想象的分类及培养

摘要：从空间想象到直观想象，不是表述形式上的改写，而是本质内涵上的突破。除了空间想象以外，还有时间想象和因果想象，尤其是因果想象为人类所独有，是人类灵性的主要体现。人类是因为想象而好奇，而不是因为好奇而想象。想象主要发生在潜意识里，有了对它的全面认识和分类，才能从感觉、表象、概念、信念等入手进行想象的培养。

关键词：想象;直观想象;空间想象;时间想象;因果想象

想象是最自由的思考。它可以超越空间、超越时间、超越逻辑，因而也决定了它具有突然性、跳跃性和突破性，成为创造力的源头。在强调全民创新和建设创造型国家的当下，想象力培养显得尤其重要。

但是，想象发生在潜意识里，我们说不清它是怎样发生的，更说不清怎样去促进它，这又给想象的研究带来了困难，也影响了教学中对想象的培养。在现行的基础教育学科课程标准中，只有高中数学课程标准明确地把“直观想象”列为学科核心素养之一（但对它的界定远不如其他学科核心素养那么清晰）。从教学大纲中的“空间想象”到课程标准中的“直观想象”，具体产生了哪些变化，是形式上的还是本质上的？ 这是我们必须面对的问题。

一、概念辨析：从“空间想象”到“直观想象”

《中国中学教学百科全书（数学卷）》对“想象”给出这样的定义：想象是对头脑中已有的表象进行加工、改造和创新的思维过程。 简单地说，就是从已有表象创造出新表象的一种思维。“想象”既是动词，也是名词。

（一）空间想象

教育心理学家大卫·洛曼说：空“间想象能力是一种形成、保持、恢复和传输结果良好的视觉图像的能力。换句话说，就是人们想象物体在空间中如何变化的能力。”这个定义的指向性非常明显，就是图形和图形的运动。

《中国中学教学百科全书（数学卷）》则说：“空间想象能力是空间知觉、空间观念和想象力的一种独特的结合，是对空间表象进行加工、改造、创新的能力。”显然，它把“空间”作为限定词，用以排除与“空间”无关的想象。

众所周知，数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。因此，数学想象就应当不仅有“空间想象”，还有“数量想象”。在实际的数学学习和研究中，我们对大数的想象、对倍数和余数的想象、对正比例和反比例关系的想象等，也是习以为常的。还有，著名的哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、梅森素数猜想、黎曼猜想等，无不是对数的想象。即便是小学生做一道演算题，列式之前也要先在头脑里有对大致的流程以及结果类型的想象。

更一般地，在空间想象以外，是不是还有其他类型的想象？ 我们还缺乏考虑，如此就不可能清晰地辨别“空间想象”与“直观想象”。

（二）直观想象

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》对“直观想象”的定义及说明是这样的：直“观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。”这里的“利用图形描述、分析数学问题”构“建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路”等， 都超出了“空間想象”的范围。而且，“直观” 不是限定词而是强调词，强调了“想象”的固有属性。一方面，想象操作的是表象，形成的还是表象，而表象本身是直观的;另一方面， 想象是人脑的一种思维形式，偏好直观又是人脑的一个自然属性。这就决定了想象的直观属性：世上并无“非直观”的想象，“直观想象”就是“想象”本身。因而，这个定义带来的是根本性认识，是对想象的正本清源。

纲领性文献中如此大的理论突破，本应在学术界引起反响，掀起研究热潮。然而，笔者近期在知网检索发现，关于“直观想象”的文章只有601 篇，与“数据分析”的39602 篇、“数学建模”的35610 篇相差甚远。而这601 篇文章的观点又非常集中而单一，就是把“直观想象”狭隘地理解为“几何直观”，甚至更狭隘地理解为“数形结合”。

（三）对想象的误解

我们生活在空间内，但头脑中绝不仅有空间想象。只是因为我们对空间（能看见）最为熟悉，因而把很多的想象都归为空间想象。这是很大的误解。比如，音乐人对旋律的想象，作家对故事情节的想象，情侣对未来生活的想象，史学家对过往大事的想象，程序员对数据结构的想象，平常人对他人情感的想象， 政治家对人类命运的想象，等等，都不是空间想象。

