KKM定理中无限交集的紧性及其应用

王元恒， 李雪婷

(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

著名的KKM定理是现代非线性分析中最重要的定理之一,由Knaster等[1]3位波兰数学家于1929年在有限维空间RN中建立的.KKM定理为数学科学不同领域的许多现代重要成果奠定了基础.Nash[2]利用KKM定理导出的不动点定理证明了有限个非合作博弈中均衡点的存在性,创立了均衡理论而获得了诺贝尔经济学奖.1961年,Fan[3]把KKM定理推广到无限维空间并给出了极大极小不等式定理.

定理1[3]设X是拓扑向量空间Y中的任意集合.对于每个x∈X,设Y中的闭集F(x)满足以下2个条件:

2)至少存在一个x∈X,使得F(x)是紧的.

近年来,人们从许多方面改进和推广了KKM定理,在 KKM 定理及其均衡理论、极小极大的理论和应用方面取得了很大的进展[4-15].例如,把KKM定理中的空间改进为无限维Hausdorff线性拓扑空间、超凸空间、H-空间、G-凸空间等;把KKM定理中的闭集改进为凸闭集、集的闭包是闭的、集是有限闭、转移闭等.但是,对于KKM定理中无限交集的结构研究并不多,包括其交集的唯一性、闭性、凸性、紧性等.本文在原有条件不变的情况下,研究了KKM 定理中无限交集的结构问题,证明了KKM定理中的无限交集不但非空,而且还是闭集、紧集,同时还给出了KKM定理中的一些交集结构;推广了著名的Minty引理,并在此基础上,结合本文给出的KKM定理中交集结构,证明了抽象变分不等式解集的紧性、凸紧性定理和解的存在唯一性定理.本文的结果推广和改进了许多已有的相关结果.

1 KKM定理中交集的紧性

首先在原来条件不变的情况下,从理论上给出KKM定理中交集的闭性、紧性证明.

定理2设X为Hausdorff线性拓扑空间E中闭凸集,F是E的任意有限维子空间.若∀x∈X,∃M(x)⊂E,满足以下条件:

3)∀x∈X,M(x)有限闭,即M(x)∩F在F中是闭集;

作一个新的集值映射M*:X→2X,M*(x)=M(x)∩X,∀x∈X,则M*也满足:

4)任意的有限维截口Dx0,有

为非空紧集.定理2证毕.

2 抽象变分不等式解集的紧性

利用定理2的KKM交集为非空紧集结构,作为应用,可以得到下面抽象变分不等式解集的闭性、紧性.

定理3设E为Hausdorff线性拓扑空间,X为E中凸闭集,泛函f:X→(-∞,+∞],f≢+∞,二元泛函φ:X×X→R1,且当x∈X时,φ(x,x)≥0.若还满足:

1)X紧,或者存在紧K及x0∈X∩K具有强制性条件

f(x)>φ(x,x0)+f(x0), ∀x∈X-K;

2)∀x∈X,f(·)+φ(x,·)拟凸;

3)∀y∈X,f(·)-φ(·,y)在任何有限维子空间下半连续;

4)对任何有限维截口D,∀xα∈X∩K,xα→x∈D,∀y∈D,

f(xα)≤φ(xα,y)+f(y)⟹f(x)≤φ(x,y)+f(y).

则抽象变分不等式

(1)

证明∀y∈X,作M(y)={x∈X|f(y)+φ(x,y)≥f(x)}⊂X,则易验证M:X→2X满足定理2的全部条件[4],从而

f(y)+φ(xα,y)≥f(xα), ∀y∈X,

则

证明由于抽象变分不等式(1)的解集K0是紧集,从而K0是闭集，所以结论成立.推论1证毕.

推论2在定理3中，把条件4)换为“4′)φ(x,y)伪单调且f(x)下半连续”,其他条件不变，则抽象变分不等式(1)的解集为K∩X中的非空紧集.

证明因为由条件4′)能推出条件4)成立[4],所以结论成立.推论2证毕.

推论3在定理3中，把条件3)和条件4)合并换为“3′)∀y∈X,f(·)-φ(·,y)下半连续”,其他条件不变，则抽象变分不等式(1)的解集为K∩X中的非空紧集.

证明因为∀y∈X,可由条件3′)推出条件3)和条件4)成立,所以结论成立.推论3证毕.

注3与文献[4,16]相比,定理3及推论1～推论3在条件完全相同的情况下,不仅给出了抽象变分不等式(1)的解的存在性,而且还进一步得到了抽象变分不等式(1)的解集为“非空”“闭的”“紧集”的结果.

3 Minty引理的推广与凸性

接下来,首先推广著名的Minty引理[17],再结合定理 3,可以得到抽象变分不等式(1)解集的凸性、紧凸性、唯一性结果,进而得出解集的结构性定理.

