例谈数列通项公式的几种求法

王宝华

求数列的通项公式问题经常出现在各类试题中，侧重于考查等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式以及性质.此类问题通常会要求根据已知的递推式求数列的通项公式，解题的关键在于合理变形递推式，将其转化为易于计算的式子.下面介绍几种数列通项公式的求法.

一、累乘法

累乘法是求数列通项公式的常用方法.这种方法适用于解答递推式形如：an +1 =f（n）an的数列通项公式问题.解题的一般步骤是：由 =f n得=  f 1， =f 2，…，=f n，再将这些式子的左右两边累乘，约掉中间的部分项，就能得到= f k，从而求得数列的通项公式.

例1.设{an}是首项为1的正项数列，且n +1a +1 -na +anan+1=0 ，求该数列的通项公式.

解：

二、待定系数法

对于形如an+1 = can + d 的递推式，通常可采用待定系数法求数列的通项公式.在解题时需引入待定系数 λ，使an +1+λ = c（an +λ），再通过对比 an+1、an的系数，即可求得 λ 的值，从而构造出等比数列的答案.

例2.已知数列{an}中，a1= 1，an=2an−1+ 1（n ≥2） ，求数列{an}的通项公式.

解：因为 an=2an -1+1（n ≥2），

设 an +λ=2an -1+λ，解得λ=1，

所以an +1=2（an -1+1），

又因为a1+1= 2，所以{an +1}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以 an +1=2n，即 an =2n -1 .

该递推式形如an+1 = can + d，可引入待定系数λ，以构造出首项为2、公比为2的等比数列{an +1}.

三、倒数变换法

倒数变换法是通过取倒数，对递推式进行变换来求得数列通项公式的方法.该方法适用于由分式递推式求数列的通项公式.一般来说，这种递推式主要有以下两种类型：

1.形如an -1 - an=pan -1an （ p 为常数且 p≠0 ）的递推式.在求其通项公式时，要在递推式的两边同除以an -1an，将其转化为=  +p 的形式，将问题转化为an +1 =pan + q 型递推式的通项公式问题，求出的表达式，就能快速求得an的表达式;

2.形如 an+1 = pan + q 的递推式.可采用倒数变换法，将递推式转化为= +p 的形式，再將问题转化为an +1 =pan + q 型通项公式问题，求出的表达式，就能顺利得到an的表达式.

例3.若数列{an}满足 a1= 2，an+1 = an +3，求数列{an}的通项公式.

解： an+1 = an +3可变形为 an -1an +3an+1 = an ，

在其两边同除以 an -1an ，得1+ = ，

即3（ + ）= + ，

所以{+}是首项为1、公比为3的等比数列，

则+ =3n -1，即 an =  .

通过取倒数，便将递推式变形为 3（+ ）= + ，这样便构造出等比数列{ + }，根据等比数列的通项公式就能求得an 的表达式.

四、数学归纳法

有些数列的递推式较为复杂，仅通过变形很难求得数列的通项公式，此时，我们可先根据数列的递推式猜想出数列的通项公式，然后运用数学归纳法来进行验证.数学归纳法是利用数列的唯一性来证明结论，根据初始值和给出的数列各项的关系就能确定一个数列.运用数学归纳法解题的一般步骤为：先验证n =1 时数列的通项公式是否满足题意;再假设当 n =k 时，数列的通项公式满足题意;最后证明当 n =k +1 时，数列的通项公式也满足题意.

例4.已知数列{an}满足an+1 = an +a1=  ，求数列{an}的通项公式.

解：由 an+1 = an +  及 a1=  得 a2=  +  =  ， a3=  +  =  ，  a4=  +  =  .

由此猜测an =              下面用数学归纳法证明这个结论：

（1）当n =1 时，a1=  ，该通项公式满足题意;

（2）假设当n =k 时，该通项公式满足题意，可得

（3）当 n =k +1 时，

由此可知，当 n =k +1 时，该通项公式满足题意.

所以数列{an}的通项公式an =

将 n =1，2，3，4代入递推式中便可求得 a2、a3、 a4，由此猜想出数列的通项公式，再将其看作关于自然数的命题，用数学归纳法进行求证，即可说明该猜想成立.

总之，求数列通项公式的方法众多，其递推式也各不相同，因此在解题时，需明晰递推式的类型，如 an +1 =f（n）an 、an+1 = can + d、an -1 - an=pan -1an 、an+1 =pan + q 等，选择与之相应的方法求解.

（作者单位：江西省赣州市第一中学）