任何一门学科的前沿———如果有前沿的话———都有想象物的存在。牛顿想象了万有引力以及平方反比律，很久之后，卡文迪许才用实验确定了它。爱因斯坦想象了引力波的存在，百年后的科学家才观测到它。科学家想象了暗物质作为宇宙膨胀的原因，继而又想象了暗能量作为超速膨胀的原因。虽然现在人们还没有观测到它们的任何蛛丝马迹， 但科学界倾向于相信它们的存在，而这一切仍然是想象。

关于宇宙膨胀的想象是空间想象，但关于膨胀原因的想象却不是;关于行星运动轨迹的想象属于空间想象，但关于其运动原因的想象却不是…… 有很多想象不属于空间想象，其重要性却丝毫不逊于它，甚至犹有过之。科学史一再表明，揭示现象背后的原因比记录现象更重要，因为前者的认识更深刻、前景更广阔。

二、想象的分类

是时候对想象进行全面的梳理和分类了，因为所有的理论研究都是从分类开始的。比如，物理学对力的分类，化学对元素的分类，生物学对于动植物的分类，宇宙学对恒星的分类，等等。没有分类就不可能建立起一套科学的理论，成功的分类则标志学科的形成。

（一）从古典分类说起

心理学对于想象的分类有两种：一种是有意想象和无意想象，另一种是再造想象和创造想象。这两种分类从诞生起一直沿用到现在，都很“古典”，也可以说都很“原始”。它们的一个共同点是，都没有把“空间想象”作为独立的子项，在利用它们来看待空间想象时，也只能得到“有意空间想象”和“无意空间想象”，或者“再造空间想象”和“创造空间想象”，而这些并没有带来对空间想象的哪怕稍微深刻一点的认识。事实上，我们可以把任何一种心理活动都分为“有意的”和“无意的”，比如“有意记忆”和“无意记忆”、“有意关心”和“无意关心”、“有意好奇”和“无意好奇”;还可以把任何一种思维分为“再现的”和“创造的”，比如“再现联想”和“创造联想”、“再现归纳”和“创造归纳”、“再现概括”和“创造概括”———这些分类当初都曾被提出过，后来都被淘汰了。对想象的原始分类能沿用至今，算是少有的例外。由此可见对于想象研究的滞后，实践中的种种不解也就找到根源了。

既然空间想象一直被认为是想象的主体类型，对想象的分类就应该把它作为一个子项，在它之外再划分出几个旗鼓相当的子项， 共同建立起一个知识结构。对于这一点，思维的分类就是成功的范例。

很早之前，人们把思维分成“逻辑思维” 和“直觉思维”，在这样的分类下分别研究它们的特点、原则、机制、发生发展以及相互间的联系等诸多问题。时至今日，思维科学的发展可谓枝繁叶茂、学科成群。比如，数理逻辑、形式逻辑等直接提供了计算机科学的底层支撑。当然，计算机目前还不具有人脑那样的想象功能，而其推理功能则远胜于人脑。

不过，真的要对想象进行分类，而且把“空间想象”预设为一个子项，就会发现这个工作并不好做。不说别的，单说找到一个能与“空间”相提并论的名词都不容易。为此， 让我们转向哲学，去寻求深层智慧的启迪。

康德认为，人类认识世界，本质上是认识三种结构，即空间结构、时间结构和因果结构。布尔巴基学派则认为，数学无非是对三种结构的认识，即代数结构、拓扑结构和序结构。而康德对数学的一个解释是“几何是空间的艺术，算术是时间的艺术”，他的另外一句话说得更为显明：“自然数是从时间的直觉推演出来的。”

再回到当今人类的哲学思考。人们认为宇宙的自然本质是时空结构，人类的加入又产生了对因果关系的认识。如此一来，不揣冒昧地，我们可以顺着康德的说法，续写成如下三句话：几何是空间的艺术，算术是时间的艺术，逻辑是因果的艺术。

再一次综合起来，就发现了布尔巴基的数学观、康德的世界观和一般认识论得到了完美的统一，即拓扑结构对应空间结构、代数结构对应时间结构、序结构对应因果结构。有了这样的哲学基础，我们就可以尝试着对想象进行新的分类了。

（二）对新分类的解读

我们可以把想象分为三类：空间想象、时间想象、因果想象（其思维导图如图1所示）。相应的定义就是：空间想象（时间想象、因果想象）， 是人对头脑中对已有的空间表象（时间表象、因果表象）进行加工、改造和创新的认知活动，同时也指由此产生的认知结果。

