解三角形题中寻找边角关系的几个视角

文/广州市执信中学 尧禄华

解三角形题是历年高考试题考查的重点，出现的位置常见于前两道大题.这类题目并不属于难题，但解题方法较为灵活，解题切入角度较多.部分考生在选择解题方向时，经常产生一定困惑.笔者根据多年的教学经验，感觉若能从三角形构成的要素出发，即三边三角的关系的视角，结合方程思想，能快速顺利解决大部分考题.以下通过具体实例谈谈寻找边角关系的几个视角，以期帮助学生从本质上理解解三角形问题的一般模式，从而快速寻找到突破口，提升解题能力，提高解题素养.

视角1：补角视角

一个三角形中，若某边出现中点，或者三等分点时，可以通过两角互补，余弦值相加等于零，从而得到三边的一个关系.或者利用两角互补，正弦值相等，再结合正弦定理，得出边角等量关系.

例1：（2017 年全国III 卷理科17题）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知

解：第（1）问直接余弦定理即可得出答案c=4；第（2）问，注意到点D 为BC 上一点，从补角入手，构建等量关系，方法也不复杂，关键是此法操作性强，学生也更易掌握.

因 为∠ADB + ∠ADC = π，sin∠ADB=sin∠ADC

所以BD=CD，

视角2：两个三角形视角

一个三角形若已知两角一边，或者两边及这两边的夹角，或者三边，结合正余弦定理、面积公式等，就可以求出这个三角形的其他要素，此时三角形是确定的，我们说这个三角形是可解的.若是已知两边或一边的对角，此时三角形不能确定，可能无解、一解或二解.实际解题中，给出的已知条件中，往往只给出其中的两个条件，这时三角形并不能直接确定，需要通过借助旁边与之相关的三角形再构建一个边角的等量关系，才能求解.我们把这种方法称作解两个三角形，下面举例说明.

例2：（2021 佛山质量检测卷18题）如图，梯形ABCD 中，AB/ /CD，AB = 2，CD = 5，

视角3：等面积视角

例3：题目见上述例1 第（2）问.

本文从高考题出发，介绍了寻找边角关系的三个视角，事实上，处理解三角形问题，还有其他视角，其他文章也多有介绍.但无论哪种视角，都应该从问题本质出发.在数学概念教学中，要理解数学，掌握数学的本质特征.解题教学中，更应该从数学本质出发，对于解三角形，最本质的特征就是从构成三角形的基本要素三边三角关系出发，结合正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、平角余弦互补、面积公式等构建等量关系，综合方程思想，求出相关要素.