中国中学数学建模研究的历程与论题及其启示

汪飞飞，张维忠

中国中学数学建模研究的历程与论题及其启示

汪飞飞，张维忠

（浙江师范大学 教师教育学院，浙江 金华 321004）

数学建模是数学教育研究的热点之一．中国中学数学建模研究大致经历了缓慢起步、迅速发展、深化稳定3个阶段，在数学建模的内涵与价值、数学建模教学、学生数学建模素养评价与培育、学生数学建模素养发展的影响因素等方面取得了丰硕的研究成果．未来中国中学数学建模研究，在内容上应当保持均衡化态势，既要关注数学建模的本体研究，也要注重人的数学建模素养发展研究；在方法上需要克服经验化倾向，愈加重视数学建模的理论研究、实践研究与实证研究的融合，在视角上亟待突破狭隘化局限，可以尝试从社会文化视角探究数学建模教学的社会性问题．

数学建模；历程；论题；启示

数学建模是一个过程，它应用数学对现实世界的现象进行表达、分析、预测或进行其它方式的深入研究[1]．随着核心素养的提出与课程改革的深化，数学建模进入中国各级各类学校课堂已然成为一种潮流．相应地，数学建模研究也颇受关注．有鉴于此，研究者拟梳理中国中学数学建模研究的历程，总结现有数学建模研究取得的成果，并对未来数学建模研究提供一定的启示．

1 中国中学数学建模研究的历程

中国对中学数学建模问题的研究，从课程论、教学论、学习论等视角广泛展开．研究成果形式多样，不仅有学术专著和相关教材，还有大量的学术论文和硕博士学位论文．截止到2020年12月，以数学建模为关键词，在中国知网数据平台上检索符合初等教育或中等教育的文献共783篇，其中CSSCI或北大核心期刊论文78篇，硕博士学位论文309篇．从文献产出量和关注的论题角度，可以将中国中学数学建模研究的历程大致划分为3个阶段．

1.1 缓慢起步阶段（1993—2000年）

中国中学数学建模研究在起步阶段进展相当缓慢，具体表现为：论文产出较少，年均发表量仅为3.875篇．从年度发表量来看，最高值为9篇，有好几个年份发表量仅为1篇；从硕博士学位论文来看，还未出现研究者对数学建模进行系统研究；从著作来看，关于数学建模竞赛的辅导资料如雨后春笋般地出版，但是中学数学建模专著出版较少．

从时间来看，中国对中学数学建模问题的研究最早始于1993年．首篇公开发表的以数学建模为题的论文是杨守谦的“数学建模与中学数学教学”，刊载于《数学通报》1993年第6期．此后进展较为缓慢，8年间仅发表了31篇论文．直至1997年，北京数学会等5部门从应试教育向素质教育转变的教育改革角度出发，批复了“中学数学知识应用竞赛”，这种区域化的数学知识应用竞赛可以说是数学建模竞赛的雏形，才引起学界对数学建模的关注与研究．当时，中国主要是在实践层面组织和推广数学知识应用竞赛，在理论层面，出版了一些数学建模竞赛辅导资料，如北京市教育局教材编审部组织编写的《数学知识应用（初中课外活动教材）》、上海市中学生数学知识应用竞赛委员会编写的《中学数学知识应用精编》等．随着中学生数学知识应用竞赛的深入开展及其对中学数学教育改革的推动作用，中国开始将数学建模视作一种教学实验，开发数学建模校本课程并进行实践探索．与此同时，不同研究者开始从数学建模的内容和意义、数学建模教学等论题探讨中学数学建模问题，中学数学建模研究的专著和编著开始涌现，例如，张思明从数学建模校本课程实施中积累实践经验而著成的《中学数学建模教学的实践与探索》、叶其孝主编的《中学数学建模》等相继出版．另外，有关中学数学建模研究的学术论文开始刊登于《数学通报》《中学数学》等专业期刊．

总体看来，这一时段数学建模研究尚处于缓慢起步阶段．研究主要在实践层面展开，对数学建模的内涵和价值有了初步认识．

1.2 迅速发展阶段（2001—2010年）

21世纪伊始，中国数学教育面临新一轮课程改革，中学数学建模研究在2001年迅速升温．这一阶段论文发表量大增，年均达25.4篇．2002年和2009年是论文发表的高峰年，分别达31篇和36篇．该阶段不仅有硕博士学位论文的出现，还有其它相关编著的出版量也在增多，涉及到数学建模的诸多论题．