这个定义中保留了“空间想象”，并完全保留其原有的内涵与外延。另两个子项“时间想象”和“因果想象”在表述形式上与“空间想象”完全一致，彼此不交叉，而且看起来能涵盖所有的想象（是否真的如此有待进一步论证）。这就给想象建立了一个内部结构，而且原本的空间想象也因此更显清晰。

英国哲学家大卫·休谟曾经把联想简化为三条基本原则，即相似性、时空相接和因果关系。心理学家兼经济学家、诺贝尔奖得主丹尼尔·卡尼曼评价说：“自休谟以后，我们对联想的定义发生了很大的变化，但他的三原则仍可以作为定义所有联想的基础。”虽然休谟和卡尼曼所谈的是联想而不是想象， 但考虑到“联想”与“想象”都是虚拟认知，相通之处甚多，可以由此获得一个旁证或参考。

时间想象，包括对时间延续性的想象和对两个时间点间隔的想象，这與对物体的空间广延性和两个物体的距离的想象类似。对于眼睛可见的空间广延性或空间距离，我们可以通过测量的方法去认识。而对于眼睛不可见的空间广延性或空间距离，认识它就是靠想象（空间想象）。对时间的认识完全类似：有限的、眼前的时间，我们通过身体感官来认识它;对于超出感观范围的时间，靠的就是想象（时间想象）。

人类是世界上唯一有规划和计划能力的动物，所有的规划和计划都离不开时间想象。离开了时间想象，人类甚至连基本的回忆都做不到。我们只能记住时间上的关键节点， 回忆时必须靠想象来补全过程和细节，这才使时间成为一个连续统。牛顿认为时间均匀流淌，爱因斯坦突破这种均匀性：当初都是想象！

因果想象，则贯穿于推理的全过程。我们往往认为推理是靠逻辑展开的，这是个误解。要证明两个三角形全等，常见的做法是想象和尝试：“是不是这两边相等？ 如果这两边相等，就会…… 这两个角相等吗？ 我需要……” 推理是靠想象推进的，逻辑只是用来在多种想象中选择“合理”的那个（些）。这些想象中，甚至包含对逻辑进行想象。比如，英国数学家怀尔斯在证明费马大定理时，先有这样的因果想象：应“该可以用椭圆模函数去证明，如果志村谷山猜想是成立的……” 这个逻辑路径本来是没有的，也不是立即就能实现的，这是他头脑想象的产物。有了这个想象后，他又用8年的时间实现了它。若无想象，他的证明工作便无从开始，因为如此多的步骤不可能依靠偶然性对接起来。

大致看来，哥白尼的日心说极富空间想象，达尔文的进化论极富因果想象，牛顿和爱因斯坦的时空观则富有全面的想象。表1给出了较为简明的数学或科学实例。相对来说，因果想象是最不容易被察觉的（人类对空间和时间的认识远早于对因果的认识）， 它对于现代人类和现代社会也尤为重要。从古老信仰中的因果轮回学说，到现今科学理论上的逻辑建构，人们对因果关系的想象始终充满热情甚至迷恋。如果想象中的某种关系被证明（验证）了，就会获得精神上的极大满足。也可以说，原始的以及现代的科学都是为了建立或解释因果关系。如果把想象局限于“空间”而排除“因果”，在描述人们的精神活动和精神享受上就捉襟见肘了。

还有一个对于整个人类有重大意义的例子，那就是种植业和养殖业的出现。种植业和养殖业产生的前提，是对“递推”的认知。人们必须知道，麦粒播下去能结出新的麦粒， 新的麦粒还可以再进行播种并结出更多的麦粒…… 小猪长大了会再生小猪，新一代小猪还会长大并生出更新的一代…… 如果没有这种连续的想象（递推）， 就不可能有播种的行为，因为，种子是“在眼前”的，而收获却是“遥远的将来”。只能说，对远景的想象给人以动力。人类发展出种植业和养殖业，只能是在有了时间想象和因果想象以后，之前就只能采集和狩猎。

如果没有对空间的想象，人类就不会去制作弓箭;如果没有对时间的想象，人类就不会做教育（百年才能树人）; 如果没有对因果的想象，社会的伦理规范、宗教信仰、法律条文将不会具有约束作用。伦理和法律的约束都基于一个前提：人能够预见自己行为所产生的后果，即法人是有行为能力的。

