深度学习下“将军饮马”问题的教学设计与思考*

北京市十一学校龙樾实验中学(100096)彭芳芳

《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务,应体现在数学教与学的过程之中.”[1]深度学习引领下的数学教学设计与思考,能够有效帮助学生建立知识的系统性,培养学科思维和创新意识,渗透核心素养.笔者以数学史中的一个经典几何问题——“将军饮马”问题为载体,呈现深度学习引领下的几何应用专题的教学设计与思考,与读者分享交流.

1 教学设计

1.1 内容分析

最短路径问题是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“轴对称”这一章的应用内容,属于《义务教育数学课程标准(2011年版)》中“图形与几何”领域.最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为知识基础,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.

本课例以数学史中的一个经典问题——“将军饮马”问题为载体,开展对“最短路径问题”的课题研究与深度学习,引导学生自主发散情境,并通过类比转化、迁移学习,利用基本原理(“两点之间线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”)与基本变换(平移、轴对称)解决问题,发现学科本质.

1.2 学习者分析

本班学生为我校分层教学理念指导下的数III 学生,学生基础较好,认知能力、学习能力和迁移能力较强.在此之前,学生已经学习过“几何图形初步”、“相交线与平行线”、“三角形”和“全等三角形”,已具备一定的空间观念、几何直观、几何推理能力和几何思维.为提升课堂效率,本课主要采用开放性的问题驱动式教学策略.

1.3 学习目标

(1)能够建立几何模型,将实际问题抽象为数学的最短路径问题;

(2)能够利用轴对称、平移等图形变换,将线段和的最值问题转化为“两点之间线段最短”问题或“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”问题;

(3)能根据情境需求,分类讨论,并完成复杂情境向简单情境的转化,体会分类讨论思想和类比、转化思想,体会学科思维习惯,体验深度学习过程;

(4)积极参与问题的探索活动,自主创设情境、提出问题,学会和他人合作交流,体会成功的快乐,提升数学学习的兴趣.

1.4 教学过程

环节一:情境引入 模型建立

早在古罗马时代,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸B地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为“将军饮马”的问题被广泛流传.

问题1:同学们,你能借助于几何图形把这个问题抽象为数学问题吗?

学生活动:学生分析画图,建立几何模型,回答问题:把军营A、河岸B抽象为A,B两点,河抽象为直线l,于是将军饮马问题转化为在直线l上取一点P,使得AP与BP两线段之和最小.

教师活动:引入情境,提出问题,鼓励学生展示建模过程.

设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题,即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

环节二:条件开放 分类讨论

问题2:在直线上l取一个点P,使得线段AP与BP之和最小,有几种不同的情形?

学生活动:画图分析、分类讨论,并与同学交流讨论,达成共识:A,B两点在直线l的同侧和A,B两点在直线l的异侧.

追问1:哪一种情况比较简单?如何解决?你的依据是什么?

学生活动:思考判断、互相交流、组织语言、回答问题:若A,B在直线l的异侧,连接线段AB,线段AB与直线l的交点即为要求的P点.依据是两点之间线段最短(三角形的两边之和大于第三边),如图1所示.

图1

追问2:如果A,B两点在直线l的同侧,如何解决?能否根据所学转化为第一种情况?

追问3:转化的依据是什么?

学生活动:独立思考,对比转化,与同学交流讨论,尝试回答,相互补充:作点A关于直线l的对称点A′,将“同侧”问题转化为“异侧”问题,如图2所示,转化的依据是“线段垂直平分线(对称轴)上任一点到线段两端点的距离相等”.

图2

教师活动:以问题串的形式引导学生分类讨论,先易后难,并利用转化思想解决问题.

设计意图:引导学生全面分析问题,针对不同情境进行分类讨论;关注学生思维生成的过程,通过问题驱动式教学,搭建台阶,为学生探究问题提供“脚手架”,将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题,渗透转化思想;引导学生思考线段和最小问题的依据和将“同侧”问题转化为“异侧”问题的依据,培养学生严谨的思维习惯.

环节三:推理证明 语言规范

问题3:你能用几何语言证明线段和AP+BP最小吗?

学生活动:思考分析,用图形语言与符号语言完成推理证明.

