2022年高考“三角函数”备考指导

【摘 要】 运用“三看”分析法解决三角函数恒等变换和求值问题;类比y=sinx的图象和性质研究y=Asin（ωx+φ）图象和性质问题;根据所涉及边、角或式子结构特征，合理选择正、余弦定理解决三角形边角关系和面积问题.

【关键词】 三角函数;高考复习;备考指导

高考对三角函数的考查主要体现在四个方面：利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点;利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题;利用真实情境考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用;体现思维深度，考查创新意识[1].

高考三角函数考查题型有单选题、多选题、填空题、解答题、开放题、结构不良试题等.选择题、填空题往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式、降幂扩角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）等为基点，考查三角函数的恒等变换和求值问题;以三角函数图象为载体，考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等性质.解答题常以平面几何图形为依托，运用正、余弦定理解决三角形边角关系和面积等问题;也可能把三角函数与向量、平面几何、解析几何、立体几何、数列、导数、不等式等问题进行融合考查.2022年高考三角复习要把握好以下几个问题.

1 三角函数恒等变换和求值

三角函数恒等变换和求值问题可采取“三看”分析法，即“看角、看函数、看式子特征”后选择相应的三角公式进行变换.看角就是看已知角和所求角、条件角和目标角之间有何关系;看函数就是看条件中三角函数和目标中三角函数之间的关系，涉及正切的常切化弦;看式子特征就是看已知条件与待求式子之间的联系，选择适当的三角公式，将已知式与待求式化异为同.要强化三角函数公式的记忆，关注公式的正用、逆用与公式的变形，以提高三角函数求值和三角恒等变换问题的解题能力.

例1 若α∈0，π2，tan2α=cosα2-sinα，求tanα.

提示：观察tan2α=cosα2-sinα，左边角为右边角的2倍，故左边要用二倍角公式;左边为正切函数，右边为正余弦函数，故左边要切化弦;右边分子为cosα，为消去cosα，左边应先切化弦后用二倍角公式，即tan2α=sin2αcos2α，右边消去cosα后只含sinα，故左边分母选择cos2α=1-2sin2α.tan2α=cosα2-sinα化为sin2αcos2α=2sinα·cosα1-2sin2α=cosα2-sinα，得sinα=14，由α范围和同角三角函数关系式得tanα=1515.

模拟练习单项选择题

1.若sinπ6-α=13，则

cos2π3+2α=（  ）.

A.-79  B.-13

C.13  D.79

2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P（1，-3），则

cos2θ+cos2θ+π4=（  ）.

A.0   B.25   C.35

D.45答案：1.A 2.A

2 三角函数的图象与性质

函数y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）（A>0，ω>0，以下同）的图象和性质问题，完全类比y=sinx和y=cosx的图象和性质解决.

（1）零点

若x0为y=Asin（ωx+φ）的零点，则ωx0+φ=kπ（k∈Z，以下同）.若x0为y=Asin（ωx+φ）图象上升时的零点，则ωx0+φ=2kπ，若x0为y=Asin（ωx+φ）图象下降时的零点，则ωx0+φ=2kπ+π.若x0为y=Acos（ωx+φ）的零点，则ωx0+φ=kπ+π2.若x0为y=Acos（ωx+φ）图象上升时的零点，则ωx0+φ=2kπ-π2，若x0为y=Acos（ωx+φ）图象下降时的零点，则ωx0+φ=2kπ+π2.

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上无零点，则[a，b]介在两个相邻的零点之间;

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至多有2個零点，则b-a<2πω;若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至少有2个零点，则b-a≥2πω.

（2）单调性

若函数y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上单调（或无极值点），则[a，b]介在两条相邻的对称轴之间.b-a≤T2是函数y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上单调的必要非充分条件.

（3）对称轴

若x=x0为y=Asin（ωx+φ）的对称轴，则ωx0+φ=kπ+π2.若x=x0为y=Asin（ωx+φ）图象过最大值点的对称轴，则ωx0+φ=2kπ+π2，若x=x0为y=Asin（ωx+φ）图象过最小值点的对称轴，则ωx0+φ=2kπ-π2.若x=x0为y=Acos（ωx+φ）的对称轴，则ωx0+φ=kπ.若x=x0为y=Acos（ωx+φ）图象过最大值点的对称轴，则ωx0+φ=2kπ，若x=x0为y=Acos（ωx+φ）图象过最小值点的对称轴，则ωx0+φ=2kπ+π.

（4）解析式

由函数y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））一个周期内两个零点或两条对称轴或一个零点一条对称轴可求出周期，进而求出ω;或由三角函数的图象确定ω范围.由函数y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））图象上已知点确定φ.

例2 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x=-π6，且f（x）在π，4π3上无极值点，求ω最大值.

提示：f（x）在π，4π3上无极值点，则π，4π3介在两条相邻对称轴间，即存在整数k，

使kπω-π6≤π，（k+1）πω-π6≥4π3，解得67k≤ω≤23（k+1），由ω>0，得23（k+1）>0，又67k≤23（k+1），解得-1<k≤72，k=0，1，2，3.ω最大值为83.