人类的好奇心主要源于因果想象，人是因为想象而好奇，而不是因为好奇而想象。因果想象里还包含着人类情感上的愿望及满足，如果没有想象，人类就将只有反应而没有期待，只有恐惧而没有忧虑，只有兴奋而没有憧憬。

当然，人脑是非常复杂的，而自由的想象更为复杂，因而某次想象更可能是多个种类的协作。比如，想象一个四边形，仅需空间想象;但是，想象一个四边形的折叠和展开，或者想象它在空间中的运动，乃至想象它被一个平面所截，就还需要时间想象和因果想象。总而言之，空间想象通向广阔，时间想象通向悠远，因果想象通向深刻。前两者让我们回答“是什么”，后者让我们回答“从哪里来，到哪里去”。

三、想象的培养

（一）理论支撑

关于意识或認识的分类，古典的做法如图2所示，从前（感觉）到后（信念）的顺序上，认识越来越清晰化、形式化，也可以说越来越高级。其中，感觉和信念是人脑和外界沟通的桥梁;表象和概念是人脑内部建构的产物。人类靠感觉从外界获取信息（感觉）， 经过头脑内神秘的加工过程，形成表象、概念直至信念，又通过信念作用于外界。感觉来自人的身体器官，依赖于人的生物性;信念来自人的头脑，体现人的灵性。信念已归入元认知，有迹象表明，它控制着人脑的内部运作。

但并不是说，所有的感觉都比表象和概念低级和简陋。人类的认识不是一次性完成的，而是阶段性进化、螺旋式上升的（如图3 所示）。上一层级内的感觉与下一层级内的信念衔接在一起，有时候很难区分，但上一层级内的感觉比下一层级内的表象和概念都更高级。

比如，数学家在研究平面几何中的曲线时，定义曲线是“点的集合”。不过，曲线之所以是曲线，源于整个曲线的模式，而不是构成这条曲线的点。曲线里不光有点，更重要的是有结构。教学中，你能告诉学生有哪些点， 却很难告诉他们有哪些结构，结构性的东西最好让学生自己去感觉。至于整体性，可以肯定地说，我们无法看见一个事物的整体，只能看见它的一部分。如一个长方体，我们最多能看见三个面，其余部分靠感觉和想象获得认识。

如果把想象比喻为一只鸟，则感觉是腿， 提供了起飞的动力;表象是翅膀，保证它能飞起来;信念是天花板，提供了飞行的方向并限制飞行的高度;而概念则不能直接被想象操控，它为想象所用的前提是转化为表象（类似于所谓的“概念意向”）。而当概念转化为更高级的表象以后，对想象的帮助又是巨大的。

（二）具体路径

混沌的感觉只能带来情绪和疑惑，清晰的概念只能带来辨识和推理，固化的信念只能带来立场和态度，它们都带不来想象。培养想象，就是要把它们都转化为表象，再把表象本身提升为更高级的表象。怎样做到这些呢？ 直观化。更具体一点说，就是感觉的清晰化、表象的联系化、概念的直觉化、信念的具体化（如图4）。

1. 加强感受，促使感觉清晰化

对同样的外部刺激，不同的人有不同的感觉。感受力越强，感觉就越丰富、越准确， 也就越能激发起想象。虽然说想象是自由的，但想象不可能超越自己的头脑，一个人的过往经验决定了他的想象。提高感觉清晰度的方法，就是增加感受并在此过程中提高感受力，要让身体官能与认知对象充分接触、交流，得到鲜活的刺激，刺激大脑里的知识加工。人有很多的缄默知识无法用语言传递， 除了感受之外别无他路。心理学界最近发展出“具身认知理论”，强调的就是“人的身体感受对意识形成的决定性作用”。

比如，对于正四棱锥的“正”，如果你记住了它的定义“底面是正方形，顶点在底面的射影是这个正方形的中心”，而头脑里没有清晰的图形（如图5所示）， 则一定不会有直接的感受。而只有感受了正四棱锥的“正”，才能建立起它的实在性。物体的实在性来自感受，意义的实在性也来自感受，它们都不能由文字带来。

为此，教学中我让学生做了这样五件事：（1）画一个正四棱锥，注意确保画的真是正四棱锥;（2）说一下其中各个面的形状;（3）“ 绕着这个几何体走一圈，仔细看看每个面”;（4）“ 拿着这个几何体在眼前翻转一下”，想象它在各种位置时的模样;（5）描述一下什么样的四棱锥不是正四棱锥，并画出它的图形。