这一阶段的研究除继续关注数学建模的内涵和价值外，主要着力于对数学建模活动实施的探讨，同时对中学数学建模教学策略和学生数学应用意识培养的研究不断增加．2001年，徐稼红编著的《中学数学应用与建模》，主要介绍了符合中学生心理认知的社会经济模型、估算拟合模型、优化模型、概率统计模型以及几何应用模型．次年，卜月华等人主编的《中学数学建模教与学》，从实践经验的角度对数学建模作了系统地归纳、整理和总结．在数学建模多年实践探索的基础上，在姜伯驹、李大潜、丁石孙、叶其孝等数学家的广泛认可与大力推行下，数学建模开始以课程要求的形式写入课程标准．2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》将“发展学生的数学应用意识”作为课程理念之一，将“数学建模”列为课程内容，要求在高中阶段至少为学生安排一次完整的数学建模活动．因此，数学建模成为数学教育研究的一个热点话题．为适应新课标要求，七市高中选修教材编写委员会编著的《数学应用与建模（上）（下）》试验本选修教材得以出版．之后，作为数学教育研究的新生力量，硕博士研究生开始加入数学建模研究的行列，关于中学数学建模研究的学位论文不断增多，主要围绕数学建模教学、数学应用意识培养等论题展开．另外，中国中学数学建模研究队伍不断壮大，作者群体趋于多样化，高等院校、中等专科学校、科研院所、中小学等单位的研究者对数学建模均有不同程度的关注．值得一提的是，张思明及其团队为中国中学数学建模研究做出了重要贡献．2009年，申炜和郑玉飞合著的《张思明：中学数学建模的拓荒者》一书出版，该书通过生活史的研究方法，阐述了特级教师张思明的专业发展与数学建模之间的关系．这一阶段，关于数学建模研究的专著相对较少．

总体看来，这是中国中学数学建模研究的一个高峰时段，多元研究方法介入且成果颇丰．此阶段在中学数学建模内涵、价值研究上继续向前推进，同时数学建模教学和数学建模能力培养研究也得到一定的发展．

1.3 深化稳定阶段（2011—2020年）

2011年，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在修订过程中，明确提出模型思想，将原来的“双基”扩充为“四基”，新增的基本思想和基本活动经验一定程度上与数学建模不无关系．数学建模研究经过上一阶段的迅速发展而进入深化稳定阶段，此阶段论文发表量年均为50.8篇．尤其是2018年颁布的《高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模作为数学学科核心素养及高中数学课程内容主线之一．之后，指向学生数学建模素养的课程建设、教材编写和教学变革问题得到进一步探讨．有很多中学数学课程标准和教材研究的著作关注数学建模问题，同时还有数学建模研究专著和译著出版．

对数学建模内涵的认识仍然是持续研究的问题，研究者强调对数学建模的过程性理解．这一阶段，对学生数学建模素养的培养、评价研究骤增，同时，数学建模过程中的教师问题也受到较多关注．中学数学建模研究成果不断涌现，2017年，由梁贯成等人编译的《数学建模教学与评估指南》一书出版，该书不仅包含丰富的案例，还为数学建模教学提供了完整的评价方法．书中的主要观点有：“数学建模是一个过程；数学建模具有重要的育人价值；从学前到大学开展数学建模是可行的；数学建模的教学是有规律的，数学建模的评价是可行的；积累资源是建模实施的重要保证．”[1]2018年，高等教育出版社出版了张思明主编的《从课程标准到课堂教学：中学数学建模与探究》，该书详细论述了中学开展数学建模和数学探究活动的理论与意义，并提供了数学建模和数学探究教学的素材与案例[2]．诸多著作的问世，为中国中学数学建模研究奠定了坚实基础．2019年6月，“京师数学建模教育中心”在北京师范大学成立，为中国数学建模研究搭建了坚实的学术交流平台．此外，据中国知网数据显示，关于数学建模研究的期刊论文和硕博士学位论文的数量也逐年递增，特别地，2019年和2020年各有2篇博士学位论文围绕学生数学建模能力培养与发展问题展开系统研究，中学数学建模研究进入深化稳定阶段．从研究内容、研究方法和研究视角来看，中学数学建模研究的内容更加广泛，有对数学建模教学策略的经验性总结，也有对学生数学建模素养培育与评价的探讨；研究的方法更加科学，由先前对数学建模的内涵及价值的演绎性思辨向现在对学生数学建模素养现状的实证性调查过渡；研究的视角更加多元，既有从课程视角探究高中数学教科书中数学建模内容的呈现问题，也有从教学视角研究数学建模实践中的教师问题，还有从心理学视角研究学生数学建模的认知问题．

