昭飞等[9]得到非静水应力场作用下，圆形隧道围岩的黏弹性解。Kargar等[10]、Kargar等[11]分别忽略和考虑隧道开挖影响，采用Burgers黏弹性模型围岩，得到了圆形衬砌隧道的应力场。王华宁等[12]和Song等[13]推导了圆形隧道开挖和任意时刻施加双层衬砌，衬砌、黏弹性围岩的位移和应力解。对于非圆形隧道，李心睿等[14]得到了直墙圆拱形隧道围岩黏弹性解析解。李明等[15]、宁德义[16]应用鲍埃丁-汤姆逊黏弹性模型，研究了矩形巷道围岩的黏弹性解析解。结合实际工程的设计、施工和量测方面，王长虹等[17]结合乌鞘岭隧道量测资料，采用有限元软件Ansys对符合广义开尔文模型围岩的黏弹性问题进行优化反演分析，得出侧压力系数、弹性模量和黏滞系数。李国良等[18]通过选择断面形状、多重支护，快开挖、快封闭等设计和施工方法，成功控制了复杂应力条件下乌鞘岭隧道软弱围岩的大变形。谭忠盛等[19]对中老铁路软弱围岩隧道随时间变化的大变形，从支护结构和施工方法两方面主动控制，提出软岩大变形控制技术。

从上面的研究可以看出，目前的软弱围岩的黏弹性位移研究成果多集中在圆形的隧道。由于数学上的复杂性，工程上常用到的非圆形隧道围岩黏弹性变形的研究成果相对较少。而非圆形隧道围岩中位移弹性解的研究已经比较成熟，对于深埋的非圆形隧道，可以看成无限大弹性体中的孔洞问题，复变函数法是解决此类问题最有效的方法。基于复变函数方法，很多学者得到了不同形状隧道围岩弹性位移的隐式解析解表达式，通过数学软件给出了沿隧道边或坐标轴的分布[20-23]。李岩松等[24]得到了考虑衬砌支护，非圆形隧道衬砌和围岩中应力及变形的解析解。

本文利用复变函数的方法，得到了工程上常见的非圆形隧道开挖引起的围岩弹性位移的解析解，根据弹性-黏弹性对应原理，通过拉氏变换和逆变换，得到了围岩黏弹性位移的解析解。以铁路建设通用参考图Ⅳ级围岩中时速250 km客运专线铁路双线隧道(板式无砟轨道)为例，给出了隧道附近的弹性位移分布、及隧道拱顶、拱底和拱腰3个特殊点的黏弹性位移随时间变化规律，为安全经济的隧道设计和施工提供理论基础。

1 模型假定

本文研究模型的基本假定与参数为[21,25]：① 地层视为各向同性、均匀连续的介质；②隧道为大埋深，可以看成无限大土体中的非圆形孔洞；③ 围岩受到无穷远处的非静水应力场作用。深埋的非圆形隧道荷载结构图，见图1。图1中，P为竖直压力；λP为水平压力；λ为侧压系数。

图1 非圆形隧道

2 位移的弹性解

通过保角变换，把z平面上非圆形隧道外区域映射到ζ平面上单位圆外域，z平面上的点z=x+iy，对应ζ平面上的点ζ=ρeiθ，x、y和ρ、θ分别为z和ζ平面上的直角坐标和极坐标。保角映射函数z=ω(ζ)的一般形式为

(1)

式中：k=1，2，…；Ck为与隧道截面形状有关的系数；n为项数，对于常见的隧洞断面，一般取n=10可以得到足够准确的变换函数[26-31]。

本问题属于平面应变问题，在z平面上直角坐标系中，由于隧道开挖引起的围岩位移的表达式为[23]

(2)

φ0(ζ)、ψ0(ζ)的表达式为

(3)

(4)

(5)

式中：σ为ζ平面上单位圆的边界值，即ρ=1；ζ=σ=eiθ；B、B′-iC′分别为与无穷远处荷载有关的常数

(6)

(7)

通过式(1)、式(3) 和式(4) ，可以求得φ0(ζ)和ψ0(ζ)分别为[20]