学生琢磨出了图6所示的正四棱锥的作图步骤，这里“多画”的那条高就支撑起了后续的各种想象，而它本身也是想象的结果（根据定义是没有这条高的）。其后，学生通过想象正四棱锥在各种位置时的模样（如图7所示）， 得出结论：底面不是正方形或者顶点在底面的射影不是底面中心的四棱锥不是正四棱锥。

2. 联系和泛化，提升表象的层级

一般地，表象越是局限于具体对象，越不容易展开想象;越是泛化到更大的类别，越容易引发想象。因此，变换角度和形式，建立广泛的外部联系，都是提高表象的抽象度、增强其涵盖力的途径。

比如，我们脚下的土地，可以有多种表述：眼前的一块空地、辽阔的大地、地球、太阳系中的一个星球、银河系中的一块小石头、宇宙中的一粒微尘……“ 空地”所激起的想象小于“大地”，“大地”所激起的想象小于“地球”;太阳系则能激起更大的想象，但又比不上银河系…… 用宇宙做背景和用“脚边的空地”做背景，可以想象出截然不同的世界。可见，当把一个物体放在更大的背景中去想象的时候，那个“背景”本身就成了可以操控的表象，而得到大幅的提升。潜意识分不清它所操控的究竟是什么，两者都可以打开可能的联结。

再如，当你把“3”当作“一个数”一“个整数”““6是一个完全一个素数”6的一个因子（数）时，”分别会引发出关于整数的想象、关于素数的想象以及关于完全数的想象。与上述“大地”的不同点在于，此处的“数—整数—素数—完全数”越来越具体化，但这并不与先前的结论相矛盾。因为，虽然作为“数”它越来越具体，但是“数的性质”是越来越抽象的。概念的内涵和外延是反向扩展的：内涵越大， 外延越小;内涵越小，外延越大。潜意识分不清内涵和外延，在混沌的思维状态下，所有的联结都可能被呈现出来。

潜意识不能进行逻辑推理，表象的变化和升级可以把其中的逻辑隐去，外在表现就是想象的提升。

3. 多样表征，促进对概念的直觉

把概念转化为表象的路径看似有两条： 一是退化为同级或更低一级的表象，二是升级为更高一级的表象。而实际上，人类的认识有一个奇特的性质叫“棘轮效应”。棘轮是汽车上一种“只能进，不能退”的装置。“棘轮效应”最初是经济学家提出的人的消费观，类似于“由俭入奢易，由奢入简难”。借用于生物进化领域，指的是生物只会向前进化，不会向后倒退（如水生动物登陆后长出肺，即使重返海洋，也不会淘汰自我长出腮来）; 人的认识只能进，不能退（有了新的认识后，不会退回到只有原有认识的状态）。这样一来，把概念用于想象就只剩下一条途径，那就是提升为更高一级的表象。

比如，函數的运动式定义被认为是容易理解的，因为它切合于人的生活经验，显得很具体;函数的集合与对应式的定义被认为是不容易理解的，因为它远离人的生活经验，显得很抽象。但是，当我们遇到常函数、狄利克雷函数时，就会发现集合与对应的观点更自然。集合与对应观点下的函数，有更强的概括性和包容性，函数的有些性质只有在这一观点下才能被直觉所驾驭：利用运动观点下的函数定义，连理解复合函数的概念都是困难的;而集合与对应观点下，即便进行多重复合，也都可以被直观化（如图8所示）， 因而比较容易对复合函数的单调性、周期性、奇偶性以及值域等进行想象。

类似地，还有“数列”的概念。如果把数列理解为“按一定次序排列的一列数”， 那就只有可见的“数的排列”，不易引起更多的想象。而如果理解为“数列是一个特殊的函数”，则函数的诸多性质以及研究函数的方法立即可以被用到数列上，很容易展开关于数列的单调性、周期性、最值等的想象，也很容易由各种函数图像想象出数列的图像。

4. 重塑元认知，关注信念的两面性

要让显意识参与想象，信念可能是唯一的通道，即便是前文所说的对感觉、表象以及概念的改造，也都是通过信念而起作用的。

信念不是知识，而是底层的元认知。我们说某人具有某一信念，不是指他知道这个信念，而是指他在这个信念下行事。信念导引着想象的方向，也限制着想象所能达到的高度和广度。

比如，达尔文在创立了进化论后，也试图寻找生命遗传的科学规律，他认真地做了11 年的实验。与孟德尔一样，他也选择了花的颜色作为观察对象，可是他没有发现任何一条孟德尔发现的遗传律。因为他原本相信“融合律”（比如，紫花与白花杂交，将融合成中间状态的红花或粉红花）， 这个信念决定他不可能想象到颗粒状的基因，甚至让他对杂交二代中紫花和白花的再度分离视而不见。信念对想象的控制力之强，可见一斑。

