神奇的鲁洛克斯曲边三角形

苏大明

我们在日常生活中，经常会看到一些看似平常却很神奇的现象，汽车、火车的轮子都是圆形的，却能在地面上平稳地行驶，这是因为各个轮子的轴离地面接触点的距离总是相等的.工人们把一箱重物放在一些断面直径相等的圆棍或圆管上移动（如图1），可以达到既省力又平稳的效果，这是因为圆不管怎样滚动，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的.我们把与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线称为等宽曲线，因而圆也是等宽曲线.显然，等宽曲线的每个方向上的最高点和最低点之间的距离相等.鲁洛克斯曲边三角形也是等宽曲线.

鲁洛克斯三角形（如图2）又称“勒洛三角形”“莱洛三角形”“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，如图3，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.这一特点是鲁洛克斯（F.Reu⁃leaux）在研究机械分类时发现的.

边长为a 的鲁洛克斯三角形的宽度为a，直径为 a 的圆的宽度也为a，我们称这种性质为等宽性.用两条平行线去夹圆弧三角形，会有两种情况出现，第一种情况：如图4，两条平行线中一条与边相切，一条过顶点，连接 AD，则 AD ⊥ l2（切线垂直于过切点的半径），则两平行线的距离为 AD =a;第二种情况：如图5，两条平行线分别过两顶点，此时 l1与弧 AB 相切于 B，l2與弧 AC 相切于 C，所以 BC⊥ l1，BC⊥ l2，故两平行线的距离为 BC =a .综上，圆弧三角形具有等宽性.

同宽度的鲁洛克斯三角形与圆具有一些相同的性质：

（1）作为宽度为 a 的等宽曲线，鲁洛克斯三角形或圆上任意两点间的距离不会超过a .

（2）将将它们放在一个边长为a 的正方形内旋转时，与正方形的每条边都有且仅有一个公共点（图6、图7），且两条对边的公共点的连线是互相垂直的.

（3）它们有相同的周长.边长为a 的鲁洛克斯三角形的周长为3× =πa，直径为 a 的圆的周长为πa .

由于莱洛三角形在一边长为其宽度的正方形内转动时，四个点与正方形的四条边接触（不一定相切）且接触点的位置是不断改变的（如图8、图9），机械学家莱洛也发现了圆弧三角形，并设计出了方孔钻头.

这种圆弧三角形的钻头钻出来的不是标准的正方形，而是如图10所示的圆角正方形.因为莱洛三角形的中心即正三角形的中心（三角形三条中线的交点），所以，当莱洛三角形钻头转动时，它的中心也不像圆孔钻那样固定不变，如图11.

实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动;反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线.

受鲁洛克斯三角形的启发，我们可得到更多的等宽曲线.如以正五边形 ABCDE 的五个顶点为圆心，以对角线 AC =a 之长为半径画五段圆弧，就可以作出一个圆弧五边形，它便是一个宽度为a 的等宽曲线（如图12、13所示）.类似地，还可作出圆弧七边形、圆弧九边形……得到各种“莱洛多边形”，它们都是等宽曲线.

鲁洛克斯的等宽曲线上有“尖点”，即在两条圆弧相交处形成了角的顶点.可以按下面的方法得到没有任何“尖点”的新等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段;以3个顶点为圆心画圆弧，使得3个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和;内角的对顶角所对的圆弧的半径，等于延长线的长.由这样的六条圆弧组成的等宽曲线就没有“尖点”，因此光滑得多了（如图14、15）.

数学家巴比埃在1860年发现了一个定理：所有宽度为a 的等宽曲线都有相同的周长πa，也即是都等于直径为 a 的圆的周长（读者不妨加以证明）.

值得注意的是，等宽曲线不只限于圆弧等宽曲线，人们已发现了完全不包含圆弧的等宽曲线，那是一类特殊的“卵形曲线”.因此我们可以说等宽曲线还有许多离奇奥妙的性质和用途等待我们去研究发掘.