例谈双元不等式证明中的减元策略

张志刚

(山东省宁阳县复圣中学 271400)

双元(例如x1，x2)不等式的证明是高考数学常考常新的命题热点，解答时往往需要适时构造新函数，借助导数工具加以讨论.鉴于高中阶段仅限于学习一元函数的导数运算及应用，因此，证明双元不等式的核心思想就是减元(消元)，即将双元不等式转化为一元函数不等式去解决.如何有效地实施减元就成了解题的关键，采用何种策略要视具体题设条件而定，不可一概而论.本文以近年高考试题和模拟题为例，探讨具体题设环境下如何实施消元.

1 商式换元法

其基本原理是：依据题设条件，如出现两个齐次式之商的形式，则可以考虑将函数表达式转换成关于两元比值的单变量函数.

此方法常常用于对数函数为背景的双元不等式证明.

由切线不等式lnx

例2 已知函数f(x)=ax2-blnx在点(1，f(1))处的切线为y=1.

(1)求实数a，b的值；

解析(1)a=1，b=2.(过程略)

(2)因为0

所以g(t)在(1，+∞)上单调递增.

所以g(t)>g(1)=0,原不等式成立.

2 差式减元法

类比商式换元法，我们也可以依据题目条件，考虑将函数表达式转换成两元之差的单变量函数.此方法常常用于指数函数为背景的双元不等式证明.

设t=b-a(t>0),

设g(t)=t+2+(t-2)et(t>0),

g′(t)=1+(t-1)et(t>0).

设h(t)=g′(t)，则

h′(t)=tet>0.

所以h(t)即g′(t)在(0，+∞)单调递增.

从而g′(t)>g′(0)=0，

g(t)在(0，+∞)上单调递增.

所以g(t)>g(0)=0.

2t0).

设f(t)=et-e-t-2t(t>0),则

所以f(t)在(0，+∞)上单调递增.

从而f(t)>f(0)=0，即原不等式成立.

3 韦达消参法

当双元x1,x2是某二次方程的两根时，通过韦达定理求出x1+x2，x1x2，并考查是否为定值.若某一式(如下面例5中x1x2=1)为定值，利用此定值条件揭示的两变量间的联系，将其中一个变量用另一个变量来表示，代入相应的不等式中，以达到消元之目的.显然，本方法一般适用于导函数为二次函数的函数不等式的证明.

(1)讨论f(x)的单调性；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在两个极值点，则a>2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足

x2-ax+1=0，

由韦达定理，得x1x2=1.

不妨设x11.

所以欲证不等式等价于

由(1)知，g(x)在(0,+∞)单调递减.

又g(1)=0，从而当x∈(1,+∞)时，g(x)<0.

例6已知函数f(x)=x2-x+aln(x+1)，其中a∈R.

(1)求f(x)的单调区间；

解析(1)略.

(2)由(1)知，若f(x)存在两个极值点，则

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足

2x2+x+a-1=0，

由韦达定理，得

=x2-(2x2-1)ln(x2+1).

g(x)=x-(2x-1)ln(x+1)，

设h(x)=g′(x)，则

>ln1=0，

4 主副元减元法

其基本原理是：在双元函数不等式中，将其中一个变量作为主元，另外一个变量作为副元(参数)，从而构造一元函数来证明，达到减元的目的.

证明由于0

所以F(x)在(x1,+∞)上单调递减.

从而F(x)

令x=x2，F(x2)<0,即原不等式成立.

点评在本题确定主副元时，鉴于欲证不等式中x2出现次数较少，则首选x2作为主元,x1作为副元尝试解答.当然，有些题目两元出现次数相当时，也可考虑用主副元法.

例8已知函数f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx.设0

证明(1)设

所以F(x)在(a,+∞)上单调递增.

从而F(x)>F(a)=0.

所以G(x)在(a,+∞)上单调递减.

从而G(x)

综上，原不等式成立.

点评本题考查了应用导数证明不等式的一个重要方法——设辅助函数法：将不等式所有的项移至不等式一侧，另一侧为0，然后构造辅助函数，按部就班解答即可.但本题中的不等式是双变量不等式，就需考虑选择一个元作为主变元，另一个作为参数了.例如上述解答中，即将b视为主元，将a视为副元完成证明.而在主变元的选取上，一般遵循的原则是：

①出现次数较少的字母为主变量，目的自然是为了构造函数后求导运算的便利；

②数值较大的字母为主变量，例如本例中的b.