韦达定理整体构造方法的巧用

刘天武

摘 要：在解决圆锥曲线问题时，通常我们的做法就是“设而不求”，主要是利用韦达定理计算两根之和、两根之积，然后把所需求解的或者证明的式子全部变形为两根之和、两根之积的形式，代入化简即可完成相关的求解.本文也是类似的解法，但是与之不同的是构造了一个新的方程，将所求的结果整体利用韦达定理.

关键词：韦达定理;设而不求;构造方程;圆锥曲线

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）04-0030-03

1 试题呈现与解析

通过分析近六年的全国Ⅰ卷高考圆锥曲线的大题，可以发现2015年20题，2017年20题，2018年19题，它们的解法一致（韦达定理的整体构造）.这种整体构造韦达定理的思想，考查频率高，而且解法简洁.本文将选取2017年全国Ⅰ卷20题和2021年广东省一测数学20题作为例子，并用该方法去解决.

题1 （2017年全国Ⅰ卷理科数学20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，证明：l过定点.

解法1 （普通解法 ）

（1）C的方程为x24+y2=1.（解答过程略）

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.

情况1 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由題设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为t，4-t22，t，-4-t22.

则k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1，

解得t=2，不符合题设.

情况2 若直线的斜率存在，可设

l：y=kx+m（m≠1）.

将y=kx+m代入x24+y2=1，得

（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1.

而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2

=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2

=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）x1x2.

由题设k1+k2=-1，

故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·4m2-44k2+1+（m-1）·-8km4k2+1=0.

解得k=-m+12.

故当且仅当m>-1时，Δ>0.

所以y=-m+12x+m，即y+1=-m+12（x-2）.

所以l过定点（2，-1）.

解法2（韦达定理的整体构造方法）

我们设A（x1，y1），B（x2，y2），则kPA+kPB=y1-1x1+y2-1x2.因此可以构造一个关于y-1x的一元二次方程，让kPA，kPB的斜率为方程的两根.

设直线l的方程为：mx+n（y-1）=1.

联立x24+y2=1，mx+n（y-1）=1，①②

由①可知：14x2+（y-1）2+2（y-1）=0.

将②式代入上式，可得

14x2+（y-1）2+2（y-1）mx+n（y-1）=0.

即

（2n+1）（y-1）2+14x2+2mx（y-1）=0.

令t=y-1x，既然直线PA与PB的斜率存在，故x≠0，上式同时除以x2，得

（2n+1）t2+2mt+14=0.

因此kPA+kPB=-2m2n+1=-1.

化简，得2m-2n=1.

令x=2，y-1=-2，得x=2，y=-1.

所以直线l过定点（2，-1）.

小结 通过对比两种解法，我们可以发现整体构造韦达定理的方法比普通方法计算要简洁一些，所设的直线方程无需讨论斜率是否存在，运算量小，对学生而言容易掌握.

题2 （2021年广东省一测数学20题）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为32.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若直线l交椭圆于C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为-94，求点P到直线l距离的最大值.

解析 （1）椭圆的标准方程为x24+y23=1.

（2）为了避免讨论直线l的斜率是否存在，且直线l不经过点P，我们可以设直线l的方程为m（x-1）+n（y-32）=1.

联立x24+y23=1，m（x-1）+n（y-32）=1，①②

由①可知：

3（x-1）2+4（y-32）2+6（x-1）+12（y-32）

=0.

将②式代入上式，可得

3（x-1）2+4（y-32）2+6（x-1）[m（x-1）+n（y-32）]+12（y-32）[m（x-1）+n（y-32）]=0.

化简，得4（1+3n）（y-32）2+3（1+2m）·（x-1）2+6（n+2m）（x-1）（y-32）=0.

令t=y-32x-1，既然直线PA与PB的斜率存在，故x≠1，上式同时除以（x-1）2，得

4（1+3n）t2+6（n+2m）t+3（1+2m）=0.

故直线PA与PB的斜率是上述方程的两个根.

因此kPA·kPB=3（1+2m）4（1+3n）=-94.

化简，得2m+9n+4=0.

即-12m-94n=1.

所以直线l过定点Q（12，-34）.

又因为（12）24+（-34）23<1，

所以点Q在椭圆的内部.

设点P到直线l的距离为d，

所以

dmax=PQ=1-122+32--342=854.

所以點P到直线l距离的最大值为854.

小结 如果本题采用普通的解法，我们会发现计算量非常大，基本上很少有人做出来，至少在笔者阅卷的过程中，未曾发现利用普通方法做出来的.但是采用整体构造韦达定理的思路，还是比较容易解决的.

2 试题变式

通过之前的计算，我们可以将2017年全国Ⅰ卷理科数学20题第（2）问改编.

改编1 将“和”改为“积”，其解法是一致的.

设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之积为112，证明：l过定点.

改编2 可推广到更加一般的情况.

已知点P（x0，y0）在椭圆上，设直线l不经过点P且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积为定值，证明：l过定点.

改编3 把上述的“积”改为“和”.

已知点P（x0，y0）在椭圆上，设直线l不经过点P且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之和为定值，证明：l过定点.

改编4 可以把上述的椭圆改为双曲线、抛物线.

已知点P（x0，y0）在双曲线（抛物线）C上，设直线l不经过点P且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率之积（和）为定值，证明：l过定点.

小结 其实不管条件或者证明的结果怎么变化，只要题目有直接或者间接的涉及到了两条直线的斜率之和或者斜率之积的问题时，我们均可以采用韦达定理的整体构造思想解决问题.

参考文献：

[1] 林国红.齐次化法巧解一类圆锥曲线问题[J].高考数学，2019（20）：56-59.

[责任编辑：李 璟]