巧追问，散思维，创精彩

宗秋云

[摘  要] 巧妙追问是行之有效的教学手段，使用得当能让学生获益良多，让数学课堂精彩纷呈。文章研究者结合“图形中的规律”一课的教学，谈谈如何巧妙追问，发散学生的思维，创造精彩课堂。

[关键词] 追问;数学思维;图形中的规律;发散

数学学科具有较强的逻辑性，在倡导以素质教育为核心的当下，更应关注学生的个体发展，于是，有的放矢地“巧妙追问”就成了关键所在。事实上，每节课中教师作为课堂的组织者、引导者与合作者，随时都在追问，给予学生思维卡壳处以灵感，给予学生思维错误处以点拨，给予学生思维精彩处以激励，使其学习兴趣越发浓郁，使其数学思考越发深入，使其数学探究越发深刻，极好地发散了学生的思维，让学生意犹未尽，让数学课堂精彩纷呈。

一、基本情况

在教学“图形中的规律”时，笔者通过一连串的课堂追问及环环相扣的数学活动，让学生在独立思考、自主探究和合作学习中获得思维与能力的发展。学生经历了数学探究和发现的过程，丰富了探究体验，发散了数学思维，构建了完善的数学知识体系。这也引发了各种课堂精彩。

二、教学过程

1. 问题驱动，促进发现

师：请仔细观察图1，并说一说每个点阵分别有几个点？

生1：四个点阵分别有1个点、4个点、9个点和16个点。

师：这些点的个数你是如何得出的？能具体说一说吗？

生1：我是一个一个数出来的。

师：其他人呢？有没有不同的方法？请大家细心观察、独立思考并分组交流。

2. 分组探索，生成规律

生2：我们组是计算得出的，第一个点阵有1个点;第二个点阵是边长为2的正方形，共有2×2=4（个）点;第三个点阵是边长为3的正方形，共有3×3=9（个）点;第四个点阵是边长为4的正方形，共有4×4=16（个）点。

生3：我们组深入分析了点阵图的特点，并得出以下规律：1×1，2×2，3×3，4×4，…，即n×n。

师：你们总结得非常好，其他组呢？有没有不同发现？

生4：我们组也是数出来的，不过是用一种“拐弯数”的方法数出来的，利用画折线可以得出算式：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，……就这样不断画下去，可以发现其中的规律：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……即所有奇数相加的和。

生5：我们组通过画斜线进行划分，可以得出算式：1=1，1+2+1=4，1+2+3+2+1=9，1+2+3+4+3+2+1=16，……就这样不断画下去，可以发现其中的规律：1+2+3+…+n+…+3+2+1。