这一阶段的中学数学建模研究总体上表现出平稳的发展态势，数学建模的理论研究和实证研究齐头并进．数学建模的理论研究有深化和拓展；数学建模的实证研究呈现出论题多样化、方法多元化、视角微观化的新趋向．

2 中国中学数学建模研究的论题

通过梳理中国中学数学建模研究成果可以发现，学界在数学建模的内涵与价值、数学建模教学、学生数学建模素养评价与培育、学生数学建模素养发展的影响因素等论题上取得了较大的进展．

2.1 数学建模的内涵与价值研究

其一，数学建模的内涵厘定．对数学建模内涵的认识主要有两种，二者虽各有侧重，但具有内在关联性．一种是偏向于手段，把数学建模看作一种实践活动，突出数学建模的过程性．“数学建模是一个从‘现实情境’转化为‘数学问题’，再将结果带回到‘现实情境’进行检验和调整，使得模型不断优化，最终得以更好地解决现实问题的过程”[3]，这个过程并非仅仅是从“现实情境”转化为“数学模型”的单向的、线性过程，而是建立真实世界与数学世界之间可逆的联系[4]，需要不断地从数学世界返回真实世界中检验结果、完善模型．另一种是偏向于目的，将数学建模视作一种能力或素养，指向人的发展．数学建模是一种生活技能[1]，本质上是应用能力，即在实际情境中用数学的眼光发现问题，用数学的语言描述问题，用数学的思维、方法、思想解决问题的能力[5]．这一观点与新版高中数学课程标准对数学建模内涵的描述相吻合．综上，数学模型是一种工具，数学建模是一个过程，这个过程就是运用数学模型在真实世界与数学世界之间进行抽象性、创造性的迭代过程，从而形成人的数学建模能力或发展人的数学建模素养．

其二，数学建模的价值澄明．虽然学者对数学核心素养要素的认识不尽相同，但将数学建模作为数学核心素养之一已成共识．数学建模将成为未来社会中，每个个体都需要拥有的最基本的数学素养．对数学建模价值的认识概括起来有3个方面．一是数学建模的社会价值．世纪之交，就有学者从21世纪的社会特征出发，认为数学建模对未来公民的数学素质培养具有重要作用[6]．二是数学建模的教育价值．新世纪伊始，有学者从学生发展角度论述了数学建模的教育价值，认为“数学建模为培养学生的创新精神和实践能力搭建了一个有效的操作平台，数学建模有利于培养学生的数学观念、科学态度和合作精神，以及认真求实、崇尚真理、追求完美、讲求效率、联系实际的学习态度和习惯”[7]．三是数学建模的学科价值．数学建模最大的特征是具有学科属性，体现了数学的广泛应用性．数学建模是“数学成为人类文化的重要组成部分的关键，将促进数学科学的发展和各门科学的综合”[8]．

2.2 数学建模教学研究

数学建模教学研究成果最多，反映出研究者对数学建模教学的高度关注，主要围绕数学建模教学方式、数学建模教学原则、数学建模认知、数学建模教学策略等问题展开．

其一，对数学建模教学方式的探讨．概括起来，中学数学建模教学有3种方式：一是融入式，指在日常的数学课堂教学中，结合相关内容融入数学建模思想；二是活动式，指以数学建模为主题，单独在课外开展数学建模活动；三是课程式，指与其它数学课程内容一样，单独开设数学建模课程．应注意到，前两种教学方式较多，第三种教学方式尚处探索阶段，如张思明的著作《理解数学：中学数学建模课程的实践案例与探索》[2]详细介绍了北京市部分中学实施数学建模课程的全过程，以及推广的“双课堂”数学建模教学模式．新版高中数学课程标准将“数学建模”定位为课程内容的主线之一，课程式将成为中学数学建模教学的重要形式．