(8)

(9)

式中：ak、Sk为系数。

(10)

(11)

其中，Lk为系数。

(12)

通过式(10)～式(12)，可以求解出式(8)、式(9)中的待定系数ak和Sk。

3 位移的黏弹性解

根据2节得到的围岩弹性位移分量，采用弹性-黏弹性对应原理，通过拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换，可以得到围岩位移的黏弹性解。在定量分析之前，根据围岩的性质，确定合适的流变本构模型至关重要。本文假定围岩体积变形是弹性的，形状变形规律符合由Maxwell、Kelvin模型串联而成的Burgers模型，对于其他模型，通过变换算子，同样可以得出位移的黏弹性解。三维本构关系[32-33]

(13)

式中：Sij、eij分别为应力偏量、应变偏量；σii、εii分别为应力、应变第一不变量的张量形式；K为围岩的体积模量；P′(D)和Q′(D)为黏弹性微分算子。

(14)

式中：Gm、Gk分别为Maxwell、Kelvin模型的剪切模量；ηm、ηk分别为Maxwell、Kelvin模型的黏性系数；s为拉氏空间的自变量。

在黏弹性分析中，相空间参数的变换表达式为

(15)

4 解析结果及讨论

本文以铁路建设通用参考图Ⅳ级围岩中时速250 km客运专线铁路双线隧道(板式无砟轨道)为例。弹性分析时，根据TB 10003—2016《铁路隧道设计规范》[34]，选取Ⅳ级围岩的弹性模量E=2 GPa，泊松比μ=0.32。黏弹性分析时，设围岩满足Burgers黏弹性模型，参数如下[8,35]：Gk=344.738 MPa，ηk=0.665 GPa·a，Gm=3 447.379 MPa，ηm=133.005 GPa·a，K=7 469.321 MPa，竖向荷载P=3 MPa。

求隧道的映射函数式(1)，采用搜索边界映射点的方法[28,31]，主要分以下4个步骤：

Step1将单位圆和隧道边界按等角度划分360份，按角度一一对应，将单位圆上的点和隧道边界上的点代入式(1)，得到360个线性方程组，按最小二乘法求解，得到初始映射函数。将单位圆上的360个点代入初始映射函数，得到对应的初始映射点和初始映射隧道。

Step2求出初始映射隧道边界上相邻两点的距离与初始映射隧道周长的距离比，根据距离比，调整隧道边界上映射点的位置。

Step3再根据隧道边界上点与单位圆上点的对应关系，由式(1)，再次计算该对应关系下的第二次映射函数。

Step4如此循环迭代下去，一般迭代15次左右，就可以达到需要的精度，从而求出最终的映射函数表达式。

铁路建设通用参考图Ⅳ级围岩中时速250 km客运专线铁路双线隧道(板式无砟轨道)映射洞形见图2。

图2 时速250 km客运专线铁路双线隧道映射洞形

该隧道映射函数的系数为

C1=0.653 4，C2=6.299 0，C3=-0.491 5，C4=0.306 7，C5=-0.148 3，C6=0.044 5，C7=0.003 8，C8=-0.014 9，C9=0.010 8，C10=-0.005 8，C11=0.003 8，C12=-0.002 9，C13=0.000 9，C14=0.001 9。

4.1 弹性位移的分布

当侧压系数λ=0.9时，根据式(2)得到的由于开挖引起隧道附近的弹性竖直位移u和水平位移v等值线图见图3。由图3可见，由于结构和荷载关于x轴对称，竖直位移u和水平位移v分别关于x轴正对称和反对称。竖向位移主要集中在隧道的顶部和底部，水平位移主要集中在隧道的腰部，竖直位移的影响区域大于水平位移的影响区域。开挖引起的弹性位移在隧道边界最大，在隧道附近区域迅速下降，之后缓慢趋于零。

图3 弹性u、v等值线 (单位：mm)