师：那么第5个方阵有多少个点呢？请计算。

生6：5×5=25。

生7：1+3+5+7+9=25。

生8：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25。

師：同学们都很厉害，可以灵活运用自己发现的规律去解决具体的问题。下面，老师再来考考大家，比一比谁算得又准确又快速。计算：1+3+5+7+9+11。

生9（快速反应）：我知道，是36。（其余学生纷纷投来质疑的眼神）

3. 拾级而上，精彩纷呈

师：非常好，生9给我们带来了正确的答案，那他为什么可以计算得这么快呢？你们想知道吗？

生（齐）：想。

师：老师暂时先保密，我们先来回顾刚才三种数点子的方法，你们有何发现？（学生又一次开始了“再发现”的旅程，这一次似乎有了新的发现）

生10：求几个加数的和，不用连加，有更加简便的方法。

师：那你所发现的是什么加数的计算呢？（生10尽管内心十分清楚，但却无法正确表达出来，此时满脸通红，不知如何回答）

师：那么是否就是1+2+3+4=4×4呢？

生10：不是这样的，应是连续奇数相加。

师：是不是3+5+7+9=4×4呢？

生10：也不是，需要从1开始。

师：1+3+5+…+99的结果是多少？

生11：5050，这个问题的答案是高斯告知的。

生12：你说得不对，高斯当初所计算的算式是1+2+3+…+100。

师：很好，看来生12对数学史的了解真正做到了繁多而深入！那么，你觉得结果应是多少？

生12：在这些数中奇数占据一半，我觉得应是5050÷2=2525。

师：其余学生认可他的答案吗？那么，按照发现的规律进行计算，答案应是多少？

生13：我不同意他的答案。如果用刚才的规律计算，因为奇数有50个，所以结果应是50×50=2500。

师：为什么两种方法得出了不同的结果？问题到底出在何处？

生14：由于50个偶数比50个奇数每次多1，那么和就多了50，将多的部分减去剩下的一样多才能除以2。那么正确算法应是（5050-50）÷2=2500。

师：正是因为你们拥有了广泛的知识面，才能将这个问题分析得如此透彻和准确，真是太棒了！现在你们理清了两种方法的误差根源，并探寻到了最简洁的计算方法：50×50+（50×50+50）=5050。现在请一位同学来归纳总结一下奇数求和的方法，谁自告奋勇试一试？

生15：从1开始的n个连续奇数的和等于它们个数的平方。

师：按照这样的分析还能发现什么？

生16：1+2+3+…+n+…+3+2+1=n×n。

师：真不错，总结得不仅精炼而且准确，直观的字母是不是比抽象的文字语言更易理解？其他人都赞同生16的观点吗？（每个学生都点头表示赞同）

师：本课中，我们在自主探究与合作学习中得出了正方形点阵数点子的3种方法，且基于这样的3种方法，让我们又有了新发现，看来，只要我们做一个有心人，就能在仔细观察中有所收获。

生17：老师，我还有其他发现，我可以用第2种方法验证高斯的1+2+3+…+100。（此时，下课铃声骤然响起）

师：要不，方法2的魅力就留给你们在课后自主体验？（学生纷纷摇头，要求当即进行验证）

师：那就请你来板演一下呢？

生17：1+2+3+…+100+…+3+2+1=100×100=10000，10000÷2=5000。

师：为什么不是5050呢？谁能帮助一下生17？

生18：1+2+3+…+100+…+3+2+1这个算式中1到100并没有加到2遍，因此之后的除以2是没有道理的。若想要加2遍，应为1+2+3+…+100+…+3+2+1+100=100×100+100=10100，10100÷2=5050。

师：你们都是会思考的好孩子，居然想到了比高斯更简单的方法！看来，如果时光穿梭，你们一定能成为像高斯那样著名的数学家。可见，仔细观察、独立思考、自主探究、善于发现这些重要的品质在学习中多么重要！

三、回顾与反思

1. 定位课题——双重立意，有效建构

有人认为，本节课的关键之处无非就是让学生掌握图形中的规律，只需要教师在课前做些准备与铺垫，教学过程自然水到渠成，哪里还需要这样煞费苦心地设计一系列问题？本课立意时笔者有双重思考，一方面，问题的解决是对图形的规律深化理解的一个必要步骤，也是学生继续探索的过程。这样不仅可以将枯燥的知识扎根于具体问题，让它在提取时更容易被激活。另一方面，有了以上的大前提，才可以将本节课的教学定位为“巧妙追问下的自主探究”，完全摆脱了传统教学中的“我讲你听”，这是一个事半功倍的教学设计，是值得提倡的。整节课，也正是有了这样的双重立意，使得学生的思维充满生命活力，让思维之花绚丽绽放，创造了一次又一次的课堂精彩。

2. 设计理念——巧妙追问，发散思维

追问，就是在原问题的基础上追加一连串的问题，这一连串问题都是由原问题引开的，它们再一次激活了学生的思维，促使学生进行更加深入的探索。适时而有效的追问是引领学生深入探索的“金钥匙”，是锤炼学生思维纯度的“纽带”，可以更好地提升学生的数学素养。本课中，教师用一次又一次充满数学味的追问，激活富有思维的数学课堂，呈现思维与思维的碰撞、情感与智慧的交融，引领学生一步步深入地往着问题的纵深处探索，让学生在学中思、思中悟、悟中得，最终将学生的思维引向“开阔地带”。

总之，追问体现教师的教学艺术，展示教师的教学机智，不着痕迹地促進教学的自然生成。教师需要全面而深入地把握教材，独到而深刻地解读学生，这是成功追问的基础。有了这样的基础，教师才能在课堂教学中游刃有余地展开追问，从而让课堂时时绽放精彩。当然，基于追问的课堂教学，除去精心预设，教师对可生成资源的机智把握也是十分重要的。总的来说，数学课堂需要基于学生思维的发展，依托问题驱动，以开放的问题为引领，发散学生思维，培养学生素养，促进“四基”与“两能”的真正发展。

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