其二，对数学建模教学原则的探讨．这一方面鲜有学者单独论述，主要散见于一些数学建模教学案例中，一般通过“观点+案例”方式论述数学建模的教学原则，主要有主体性原则、目的性原则、关联性原则、层次性原则．主体性原则是指数学建模教学过程中教师应尊重学生的认知差异，给予学生自主权，充分调动学生积极性，让每一个学生主动提出自己的建模方案．目的性原则是指数学建模教学中必须以提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力及应用所学知识解决实际问题的能力为目标．关联性原则是指数学建模教学中解决实际问题所涉及的知识、思想、方法应与数学课程内容有紧密联系．层次性原则是指数学建模教学中教师应以数学本质的理解为前提，以学生认知为重心，最终将数学、学生与教学过程有机统一．

其三，对数学建模认知的探讨．数学建模认知研究是数学建模教学的基础性研究．从心理学视角探讨学生数学建模的认知规律，有助于数学建模教学研究的进一步丰富与完善，以李明振为代表的研究者们进行了如下3个方面的探索：一是从“是什么”入手，建立了数学建模的一般认知过程模型[9]，并揭示了不同水平的高中学生数学建模的认知特点与差异[10]；二是从“为什么”入手，探讨了学生数学建模认知差异的影响因素，发现“高中学生的自我监控水平、创造力水平、数理认知结构、数学建模情感、创造性倾向、认知方式及数学建模信念均与其数学建模学业成就存在显著相关性”[11]；三是从“如何做”入手，思考了提升学生数学建模水平的教学策略，主要有“精拟建模问题、聚焦建模方法、强化建模策略、注重图式教学、活化教学方式”等[12]．以上系列研究成果为数学建模教学的有效实施提供了认知理论基础，后来集结出版成《数学建模认知研究》一书，喻平在该书序言中提到：“这是国内第一本从认知心理角度研究数学建模的专著，可以说是填补了这一研究领域的空白．”[13]

其四，对数学建模教学策略的探讨．无论是数学建模教学理论研究的深化，还是数学建模教学实践的变革，数学建模教学策略具有重要的实践价值．这一方面主要基于4种视角进行探讨．一是主体视角，有从学生视角指出数学建模教学要“准确把握学生数学建模的起点、精心组织学生数学建模的过程、优化促进学生数学建模的应用”[14]，也有从教师视角指出“数学建模教学应先提高教师数学建模能力及数学建模教学能力”[15]．不管是学生视角还是教师视角，其根本指向在于落实数学建模教学的有效性．二是案例开发视角，诸多研究基于对数学教科书中实习作业的改编、生活中短跑运动员步幅的思考以及数学历史名题的探索等案例阐述数学建模教学之道，意在为数学建模教学提供现实的、可行的、易理解的素材．三是过程视角，数学建模是一种过程，有研究就“如何选择或构建合适的数学建模任务、如何对学生可能的建模策略进行预测、如何在课堂教学中组织数学建模活动”等环节进行策略分析[16]．四是技术视角，随着信息技术与数学教育的深度融合，国外学者从理论与实践的角度开展了数字工具支持下的数学建模研究[17]引起中国学者的关注，借助现代信息技术等工具为数学建模教学注入了新的活力．

2.3 学生数学建模素养培育与评价研究

发展学生数学建模素养是当前数学教育教学改革的重要工作，学生数学建模素养的评价、现状及培育等论题引发研究者的思考．

其一，对学生数学建模素养评价标准的探讨．在数学建模素养的课程转化过程中，评价标准指引着课程的设计与教学的实施．这一方面主要是引介国外数学建模素养的评价标准，并进行案例分析．具体看来，评价标准有3种．一是侧重形成性评价，强调学生在“建模循环”过程中的行为表现，一般是对一种目标明确的现实问题的建模，注重学生“通过迭代不断逼近最优模型的过程，包括问题、规划、计算、解释、验证和报告6个环节”[18]．二是侧重终结性评价，强调学生对现实情境的认识以及如何从现实情境中生成数学模型，将评价的重点放在对模型现实意义的解释上，一般是对一些目标模糊的现实问题的建模．在具体评价时，将数学建模能力所涉及的行为细化为“理解和简化问题”“处理问题并发展模型”“对问题的解答结果做出解释”“经验与验证”等子能力，再对各子能力进行赋值评价[19]．三是兼顾数学建模的过程与结果[20]，从“过程—结果”的视角评价学生数学建模的整体表现，采用一种反思的、渐进的评分方式，对学生个体或群体表现出的数学建模能力进行评估[21]，这种融合过程性与结果性的评价取向受到越来越多研究者的认可．

