问题情境是载体 自主应用是关键

摘  要：2020年中考数学江苏扬州卷二次函数压轴题要求学生在简约、和谐、自然的情境下自主发现运动变化过程中的变量依赖关系，自觉构造二次函数解决实际问题，有效考查数学建模素养. 启示自主应用是数学学科核心素养考查的关键，问题情境又是自主应用的平台和保证.

关键词：自主应用;问题情境;核心素养;二次函数

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出数学学科六大核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 考试评价是教学的指挥棒，当前数学教学落实核心素养的最大瓶颈就是数学学科核心素养的考查难以在考试中有效落实.

下面以2020年中考数学江苏扬州卷第28题（“另类”二次函数压轴题）为例分析数学学科核心素养考查的关键和载体.

3. 试题评析

常见的二次函数压轴题多是“抛物线的帽子 + 几何的内核”，即以抛物线为背景，将抛物线与三角形、四边形、圆等图形结合起来考查学生的综合应用能力，对二次函数的来源和应用关注度不够，数学学科核心素养特别是数学建模素养的考查缺失. 说这道题是一道“另类”的二次函数压轴题，是因为这道题试题面貌追求简约和谐，解题方法关注函数本质、回归基本概念，从而在自然情境下让学生自主应用函数模型解决问题，真正考查学生的数学建模素养.

（1）追求简约和谐，创设有利于核心素养展现的自然情境.

此题综合考查一次函数、反比例函数、二次函数这三个初中数学的基本函数. 反比例函数[y=kxx>0]的图象经过点P，此题关于函数的话题开始于反比例函数;点P在线段AB上运动，自然引入一次函数;题目从头到尾没有提到“二次函数”，但要研究点P从点A运动至点B的过程中k的值的变化趋势及最值情况，就必须自主构造函数来研究，自然引入二次函数. 此题作为综合题，试题条件简洁、叙述自然，设问明确，是综合题中非常简约、自然的一道试题.

此题两道小题之间遵循从特殊到一般、从正向到逆向的研究脉络和线索，和谐自然. 第（1）小题研究当n = 1时点P从点A运动至点B的过程中k的值的变化趋势及最值情况，这是正向研究特殊情况;第（2）小题已知点P从点A运动至点B的过程中k的值的变化趋势及最值情况，研究参数n的取值范围，这是逆向研究一般情况.

情境是学生核心素养形成、发展和表现的载体.因此，对学生核心素养的考查也应该在真实自然、富有意义的情境中进行，这里的情境包括生活情境、科学情境和数学情境. 此题情境是一个简约、和谐、自然的数学情境，二次函数模型的建构不是生硬、突兀的指令和要求学生建构，而是解决情境问题的自然需求，有利于学生数学建模素养的展示和外显.

（2）关注函数本质，凸显核心素养考查的自主应用特质.

世界是普遍联系的，某个元素的运动变化必然带来其他相关元素的变化. 初中函数的概念是宏观的变量学说，包含三个要素：一是在一个运动变化过程中;二是有两个变量;三是一个变量随着另一个变量的变化而变化. 初中阶段函数的考查应关注函数概念的本质，让学生体会到函数来源于运动变化过程中变量之间的依赖关系，感悟到函数是研究运动变化过程的有效模型. 此题中，在点P从点A运动至点B的过程中，点P位置的变化必然带来k的值的变化，學生发现k的值与点P位置之间的依赖关系后，就可以构造k的值与点P横坐标之间的函数，然后利用函数研究k的值的变化趋势及最值情况，充分体现了二次函数的来源和应用，有利于学生充分感悟函数概念的本质.

开始做此题的时候许多学生会凭感觉、想当然地以为点P在线段AB两端时k的值分别取得最大值和最小值，而不能严谨、理性地质疑“点P在线段AB中间某一个位置时对应的k的值会不会在上述范围外”. 如果意识到了这个问题，那又如何把点P在线段AB上所有位置时的k的值情况全部考虑到呢？要解决上述问题，唯有利用函数工具来研究. 因此，此题虽然题面简约，但思想内涵深邃，有利于学生充分体会函数模型是严谨、理性、全面、直观地研究运动变化过程的有效工具和手段，充分感悟函数模型思想.

此题从头到尾没有提到“二次函数”，要求学生自主发现k的值与点P位置之间的依赖关系，自觉构造k的值与点P横坐标之间的二次函数，利用二次函数研究k的值的变化趋势及最值，由此外显展示学生的函数建模意识和能力，凸显了核心素养表现的自主应用特征，从而真正考查学生的数学建模素养.

二、“另类”二次函数压轴题对数学学科核心素养考查的启示

学校生活中，在教师的看管、监督下，排队取餐、节约粮食是不能真实体现学生的文明就餐素养的，只有在独自就餐、无人监督的情境下依然排队取餐、节约粮食，才能真正体现学生的文明就餐素养.生活中文明素养的外显和上述“另类”试题有相通之处，启示数学学科核心素养的考查其实是让学生在一定的情境下自主运用相关数学知识、技能和思想方法，解决实际问题的关键能力和思维品质得到自然外显和展示.

1. 自主应用是数学学科核心素养考查的关键

效度是考试评价的一个重要指标，意即测量的有效性，指测量工具或手段能够准确测出所需测量的事物或所测量到的结果反映所要考查内容的程度. 核心素养的考查需要让学生在答题中真实展示自己的素养水平. 因此，自主应用而非外界指令是数学学科核心素养自然外显展示的关键.

因此，问题的设计不应过多铺垫、暗示或指令，以利于学生真实展示自主检索及选择所学知识、技能和思想方法解决实际问题的能力. 这里一定要强调“自主”，以上述“另类”试题考查的函数建模为例，未来工作、学习、生活中遇到实际问题，不会有人告诉或指令学生“这个问题里面有函数关系”“这个问题要先建立××与××之间的函数”，学生遇到实际问题时要能自主发现其中的变量之间的依赖关系，从而主动构造函数解决问题.

2. 问题情境是自主应用的平台和保证

核心素养表现的过程是任务完成的过程，核心素养的考查要让学生从“做题”变为“做事”，在“做事”中自主应用所学知识、技能和思想方法解决问题.“做事”和自主应用需要平台，问题情境就是学生“做事”所需要的外部环境，是自主应用得以实现的平台和保证. 因此，为真实测评学生的数学学科核心素养，要重视问题情境的设计. 当然，这里的情境仍然包括生活情境、科学情境和数学情境.

（1）上述“另类”试题启示问题情境的设计要真实自然.

真实、富有意义的数学实践活动情境是学生数学学科核心素养形成、发展和表现的载体. 在目前的数学教学中，学生在课堂学习中所获得的知识、技能和思想方法之所以无法迁移到实践应用中去，关键就在于学生学习活动所依存的情境被人为地简化和抽象了，缺少与实践应用的连接.

（2）上述“另类”试题启示问题情境的设计要隐秘整合.

核心素养是隐性的，必须通过真实的问题情境以一定的数学实践行为才能体现. 与之相应，指向核心素养的问题情境就需要将诸多条件隐含、整合其中，让学生主动挖掘和提取，然后主动检索、选择相关知识、技能和思想方法解决问题，这个过程即核心素养发挥作用的过程. 若创设的问题情境过于直白，不涉及数学知识的重组和迁移，那么学生的数学学科核心素养就不能得到外显和表现.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]石树伟. 基于标准，关注本质，考查素养：例析二次函数压轴题的命制[J]. 中学数学（初中版），2017（3）：41-43.

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