教师活动:关注学生的书写过程,引导学生利用数形结合,用图形语言与符号语言共同完成证明过程,必要时进行思维点拨.

设计意图:进一步体会作法的科学性,训练解题规范,提高学生的逻辑思维能力.

环节四:思想总结 方法提炼

思考1:下面请同学们思考,将军饮马问题中运用的数学方法和思想?

学生活动:回顾研究内容,再现思维生成的过程,独立思考,总结提炼.

设计意图:引导学生回顾解题过程,把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法,完成思想和方法提炼,养成总结思考的习惯,再次体会解题过程中的模型思想、分类讨论思想、转化思想和从简单到复杂的数学研究方法.

环节五:情境开放 应用拓展

思考2:在现实生活中,马不能只喝水不吃草,如果将军先到草地牧马,再到河边牧马.你能不能据此创设情境,然后解决问题呢?请小组交流完成.

学生活动:分析思考,小组交流,分类讨论,自主创设情境,并尝试解决新情境下的问题.

教师活动:先给学生自己独立思考的时间和空间,在必要时引导学生画图建模、分类讨论,类比研究.

设计意图:通过要素开放拓展学生的思维,引领开放性学习,让学生通过类比研究,体会总结的思想方法在新情境中的应用,把握问题核心,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想,巩固应用学习成果.

环节六:方向引领 深化研究

小组作业,请各小组任选一个方向,完成研究性报告:

1.在以上问题中,我们都把将军的饮马地(牧马地)抽象为河边(草地)的某个点,实际情况是否是这样?更一般地,如果把饮马地(牧马地)抽象为河边(草地)的某条线段,如何解决?

2.为了保持马的健壮,将军决定牧马、饮马后,再去沙滩遛马,你能否设计并完成研究报告?

设计意图:在巩固课堂所学的基础上,培养学生深入研究和思考的学习习惯,提升钻研能力,培养学术规范,提高创新意识.

2 深度学习拓展研究

在深度学习的引领下,我们对将军饮马问题展开了如下的拓展研究:

将军饮马2.0:将军从山脚下的A点出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,最后再回到A点宿营.怎样走才能使总的路程最短?

分析:将草地抽象为直线OM,河抽象为直线ON,于是问题转化为:在直线OM和ON上分别取一点P和Q,使得线段AP、PQ与QA之和最小.

情形1:点A在角∠MON外,如图3所示.

图3

作法:如图4所示,过A点作AQ⊥ON交ON于Q,交OM于P,则点P和点Q分别是满足要求的牧马点和饮马点.

图4

依据:(1)两点之间线段最短;(2)点到直线的线段中,垂线段最短.

情形2:A点在角∠MON内,如图5所示.

图5

作法:如图6所示,(1)分别作点A关于直线OM、ON的对称点A′、A′′;

图6

(2)连接A′A′′,交直线OM于点P,交直线ON于点Q,则点P和点Q分别是牧马点和饮马点.

依据:(1)垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等;(2)两点之间线段最短.

总结将军饮马2.0 版本的问题中,运用的数学方法和思想:以上两个情形均属于两线一点的最短路径问题,主要用到了

①模型思想:将实际问题抽象为数学问题;

②分类讨论思想:根据A点在草地与河张成的角的外部还是内部分类讨论;

③类比和转化思想:一、类比经典的将军饮马问题,我们很自然地想到分别作点A关于两条直线的对称点,两个对称点的连线与两直线的交点分别就是我们要找的牧马点和饮马点;二、两线一点的将军饮马问题,是三条线段和的最短路径问题:先固定点P,将三条线段AP、PQ与QA之和的最小值转化为两条线段PQ与QA之和的最小值,于是问题转化为两点一线的将军饮马问题,最小值为A′′P;接下来考虑P点的选取,P为直线OM上满足PA+A′′P最小的点,这又是一个两点一线的将军饮马问题.简言之,我们可以将两线一点的将军饮马问题转化为两个两点一线的将军饮马问题.

将军饮马3.0:将军从山脚下的A点出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,最后回到B点宿营.怎样走才能使总的路程最短?