当侧压系数λ取0.3、0.6、0.9时，由于开挖引起沿隧道边的弹性竖直位移u和水平位移v见图4。图4中横坐标α(图1)为隧道边界的点与坐标原点连线跟x轴正向的夹角(0≤α≤180°)，逆时针转为正，α=0°、180°分别为A点(拱顶)和B点(拱底)(图2)。由于对称，仅取左半个结构作为研究对象。由图4(a)可见，竖直位移u为单调增长曲线，方向指向洞内，随侧压系数的增大，拱顶和拱底的弹性竖直位移减小；由图4(b)可见，水平位移v类似抛物线，在A、B点的水平位移为零，满足对称条件。当侧压系数(λ=0.3)较小时，沿隧道边的水平位移为正，说明水平位移方向指向洞外，但值较小。当侧压系数λ=0.6、0.9较大时，沿隧道边的弹性水平位移为负，说明水平位移方向指向洞内。此时最大的弹性水平位移值在同一点取得，对应点角度α=81.833 1°，点坐标(0.946 4，6.594 2)即图2中C点(拱腰)。随侧压系数的增大，拱腰的弹性水平位移值增大。由图4还可见，随着侧压系数等差变化，任一点的弹性位移也呈等差变化。

图4 不同侧压系数时沿孔边的弹性竖直、水平位移

4.2 黏弹性位移的分布

当侧压系数λ=0.6时，A、B、C点由于开挖引起的黏弹性竖直位移和水平位移随时间变化曲线见图5。由图5可见，A点和B点的竖直位移、C点的水平位移随时间变化明显。在5年左右，变化速率减小。位移方向都指向洞内，说明隧道开挖后，一定要及时支护，否则会由于变形过大而破坏。A、B点的水平位移为零，与时间没有关系，同样满足对称条件。

图5 A、B、C点的黏弹性竖直、水平位移

当侧压力系数λ=0.3、0.6、0.9时，由于开挖引起的拱腰C点黏弹性竖直位移和水平位移、及A点和B点的黏弹性竖直位移随时间变化的曲线见图6。

图6 不同侧压系数时A、B、C点的黏弹性竖直、水平位移

由图6可见，随着侧压系数等差变化，图6(a)和图6(b)任一时刻的黏弹性位移也呈等差变化，如t=20 a时，变化值分别为0.088 0、8.903 1 mm。随着侧压系数的增大，C点的黏弹性水平位移和竖直位移增大，但C点的黏弹性竖直位移值及其随时间变化很小。A点和B点的黏弹性竖直位移随侧压系数的改变基本没变，这是因为A点和B点在竖向对称轴上，主要受竖直荷载的影响。当λ=0.9，t=20 a时，A点沉降和B点隆起值分别为32.932 5、36.321 1 mm，拱腰C点的黏弹性水平位移为26.999 1 mm。拱底隆起大于拱顶沉降，均大于拱腰C点的黏弹性水平位移。

5 结论

(1) 隧道附近的弹性竖直位移和水平位移等值线图分别关于竖直轴正对称和反对称。开挖引起的弹性位移在隧道边界最大，在隧道附近区域迅速下降，之后缓慢趋于零。

(2) 随侧压系数增大，拱顶和拱底的弹性竖直位移减小，拱腰的弹性水平位移值增大。沿隧道边的弹性竖直位移方向都指向洞内。当侧压系数较小时，沿隧道边的弹性水平位移方向指向洞外，但值较小。当侧压系数较大时，沿隧道边的弹性水平位移方向指向洞内，而且此时最大值在拱腰处同一点取得。当侧压系数等差变化时，沿隧道边界任一点的弹性位移也呈等差变化。

(3) 拱顶和拱底的黏弹性竖直位移、拱腰的黏弹性水平位移随时间变化明显，方向都指向洞内。在5 a左右，变化速率减小。说明隧道开挖后，一定要及时支护，否则会由于变形过大而破坏。

(4) 随侧压系数增大，拱顶和拱底的黏弹性竖直位移变化不大，拱腰的黏弹性水平位移增大。当侧压系数等差变化时，任一时刻拱腰的黏弹性位移也呈等差变化。