其二，对学生数学建模素养现状的调查．已有研究侧重终结性评价，一般通过问卷和纸笔测验对学生数学建模素养进行评价，所得研究结果不尽相同甚至相悖．有研究发现：学生数学建模能力基本不受其数学学业成绩的影响，数学学业成绩不理想的学生同样可能具有较高水平的数学建模能力[22]，也有研究认为“数理成绩优秀的学生，其数学建模能力也相对较强”[23]．其实，传统的问卷调查或纸笔测验只能考查事实性的知识或标准化的判断，不能反映学生在真实情境中运用已有知识解决问题的能力以及完成任务的过程表现，而表现性评价更能对学生的学习和教师的教学带来积极的影响[24]．“表现性评价更适合检测高认知的、体现复杂性思维的任务，且更有可能促进像数学建模这样的能力获得”[25]，然而这方面的研究较少．

其三，对学生数学建模素养培育的探讨．这一方面，既有从理论思辨视角探讨学生数学建模素养的培养策略，也有基于现状调查后对学生数学建模素养培养提出建议，概括起来，主要从学生内部和外部两方面进行探讨．学生内部方面，有研究认为“中学数学建模活动要结合学生的年龄特点、知识结构和智力水平，以及与日常教学的教材内容分层次开展，数学建模能力培养也要注重阶段性”[26]．学生外部方面，有研究认为创设具体的、熟悉的生活情境非常重要，也有学者持不同看法，如蔡金法等人认为“数学建模并不一定要在学生熟悉的情境中进行，但提供熟悉的情境能够让学生更容易将数学与现实问题建立联系”[9]．

2.4 学生数学建模素养发展的影响因素研究

随着数学建模素养的提出与落实，研究者围绕数学课程标准与教科书、教师、学生及考试等开展了学生数学建模素养发展的影响因素研究．

其一，课程标准与教科书．作为期望的课程，数学课程标准与教科书直接影响着数学建模素养的落实．不管是从数学课程标准的国际比较来看，还是从国内数学课程标准中数学建模内涵的变迁[27]以及不同版本数学教科书的比较[28]来看，可以得出这样的结论：在中国，数学建模正式写入课程标准的时间相对较晚，且课程标准中对数学建模的要求不甚明晰，这也就导致了数学教科书在一定程度上弱化了数学建模内容的呈现．

其二，教师．教师在数学建模教学和发展学生数学建模素养过程中起着至关重要的作用，是实施课程中的关键角色．但从一些调查研究的结果来看，教师对数学建模的认识和教师数学建模素养存在诸多问题．如实验版高中数学课程标准颁布不久，有研究对高中数学建模课程实施中有关教师方面的问题进行分析，发现“数学建模课程师资队伍不足，教师数学建模知识结构欠缺，教师对数学建模的情感态度价值观迷失”等问题[29]．时隔十年，在新版高中数学课程标准颁布之际，有研究发现“数学建模活动目前仍然没有引起教师的关注，在实施过程中往往落空，而且多数教师认为数学建模活动和对数学建模活动的评价相对不那么重要”[30]．

其三，学生．作为数学建模活动的主体，学生是获得课程研究最为关注的对象．然而，学生对数学建模的认识及其数学建模能力也存在问题．有研究认为动机态度、知识经验、认知过程、元认知是影响学生数学建模能力的4个因素[31]，还有研究认为数学建模子能力的专项训练和真实数学建模任务的教学对高中生数学建模能力的发展存在显著的短期效应，数学建模教学干预对高中生数学建模能力自我效能感具有显著的促进作用[32]．这些研究为提升学生的数学建模能力提供了一定的启示．

其四，考试．任何教育改革或课程改革，最终都将回到考试问题上．目前，高考对数学建模的考查主要以选择题的方式呈现，题量占比较少，更多的是强调运用显性的数学模型思想来解决数学问题，如函数模型、线性规划模型、数列模型，几乎没有给学生提供建立数学模型的机会[33]．数学建模的循环过程难以落实于兼具标准化和选拔性的中高考试卷中，使得数学建模的理念与实际相悖．目前，为落实数学建模素养，诸多研究者从理论层面展开探讨，如有研究认为，中高考命题应由“考试大纲的指导”转变为“课程标准的指导”，题目不仅要与课程标准关联，还要具有真实而多元的测试情境[34]．基于核心素养的考试改革前景令人期待．