分析:将草地抽象为直线OM,河抽象为直线ON,于是问题转化为:在直线OM和ON上分别取一点P和Q,使得线段AP、PQ与QB之和最小.

情形1:A、B两点均在角∠MON外,如图7所示.

图7

作法:如图8所示,连接AB交OM于P,交ON于Q,则点P和点Q分别是牧马点和饮马点.

图8

依据:两点之间线段最短.

情形2:A、B两点一个在角∠MON外,一个在角∠MON内,如图9所示.

图9

作法:如图10所示,作点B关于直线ON的对称点B′,连接AB′交OM于P,交ON于Q,则点P和点Q分别是牧马点和饮马点.

图10

依据:(1)垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等;(2)两点之间线段最短.

情形3:A、B两点均在角∠MON内,如图11所示.

图11

作法:如图12所示.

图12

依据:(1)垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等;(2)两点之间线段最短.

将军饮马3.1:如图13所示,将军从A点出发,先到草地某处牧马,再到河边饮马,若将军沿草地走a米,沿河边走b米,最后回到B点.怎样走才能使总的路程最短?

图13

分析:设将军从A点出发,先到草地的点P处牧马,并沿草地走a米到达点P′处,然后到河边的点Q′处饮水,并沿河边走b米到达点Q处,最后回到B点.于是问题转化为当P、P′、Q′、Q在何处时,AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB最小的问题.

因为PP′=a,Q′Q=b,所以AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB的最小值问题可转化为AP+P′Q′+QB的最小值问题.

对比将军饮马3.0 版本,观察到AP,P′Q′,QB是彼此不连接的三条线段,我们只需通过平移使三条线段首尾相接,把问题转化为3.0 版本.

作法:如图14所示,

图14

(1)过A点作草地的平行线,并在平行线上截取AA′=a;过B点作河边的平行线,并在平行线上截取BB′=b;

(2)分别作点A′的关于草地的对称点A′′;点B′的关于河岸的对称点B′′;

(3)连接A′′B′′,交草地于点P′,交河边于点Q′;

(4)分别过点A作AP//A′P′交草地于P点;过点B作BQ//B′Q′交河边于Q点,则AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路径.

依据:(1)平移的性质;(2)垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等;(3)两点之间线段最短.

证明:由上述作法可知,四边形AA′P′P和四边形BB′Q′Q均为平行四边形,由平行四边形的性质可知:PP′=AA′=a,Q′Q=BB′=b,AP=A′P′,QB=Q′B′,所以

AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB

=AP+P′Q′+QB+a+b

=A′P′+P′Q′+Q′B′+a+b

=A′′P′+P′Q′+Q′B′′+a+b

=A′′B′′+a+b.

由前面的分析,可得AP+PP′+P′Q′+Q′Q+QB是最短路径.

将军饮马4.0:如图15所示,将军从A点出发,先到草地某处牧马,再到河边饮马,接着到沙滩遛马,最后回到B点.怎样走才能使总的路程最短?

图15

分析:设将军从A点出发,先到草地的点P处牧马,再到河边的点Q处饮马,接着到沙滩的点R处遛马,最后回到B点.于是问题转化为当P、Q、R在何处时,AP+PQ+QR+RB最小的问题.

类比之前的讨论,可用轴对称的知识将问题转化为“两点之间线段最短”的问题来解决.

作法:如图16所示,

图16

(1)作点A的关于草地的对称点A′;作点A′的关于河边的对称点A′′;作点B的关于沙滩的对称点B′;

(2)连接A′′B′,交河边于点Q,交沙滩于点R;

(3)连接A′Q,交草地于点P,则AP+PQ+QR+RB是最短路径.

依据:(1)垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等;(2)两点之间线段最短.

小结:将军饮马最短路径问题总结如下表1所示.

现实问题数学抽象数学语言将军饮马1.0两点一线最小值问题两条线段和的最小值将军饮马2.0两线一点最小值问题三条线段和的最小值(三角形三边)将军饮马3.0两点两线最小值问题三条线段和的最小值(首尾连接)将军饮马3.1两点两线最小值问题三条线段和的最小值(彼此不连接)将军饮马4.0两点三线最小值问题四条线段和的最小值