定理4设E是Hausdorff线性拓扑空间,X⊂E为凸闭集.若

1)泛函f:X→(-∞,+∞],但不恒为+∞,下半连续;

2)φ:X×X→R单调半连续,∀x∈X有φ(x,x)≥0;

3)∀x∈X,f(·)+φ(x,·)拟凸.

则对x∈X,有下面的等价关系:

f(y)+φ(x,y)≥f(x),∀y∈X⟸⟹f(y)-φ(y,x)≥f(x),∀y∈X.

(2)

即,若令

M(y)={x∈X|f(y)+φ(x,y)≥f(x)},

H(y)={x∈X|f(x)+φ(y,x)≤f(y)},

f(x)+φ(y,x)≤f(y), ∀y∈X;

(3)

(4)

(5)

在式(3)中令y=xt,得

f(x)+φ(xt,x)≤f(xt), 0

(6)

把不等式(5)与不等式(6)作凸组合,得

再由f(·)+φ(x,·)的拟凸性得

即

f(xt)+φ(xt,xt)

由此知f(xt)<+∞,φ(xt,xt)<0,这与已知条件φ(y,y)≥0(∀y∈X)矛盾.定理4证毕.

4)∀x∈X,φ(x,y)对y是下半连续的.

推论4在定理4的条件下,抽象变分不等式(1)的解集为凸集(可能为空集).

定理5在定理4的条件1)、条件2)、条件3)和注4的条件4)下,抽象变分不等式(1)的解集K0⊂X∩K是非空凸紧集;若进一步假定φ是严格单调,或者f(·)+φ(x,·)是严格拟凸,则解集K0为单点集,即得式(1)解的唯一性.

假设有x1,x2∈K0,x1≠x2,则必有

f(x2)+φ(x1,x2)≥f(x1),x2∈X;

(7)

f(x1)+φ(x2,x1)≥f(x2),x1∈X.

(8)

因为f(x1)<+∞(否则由∀y∈X,f(x1)≤φ(x1,y)+f(y)知f(y)恒为+∞,与已知条件矛盾),f(x2)<+∞,所以f(x1)+f(x2)<+∞,把式(7)和式(8)相加,得

f(x2)+f(x1)+φ(x1,x2)+φ(x2,x1)≥f(x1)+f(x2),

即

φ(x1,x2)+φ(x2,x1)≥0.

(9)

由φ的单调性得

φ(x1,x2)+φ(x2,x1)≤0.

(10)

当φ严格单调时,式(10)为严格不等号,结合式(9)即得0<0,矛盾;当f(·)+φ(x,·)严格拟凸时,式(9)为严格不等号,结合式(10)即得0<0,也矛盾.因此，假设不成立,即在φ严格单调或f(·)+φ(x,·)严格拟凸时,K0只能为单点集.定理5证毕.

推论5设f:X→(-∞,+∞],φ:X×X→R,f≢+∞,φ单调,则抽象变分不等式(1)的解集K0具有如下性质:

∀x1,x2∈K0,φ(x1,x2)+φ(x2,x1)=0.

(11)

证明由式(9)与式(10)即可证得结论成立.推论5证毕.

证明在式(11)中取x1=x2即可证得结论成立.推论6证毕.

推论7在定理5的条件中,仅把条件φ(x,y)的单调换成伪单调,则定理5的所有结论都成立.

推论8在定理5中,把条件3)和4)合并换为“3")∀y∈X,f(·)-φ(·,y)下半连续”,其他条件保持不变，则定理5的结果都成立.

推论9在定理5中,把条件3)和条件4)合并换为“3‴)∀y∈X,φ(·,y)上半连续”,则定理5的结论都成立.

证明因为φ(·,y)上半连续,所以-φ(·,y)下半连续,则由推论8即可证得结论成立.推论9证毕.

4 结 语

定理2在文献[4]原有条件不变的情况下,证明了KKM定理中的无限交集不但非空,而且它还是闭集、紧集.定理4给出了著名的Minty引理[17]的推广,因为比原来的条件少了“下半连续”,所以结果中的交集也不能保证非空,但是这一点并不影响它的广泛应用.定理3和定理5及其推论给出了抽象变分不等式(1)的解集里的紧性、闭性、凸性、唯一性及其特征结构.这些结果与原来已有结果相比[4-6,16,18],不但给出了变分不等式解的存在性,而且还证明了解集的紧性和条件唯一性,另外还对一些条件的对称性及其条件要求进行了减弱和变化,特别注意的是把文献[4,18]的条件“∀x∈X,φ(x,·)下半连续”改变为条件“∀y∈X,φ(·,y)上半连续”,说明这样的条件在所要证的结果中是处于等价的对称条件地位,显示了数学结构的内在美.