模拟练习多项选择题

1.已知函数f（x）=cosx，函数g（x）的图象由函数f（x）的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω（ω>0）倍得到，若函数g（x）在π2，3π2上没有零点，下列正确的是（  ）.

A.ω最大值为49

B.ω最大值为103

C.g（x）在3π8，π2有唯一一条对称轴

D.g（x）在3π8，π2有两条对称轴

2.函数f（x）=asin2x+bcos2x（a，b为非零常数），fπ6=0，下列正确的是（  ）.

A.f（x）周期为π

B.fx+π6为奇函数

C.f（x）在-π12，5π12上单调递增

D.f（x）在[0，2022π]上有4044个零点

3.函数f（x）=cosωx-π6（ω>0）的一段图象如图1，则下列正确的是（  ）.

A.ω=1B.f（x）周期为π

C.f（x）在2π3，13π12上递增

D.5π6，0为f（x）图象的对称中心

答案：1.AC 2.ABD  3.BCD

3 正、余弦定理应用

在三角形中运用正、余弦定理解决问题的关键在于根据所涉及的边、角或式子结构特征，合理选择正、余弦定理和三角形面积公式.涉及两角一边或两边一角时常使用正弦定理，已知三边或一角时常使用余弦定理.有时还要注意结合平面几何知识灵活解决问题.

例3 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c-2a）cosB+bcosC=0，点D在边AC上，BD平分∠ABC.

（1）求角B;

（2）若BD=3，求△ABC外接圆面积的最小值.

提示

（1）把已知等式化边为角后由两角和正弦公式得B=π3.

（2）如图2，由三角形面积S△ABD+S△DBC=S△ABC，得a+c=ac，由余弦定理b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（ac）2-3ac，由ac=a+c≥2ac，得ac≥4，故b≥2，2r=bsinB≥43，△ABC外接圆面积最小值为4π3. 也可用正弦定理，在△ABD中，ADsin∠ABD=BDsinA，即AD=32sinA，在△CBD中同理得CD=32sinC.故b=321sinA+1sinC=32·sinA+sinCsinAsinC≥32·sinA+sinCsinA+sinC22=23sinA+sinC=23sinA+sin2π3-A=2332sinA+32cosA=2sinA+π6≥2.

还可用几何法，如图3，过点D作DE∥BC交AB于点E，由DEBC=AEAB，得a+c=ac.如图4，做DE⊥BC，DF⊥AB，由12AB·DF+12BC·DE=12AB·BC·sin∠ABC，得a+c=ac.

模拟练习

1.在①cosC+（cosA-3sinA）cosB=0，②cos2B-3cos（A+C）=1，

③bcosC+33csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a+c=1，，求角B的值和b的最小值.图5

2.如图5，三角形△ABC中，AB=1，BC=[KF（]3[KF）]，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，求线段BD长度最大值.

3.△ABC中，AC>AB，AB=8，cosA=3132.

（1）若S△ABC=1574，求BC;

（2）若cos（B-C）=18，求AC.

提示：

1.①C=π-（A+B）;②A+C=π-B;③A=π-（B+C）.

2.设∠ABC=α，∠BCA=β，在△ABC中由余弦定理得AC2=4-23cosα，在△BCD中由余弦定理得BD2=7-23cosα+23CDsinβ，在△ABC中由正弦定理得ACsinβ=sinα，即CDsinβ=sinα，從而BD2=7+26sinα-π4，BD≤6+1.

3.在AC边上取点D，使∠CBD=∠C.

4 三角函数与其他知识的融合

将三角函数与向量、平面几何、立体几何、解析几何、数列、不等式、导数等知识进行融合考查.如导数与函数压轴题，所给函数往年多数是一次函数，二次函数，幂函数，指数、对数函数等基本函数的组合，融入三角函数也是高考考查的方向.例4 求证函数f（x）=12x-sinx+e-x在（0，2π）有两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）>π-12.

提示：f′（x）=12-cosx-e-x，f（x）极值点为f′（x）零点.

当x∈0，π2时，f′（x）递增，f′π4<0，f′π2>0，f′（x）在0，π2上有唯一零点x1，且x1∈π4，π2.当x∈π2，3π2时，f′（x）>0，f′（x）无零点.当x∈3π2，2π时，可证f′（x）有唯一零点x2，且x2∈3π2，7π4.

由12-cosx1=e-x1，

12-cosx2=e-x2，可得cosx1<cosx2=cos（2π-x2），得x1>2π-x2，即x1+x2>2π.

故f（x1）+f（x2）=12（x1+x2）-2sinx1+π4-2sinx2+π4+1>π-2+1>π-12.

参考文献

[1] 陈昂，任子朝，赵轩.高考中三角函数内容考查研究[J].数学通报，2018（10）：4447.

作者简介 黄如炎（1964—），男，福建闽清人，中学正高级教师，特级教师;发表论文90多篇.