从课程概念的连续性来看，影响学生数学建模素养发展的因素是多方面的．正视当前数学教育的育人目标，不仅应从学生学习结果的视角审视“培养什么样的人”的目标问题，还应从学生学习过程的视角探寻“培养这样的人”的实现问题，即核心素养的课程转化问题．所谓核心素养的课程转化是指“将具有价值的抽象概念，依据教师教学和学生学习的原则，逐步规划成具体、可行的课程，以供教师有效教学、学生有效学习的过程”[35]．这就需要结合预期课程、实施课程、获得课程展开连续性研究，从中发现影响数学建模课程实施与学生数学建模素养发展的深层原因．

3 中学数学建模研究的启示

纵观中国中学数学建模研究，取得的成果是毋庸置疑的．但当前新课标、新教材、新课堂对数学建模提出了新的要求，数学建模研究任重道远．未来中国中学数学建模研究，至少在研究内容、研究方法和研究视角3个方面还有待进一步“深耕细耘”．

（1）将数学建模的本体研究与人的数学建模素养发展研究相结合．

从研究内容来看，中国中学数学建模研究的内容较为失衡，主要表现为：数学建模的本体研究方面，内涵与教育价值的研究多，外延与落实逻辑的研究少；数学建模教学研究方面，教学策略的研究多，数学建模教学的性质、方式、模式、原则等学理分析少；数学建模素养的评价与培育方面，学生层面的现状调查和培育策略多，对教师数学建模素养的研究少，终结性评价研究多，过程性评价研究少；影响学生数学建模素养发展的因素方面，获得课程层面的研究多，期望课程和实施课程层面的研究少．未来中国中学数学建模研究在内容上应当保持均衡化态势，既要关注数学建模的本体研究，也要注重人的数学建模素养发展研究．

明确数学建模的要义是数学建模研究的基础．不难看出，数学建模与数学模型、数学应用、（合作）问题解决、数学实验等概念较为相近，甚至有研究将数学建模等同于数学模型、数学应用或问题解决．未来，在数学建模本体研究方面，数学建模的要义、相关概念之间的异同、数学建模素养的落实逻辑、数学建模的教育价值等问题有待深入分析．例如，数学建模与数学模型之间的区别在于，建模（modeling）是模型（model）的动名词，《不列颠百科全书》将modeling解释为“塑造艺术”，塑造是一种添加性工艺，这与“建模循环”是一致的．因此，数学建模也具有艺术的特点[1]，可以将数学建模视作数学的塑造艺术．其实，无论是从心理学角度研究数学建模过程中的学生认知特点，还是从教育学角度研究数学建模思想的教学渗透及学生数学建模能力的提升，都未深入到数学建模素养层面．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型，从而解决问题的一种指向人的发展的素养．与日常教学相比，学生在数学建模过程中那些“令人失望者”“保持者”“令人惊喜者”的行为表现及其内在因素问题亟待关注，从而有目的性地培养学生数学建模素养．此外，教师数学建模素养的表现问题也值得关注．教师是课程改革与教学实践的重要指导者，对教师数学建模素养进行探究[36]，主要包括教师对模型与建模本质及功能、模型与建模的内容知识、数学建模的课程知识、数学建模的教学知识等的理解，将有利于数学建模素养的落地和数学建模教学的推进．

（2）重视数学建模的理论研究、实践研究与实证研究的融合．

从研究方法来看，中学数学建模研究的方法较为经验，主要表现为：更多地偏向于实践性的经验总结和演绎性的理论思辨，如对数学建模教学策略和学生数学建模素养培育的探讨；真正具有科学性、学理性、实证性的研究少，如学生数学建模素养的表现研究，大多采用问卷和测试等传统调查方法，鲜有研究采用课堂观察、视频图像分析、聚焦式访谈、路径分析等方法．未来中国中学数学建模研究在方法上需要克服经验化倾向，愈加重视数学建模的理论研究、实践研究与实证研究的融合．

