一题多变教学研究——以“基本不等式求最值”习题课为例

李 芬

(浙江省台州市洪家中学 浙江 台州 318015)

教科书是教师传授知识提供了理论基础，而教育是提高学生学习能力的有效手段。然而，高中数学教学要求教师不仅要提供知识，还要培养学生的思维。因此，教师要善于创新教育，努力提高学生的计算能力和思考能力。利用“举一反三”有效地提高学生的思维模式，有效地提高了学生学习的灵活性。因此，“举一反三”的教育体系是师生的最佳选择。因为举一反三是一种新的教学方法，拓展了高中数学技能，提高了学生的思维能力。

1.一题多变教学提出的背景

近年来，基础教育课程改革处于积极发展阶段，学生个性全面发展的重要性日益凸显。在数学课上，教师越来越强调“问题多样性”的作用。这种教学方法旨在让学生扩展思维，简化答题步骤、类比教学、探索相似性的过程。提出解决问题的想法以轻松解决课堂上各种数学问题的过程。此外，可以极大地发挥学生的思维能力，教师不仅可以教给学生知识，还需要提供自由思考的空间。学生可以通过调查反思所学知识，总结教师在课堂上教授的知识。开放的学习方法可以帮助学生享受学习，同时运用他们自身的思维技能并提高学习成绩。从高中数学课的角度来看，这个题目的选择基于以下几个重要因素：(1)在学生做作业和考试时会发现，很可能学生所需要的大部分知识都掌握不完全的，在测试和作业中经常重复错误。知识点的性质并没有改变，但是如果一旦改变问题之间的关系数量和问题的背景历史，学生就会受到影响，这表明学生的移动和使用能力较低。(2)在课堂上，老师讲的很多，大多数学生还处于被动接受状态，思维明显放缓。上课的积极性不够，学生的好奇心和兴趣不高。(3)很多想提高数学水平的学生，无法体会到生动活泼的数学思维过程，进而感到疲惫与彷徨。(4)与本课题相关的研究不仅限于高中数学，有的侧重于对教师教学方法的考察，有的侧重于考察学生解决问题的能力。但总的来说，根据学校教育的实际情况和学生的实际情况认真学习。通过收集、分析、审查和提炼案例，旨在创建具体的策略、方法和技术，以促进我们数学课的学习，从微观操作层面开始，并具有灵活性。

2.一题多变教学研究的意义

科学研究表明，学生的智力发展集中在初高中阶段，而这一阶段被称为学生智力高峰的过渡期。即使在今天，如果教师按照传统的教学方法把自己看成是小学教育，课堂上的教育效果也不会达到令人满意的程度。因此，在数学课堂中，教学以学生为中心，应该为学生提供更多独立思考和主动学习的空间。基于这个观点，“问题与变化”的教学方法可以很好地满足学生的学习需求。“多变题”是指一两个问题实际上反映了问题的数学现实，满足多变。这使学生可以忽略自己的想法并使用类比来找到这些各种问题的解决方案。在这个过程中，学生可以用自己的思想去反思自己所获得的数学知识，加深他们的归属感。知识，提高你的知识，这套数学知识很容易掌握。

课堂教学采用“多变问题”的方式，可以让学生在实践中或教科书中理解和讨论知识点的相关性和作用，以及它们的各种特点，有助于动态理解所有知识的本质和模式。“一题多变”是学生学习和发展的客观需要和必然趋势。这是教育培训正常发展所必需的。“一题多变”的训练策略是作为一线教师的我们喜欢研究的课题之一，其价值在于建立良好的师生关系，通过探索“进化”的教学方法来促进学生的学习，同时使教师教学理念的更新，可以促进师生之间、学生和学生之间的有效互动，提高课堂教学效率，同时在课堂上能激发学生学习知识和解决问题的欲望，提高课堂积极性。

3.“一题多变”方法的运用

教师在课堂上教授数学不仅要注重知识的传授，还要注重学生思维能力的实际应用。数学是学生非常重要的学科，教会学生解决问题。要解决问题，学生必须灵活运用所学知识，运用创造性思维能力。因此，仅仅依靠教师传授知识并不能帮助学生解决问题。为此，教师可以使用按需学习的方法来提高学生应用方面的技能。可以通过向学生提供不同类型的数学问题，将问题类型更改为“您可以更改问题”。知识的长期积累可以提高和加深学生对知识的灵活应用能力。使学生明白问题的核心，知道题目的类型，如果学生在考试中遇到相同类型的题目，他可以放心地回答它们。那么，应该如何使用这种教学方法才能对学生产生最好的影响呢？

3.1 循循善诱。对于高中生来说，学习新事物并不容易，需要一个适应过程来接受新事物。由于对自己的思维和教学技巧不熟悉，教师在教学时不宜过分心急，不宜混淆以快速达到学习目标，从简单到复杂来讲授，让学生有时间可以吸收，同时让他们更容易吸收老师教授的知识。

3.2 举一反三。“一题多变”的教学方式充分发挥了思维的能力，发散思维的运用使教材的内容更加丰富多样，可以从几个角度呈现了教材的数学知识。在这个过程中，学生必须认识到他们有能力就自己的想法和问题得出结论，并灵活地回答各种问题，教师也应该在学生身上培养这些能力。当学生面临困难时，教师可能不会直接提供答案，但会为学生提供一些技巧，帮助他们独立运用自己的思维技能解决。学生只有自己学会思考，才能向更高的数学水平进阶，提高数学变革能力，能够冷静的解决未来可能面临的数学问题。