类似的例子还有很多。信奉地心说的人不可能想象地球绕着太阳转，信奉燃素说的人不可能想象隔绝空气也能灭火，信奉女娲造人的不可能想象猿猴到人的演化过程…… 信念对想象的导引作用有多强，限制作用就有多强（限制又何尝不是一种导引）。

那么，有没有办法打破信念的限制，从而让人的想象获得解放呢？ 有，那就是动用人的理性。

阿达玛在《数学领域中的发明心理学》一书中，详细记载了他对“素数个数无限性”定理证明的心路历程。 表2的内容就证明了存在着比11 大的素数时他的心路历程。

作为顶级数学家，阿达玛对“素数的个数是无穷多”肯定是知道而且绝对是相信的，这是他的信念。但他没有一味崇拜这个信念，而是理性地把它改造成了更可感、更可亲的表象：一堆数→一堆点→很远的一个点→更远的第二个点→中间的一个点→构造出数字表示。这就使他对概念的认识达到了新状态，一种更可操作、有更大发展潜力的状态。

妨碍人类进步的，不是无知而是绝对化。过于执着的信念直接扼杀想象，阻碍思想的创新。爱迪生对交流电的反对、爱因斯坦对量子力学的反对以及高斯对非欧几何的回避，禁锢了他们的头脑，尽管他们已经走到了创新的门槛甚至已经有了创新的成果，也还是退缩了。

当然，理性的人也必然是有信念的，否则他只能被情绪所左右。

四、需要注意的问题

（一）过度训练损害想象

说到七边形，我们能想象出各种各样的七边形;说到三角形，我们能想象到的就不多了;说到圆，我们就不再动用想象，因为我们对圆太熟悉了。而儿童就不同了，在讨论“圆”的时候，他们能想象出“跟太阳一样大的圆”“跟房子一样大的圆”“跟山一样大的圆” “跟天一样大的圆”…… 我们用一个词“任意长的半径”就把大大小小的圆都包括了。此时，圆在我们眼里平淡无奇。当然，我们可以把圆的概念直观化，使对“圆”的想象大为增强，但此时对“圆以外”的想象仍然是削弱的。而如果没有实现圆的概念的直观化，则所有的想象都削弱了。

中学数学教育，整体上遇到了类似的情况。立体几何始终是明确地被用来“培养空间想象能力”的，但新课程体系中“空间角的计算”主要用的是向量法，非常技术化和程序化。用向量法求角，不再需要作出角来，通过坐标运算就可得到，套路明确、方法固定，因此对空间想象的要求大为降低（其实是几乎无要求）。教学中，教师往往是让学生反复地把解方程组、向量运算熟练化。结果是，学生能求出线面角或二面角，但却不知道什么是线面角、什么是二面角的平面角，在用公式的时候分不清线线角与线面角、正弦值与余弦值的情况比比皆是。

（二）标准答案是想象的天敌

小学阶段学习了除法运算以后，会遇到被称为“种树问题”的一类题目，即在一定长度上等间距地栽种树木。实际教学中，教师会总结出“两头种”“一头种”“两头都不种”三种情况，给出固定的套路（如图9）， 让学生练熟并记住。

应当说，教师的总结确实很完备、很清楚，但很多学生面对“在20 米的地上，每隔5 米种一棵树，一共种多少棵？” 这样的题目时， 反而不会做了。原因是，题目中没有说明“是两头种还是一头种，抑或两头都不种”，学生不知道该套用哪个公式。更可怕的是，他们绞尽脑汁去回忆“该用哪个公式”，而不是去思考“该怎么种树”———想象完全被扼杀了，“解题”就只剩下了回忆和再现。

而如果学生想到的是真实的种树情境， 那将是一个生动活泼的场景。比如，把“20 米的地”画成一条线段，一般也会画出等分点。但是，等分点未必就是“栽种点”，第一棵树可以不种到点上，而种在两点之间（如图10）， 这就自然地显示可以种4棵树。