在教育研究中研究方法尤为重要，按照布列钦卡对教育学的认识，中国学者将教育研究方法分为理论研究、实证研究和实践研究[37]．作为数学教育研究的一个领域，数学建模的实践性要求数学建模研究应在本体研究的基础上，注重数学建模素养的实证研究，以顺应中国教育研究的实证转向．在期望课程方面，可以采用内容分析法和个案比较法研究中国数学课程标准与数学教科书中数学建模素养的体现问题；在实施课程方面，可以综合采用聚焦式访谈法和视频图像分析法研究数学建模教学中的学生表现问题，以及采用课堂观察和专家论证的方法建构与析取教师数学建模素养的构成要素问题；在获得课程方面，可以采用问卷调查法和实验法研究数学建模素养与性别、学业成就等变量的关系问题．当然，研究方法的选用只是为了研究的顺利展开，各种研究方法之间也并无不可逾越的鸿沟，比如，对数学建模教学策略的实践研究经过学理分析就可以转化为理论研究，再经过实验、调查等方法的验证就可以转化为实证研究．此外，研究方法没有优劣之分，只有适切与否．比如，学生数学建模素养的评价需要注重表现性与生成性，基于知识学习的“知识理解、知识迁移、知识创新”3种形态[38]，在“期望课程—实施课程—获得课程”这一环环相扣的链环中展开．

（3）尝试从社会文化视角探究数学建模教学的社会性．

从研究视角来看，中国中学数学建模研究的视角较为狭隘，主要表现为：局限于从教学论视角探究数学建模的教学和学生数学建模素养的培养问题；从课程论视角分析数学建模素养在课程标准和教科书中的体现，以及从认识论视角探讨教师或学生对数学建模知识与数学建模课程与教学知识的认识相对较少．未来中国中学数学建模研究在视角上可以尝试从跨学科视角，如社会文化视角研究数学建模教学的社会属性及学生数学建模素养的表现与发展问题．

数学教育作为一个跨学科领域，理应以跨学科视角进行研究，例如，从社会文化视角研究数学建模教学的社会性．社会性是教学的根本属性[39]，数学建模教学是一种浸染在社会情境中的集体性活动，数学模型的建构也是在社会活动中完成的．过去一味强调数学模型的构造或许是数学建模教学难以深化的重要原因，相较于数学模型的构造来说，数学建模最为关键的环节是将真实问题转化为数学问题．从教学的社会性来看，诠释学生数学建模的过程化表现是未来数学建模教学研究的应然方向．从社会文化视角分析数学建模教学中，学生理解情境、提出假设、识别变量、建立模型、论证方案等环节的表现与问题，探讨数学建模中学生话语互动呈现的特征，以及这些特征是如何促进学生完成数学建模任务的．同时，课程是教学社会性的内隐表达，课程与教学的社会互动关系决定着教师对课程的解读和学生对课程的理解．例如，数学教科书中呈现的真实性问题，需要经过教师和学生的改造或意义添加后，才可以转化成数学建模问题，这就需要从社会文化视角探讨教师和学生使用教科书的过程，教师对课程内容的选择与加工为学生提供了很好的数学建模学习机会．

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Progress, Topics and Enlightenments of Mathematical Modeling Research in Chinese Middle Schools

WANG Fei-fei, ZHANG Wei-zhong

(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

In recent years, mathematical modeling has become one of the hot topics in the study of mathematics education in China. Mathematical modeling research in Chinese middle schools has roughly gone through three stages: slow start, rapid development, and deepening stability. Much progress has been made in the connotation and value of mathematical modeling, the teaching of mathematical modeling, the evaluation and cultivation of students' mathematical modeling literacy, and the influencing factors of the development of students' mathematical modeling literacy. In the future, the research on mathematical modeling in Chinese middle schools should maintain a balanced situation in terms of content. It is necessary to pay attention not only to the research on the ontology of mathematical modeling, but also to the research on the development of people’s mathematical modeling literacy; in terms of methods, it is necessary to overcome the tendency of experience and pay more and more attention to the integration of theoretical research, practical research into the empirical research of mathematical modeling. The research of mathematical modeling needs to break through the narrow limitation in perspective, and researchers should try to explore the social problems of mathematical modeling teaching from the perspective of social culture.

mathematical modeling; progress; topics; enlightenments

2021–10–22

全国教育科学“十三五”规划教育部重点课题——指向深度理解的问题链教学研究（DHA200318）

汪飞飞（1992—），男，安徽合肥人，博士生，主要从事数学课程与教学论研究．

G421

A

1004–9894（2022）02–0063–06

汪飞飞，张维忠．中国中学数学建模研究的历程与论题及其启示[J]．数学教育学报，2022，31（2）：63-68．

[责任编校：陈汉君、张楠]