求解函数零点问题的三种途径

师斌

函数的零点是指函数值为 0 时 x 的取值.若函数y = f （x） 的零点为 x0 ，则 f （x0） =0，且 x0 为 y = f （x） 图象与 x 轴交点的横坐标.函数零点问题的命题形式主要有判断在定义域内函数零点的个数、求函数零点的大小或取值范围.本文主要介绍三种求解函数零点问题的途径.

一、利用零点存在性定理

零点存在性定理为：如果函数 y = f （x） 在区间[ a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f （a）·f （b）<0，那么函数 y = f （x） 在区间 （a，b） 内有零点，即存在 c ∈（a，b） ，使得 f （c）=0 ，这个 c 也就是方程 f （x）=0 的根.在运用函数的零点存在性定理解题时，需先根据题意判断函数的连续性，然后求得区间 [a，b] 端点处的函数值，由 f （a）·f （b）< 0 判断出函数在 [a，b] 上是否存在零点.运用函数的零点存在性定理判断出函数存在零点后，便可根据函数在定义域上的单调性以及图象的变化趋势，讨论函数零点的个数.

例 1. 函数 f （x） = ex + 4x - 3 的零点所在的区间为（ ）.

A.

B.

C.

D.

解：由 y = ex与 y = 4x - 3 的单调性可知函数 f （x）在 R 上单调递增.

而

则，所以函数在区间内存在零点.故本题选 C 选项.

对于一些不易求得零点的函数问题，运用零点存在性定理可快速判断出函数在定义域上是否存在零点.函数的零点存在性定理是解答函数零点问题的重要工具，尤其是在判断函数在定义域上是否有零点时非常有效.

二、数形结合

数形结合是解答函数问题的重要途径.在解答函數零点问题时，我们可根据函数的解析式或者性质画出函数的大致图象，这样能快速明确函数的单调性，根据函数的图象求得函数零点的位置、取值范围.

例 2 .已知 x0 是函数 f （x） = 2x + 11 - x 的一个零点，若 x1 ∈（1，x0） ， x2 ∈（x0，+∞） ，则（ ）.

A.f （x1）< 0 ， f （x2）< 0 B.f （x1）< 0 ， f （x2）> 0

C.f （x1）>0 ， f （x2）< 0 D.f （x1）> 0 ， f （x2）> 0

解 ：由可 得 2x= 1x - 1 ，设g（x） = 2x与 h（x） = 1x - 1 ，则两个函数图象交点的横坐标为 x0 ，由图象可知：h（x1）> g（x1） ，即 f （x1） = 2x1- 1x1 - 1< 0 .同理可得：h（x2） < g（x2） ，即 f （x2） = 2x2- 1x2 - 1 > 0 . 故本题的答案为 B .

函数 f （x） = g（x） - h（x） 的零点 ⇔ 函数 y = f （x） 与y = h（x） 图象交点的横坐标.因此，可分别画出 y = f （x）与 y = h（x） 的图象，结合图形讨论两个函数图象的交点，便可判断出 f （x1） 、f （x2） 的符号.

三、利用函数的周期性

在解答有关周期函数的零点问题时，通常需运用函数的周期性.首先在函数的一个单调区间上判断出函数的单调性、零点的大小、取值范围、个数等，然后根据函数周期的定义求得函数的周期，最后根据函数的周期性，讨论在多个周期上函数零点的大小、取值范围、个数等.

例 3 . 已 知 函 数 f （x） 满 足 f （2 - x） = f （2 + x） ，f （7 - x） = f （7 + x） ，且 f （1） = f （3） = 0 .求函数在 [-2013，2013] 上零点的个数.

解：∵ f （2 - x） = f （2 + x） ，f （7 - x） = f （7 + x） ，

∴ x = 2，x = 7 为函数 f （x） 的对称轴.

由f （2 - x） = f （2 + x），f （7 - x） = f （7 + x）可得f （-x） =f （4 + x） = f （14 + x） .

∴ f （x） = f （x + 10） .

∴函数 y = f （x） 的周期为 T = 10 .

∵ f （1） = f （3） = 0 ，

∴ f （-9） = f （-7） = f （11） = f （13） = 0 ，

∴函数在 [0，2013] 上有 404 个零点，在 [-2013，0]上有 402 个零点，

∴函数 y = f （x） 在 [-2013，2013] 上有 806 个零点.

我们根据已知函数关系式明确函数的对称轴以及周期，再根据已知的零点值和函数的周期，讨论函数在 [0，2013] 和 [-2013，0] 上零点的个数，从而求得问题的答案.

总之，解答函数的零点问题，需将函数的零点、方程的根、函数图象上的交点关联起来，并灵活地进行转化，巧妙运用零点存在性定理、函数的周期性，通过数形结合求得问题的答案.

（作者单位：新疆哈密市第十五中学）