标准答案中的种5棵和3棵，都是极端的例子。若是“在22 米（不能被5整除）的地上种树”“在圆圈上种树”这样的问题，肯定也将让学生无所适从。

如果说一个（类）数学题还可以重新讲解，让学生知道要面对现象而非面对公式，重新唤起对题目的自由想象的话，在其他更多的问题上就不是总能如此了。关于人生和社会的一些观念，一旦进入儿童空白的头脑，就会成为潜意识，从此控制他的一生。核心素养教育的根本宗旨是培养“全面发展的人”， 而如果层层都有榜样、人人都有模板、事事都有标准答案，就不但不需要想象，自由思考也不能有了。人的独立性泯灭了，人格完整便难以实现，更谈不上全面发展了。

（三）想象不仅涉及知识，还涉及情感

没有知识的人一定不会有想象，因为表象也是知识。有知识的人未必有想象，因为想象还需要情感的参与。人在想象开启之前必须有情感的萌动，丰富的想象来源于饱满的激情，在最高的激情处才会有最好的想象———我们称之为“灵感”。人们都喜欢自己的想象，因為想象本就是随着愉悦的情感而来的，不喜欢的想象已经在潜意识里被排斥掉了。艺术大师们想象力最强的时候，也是他们情感最丰沛的时候。情感的枯竭必然导致想象力的丧失。

学习应该在宽松、舒畅的环境下，而不是在权威高压的环境下，后者造就不出自由的灵魂。孔子说的“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，就是这个意思。《吕氏春秋· 察今》里有这样的一句话：见“瓶水之冰，而知天下之寒，鱼鳖之藏也。这”种想象一定是自由的心情带来的，如果一个人对“瓶水之冰” 满是恐惧，肯定无心顾及“天下之寒”和“鱼鳖之藏”。在这方面，具身认知理论再次为教学提供了有力的指导。那就是，当你遇到了困难和烦扰时，逃避是没有用的，靠理性也不能强制自己快乐起来。这时，你有一种方法， 那就是：行动起来！ 美国心理学家詹姆斯的“表现原理”告诉我们：人“不是因为愉快而微笑，而是因为微笑而愉快。”潜意识分不清真高兴还是假高兴。如果假装自己高兴、暗示自己高兴，那么将和自己实际上的高兴激起在大脑皮层同一区域的兴奋，也同样会产生多巴胺和肾上腺素。因此，在情绪低迷时让身体动起来，昂首挺胸大步走或者跑步， 都能带来情绪的转变。某些学校组织学生跑步，喊着整齐而响亮的口号，虽屡遭外界批评却广被效仿，就是因为这样做产生了实际的效果。在短期看，对学校教学确实有利。而历史上一些伟大的发现，也都是思想家在休闲、跑步、游泳等自我释放的时候得到的，哈密尔顿、薛定谔、庞加莱等都亲自记述过这种现象。

五、结语

想象是人的一种极为宝贵的智力品质， 是人类灵性的主要体现。因果想象更是为人类所独有，是好奇心和求知欲的萌发地。人类的所有创造和发明都来自想象，文明和进步都由想象来构筑。就个体而言，想象又促进人的身体感觉，让人的精神更自由。文学家、哲学家波德莱尔说：没“有想象力，一切官能无论多么健康敏锐，都等于乌有。厘”清想象的种类，是对它进行科学化研究的开始，教学实践需要这样的研究。我们需要想象，教育还有很多的事情需要去做。

（孙四周，江苏省苏州市吴江盛泽中学， 特级教师，正高级教师。发表论文200 余篇， 出版《现象教学》《思维的起源》等专著。从2014 年起，致力于“在常规课堂中开展现象教学”的理论与实践研究，相关成果获得第5届江苏省教育科学研究成果特等奖。目前，此项研究正在大力推进阶段。）

① 威廉·詹姆斯.行为改变思想———表现原理[M]. 龙湘涛，编译.海口：海南出版公司，2014：9。

①②曹才翰.中国中学教学百科全书（数学卷）[M]. 沈阳：沈阳出版社，1991：352，352 。

③ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）[S].北京：人民教育出版社， 2020：6。

① 丹尼尔·卡尼曼.思考，快与慢[M].胡晓姣，李爱民，何梦莹，译.北京：中信出版社，2012：35 。

① 雅克·阿达玛.数学领域中的发明心理学[M].陈植荫，肖奚安，译.大连：大连理工大学出版社，2008：80-81 。