3.3 借题发挥。即使在经历了以上两种方法之后，学生仍然需要完成他们数学课的基本任务。许多学生发现解决问题是一个乏味的过程，“问题”这个词让他们很头疼，但只有解决问题才能充分利用他们在数学课上学到的东西。另外，如果学生在解决问题的过程中全神贯注，并且能够获得思考能力，那么这个问题会很有趣，不会很无聊。在提问的过程中，教师要懂得“在游戏中运用问题”，将通过提问所获得的知识进行概括，从而使学生取得更好的学习效果。

4.以“基本不等式求最值”习题课为例研究一题多变教学

教学内容：学考复习，利用基本不等式求函数的最值。

(2)会利用基本不等式求最值，在求解过程中掌握配凑，常数代换法，消元法并通过一题多变的形式，让学生巩固的同时对知识加以归类。

(3)情感目标：学生在利用基本不等式求最值的过程中，重新构建自己的知识结构，学会转化与化归，懂得归类；在计算过程中，学会数据分析，能自觉的进行分离参数，换元这些函数里面常用的方法，从而提高学生的数学计算，数据分析数学核心素养。

教学重点与难点：

重点：常数代换法的探索过程与应用。

难点：学生经历尝试配凑，常数代换法都无法做到的时候，感受消元的魅力。

教学过程设计：

引言：在高中整个数学函数学习中，我们学过哪些求最值的方法？

学生充分讨论，回顾整个高中函数求最值，老师点拨，最后总结：利用函数单调性求最值，根据图象求最值，利用基本不等式求最值从而引出今天要复习的新内容。课题：利用基本不等式求最值

学情自测

设计意图：通过这3个题目,让学生回顾在利用基本不等式求最值的时候，要注意条件“一正二定三相等”从而让学生在下面解题中能引起注意。并且对基本不等式进行了知识回顾：

知识梳理

(1)基本不等式成立的条件：_______________a>0,b>0

(2)等号成立的条件：当且仅当__a=b_____________

(3)基本不等式还可以表述为__两个正数的几何平均数不大于他们的算术平均数。

4.2 几个重要不等式。

(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)重要不等式

4.3 利用基本不等式求最值问题。

已知x>0,y>0则

设计意图：学生通过做题，知道自己需要什么知识，再去回顾知识点，更有针对性，目标更明确，也容易引起学生的共鸣，让课堂更有效。

例题精讲

例1.

(2)已知正实数x,y满足2x+3y=2则xy的最大值____________

(3)2019年浙江4月学考)已知实数x,y满足x2+4y2=2则xy的最大值为______________

设计意图：1和2比较基础，一般学生都能发现为了凑成定值，需要做简单的一些修改，直接用结论就好，配个学考题让学生有信心。

在分析了例1的(1)让学生做这个变式题，让学生明白化解很重要，归类成我们熟悉的题型也很重要。

做了变式1以后，紧接让学生做变式2，学生很容易联想到换元，从而这个题也迎刃而解。所以在知识结构中，要有联想精神，把相同的类似的题目归成一类，从而不搞题海战术。

因为学生基础不好，把变式3放在这里希望学生能联想到变式1，提高学生的概括，以及知识的迁移能力。

设计意图：通过对例1以及变式题的讲解和练习，学生回顾配凑定值的方法，熟悉转化与划归的思想，在数学解题中，分离参数，换元都是手段，在自己的知识结构中，要有这些方法，到用时，才能从容。

例2：

设计意图：例2开始双变量的求最值，让学生体会xy在分母时候，如何来用定值x+y=1,关键让学生明白这中间如何来转换，最后得出常数代换法。

问题：上面两个问题的有没有相同之处？

设计意图：变式1的目的学生体会到其实也是双变量，只是比较隐晦，要学会分析式子的结构，然后懂得在自己知识库里找寻曾经做过类型。

变式2：

变式3：

变式4：

设计意图：变式234同时给学生，让学生充分审题，比较这中间的相同和不同之处，在碰到问题后，我们应该通过哪些数学方法去处理式子。学生通过这些变式学会意识到题是变化不断的，但是方法是有限的，配凑，常数代换，换元要常记心中，灵活应用，提高数据分析，数学运算，逻辑推理的核心素养。

例3：

小结提炼：略

教学反思：《普通高中数学课程标准》提出：要提高习题的有效性，科学准确把握习题的容量难度，防止题海战术。本节课本着这个想法，主要通过一题多变的形式，让学生在回顾基本知识和基本方法的同时，能把自己已有的知识结构得到提升，重新归类，重点记住一些题型，而不是记住这个题目，以达到让学生掌握基础知识，提升数学能力，培育科学态度和理性精神的目标，实现数学育人。

5.一题多变在运用中的注意事项

5.1 一题多变例题的选择要合理。在中学数学教育的背景下，一个很好的例子是帮助学生巩固和巩固他们的知识，提高他们的学习能力。因此，所要求的材料必须与学生的真实学习情况和教材的放置相辅相成。他从浅到深一步步引导和教授学生。改变题目所包含的知识分数和条件或要求，深化题型，提高学生对知识点的理解和应用，提高教育质量和教育效果。

5.2 一题多变并不等同于题海战术。高中有很多数学材料，好的例题可以使学生对所学的知识产生巩固整合的作用，并且能培养学生的学习能力。实现这一目标的一种方法是改变问题。通过改变问题和问题的术语，可以在原始问题的基础上生成一系列成功的类似问题，学生可以发现其内在背景并获得数学知识。参与、学习并通过有限的练习获得更多收益。获得乘法效应的数学问题。这不是因为它改善了学生的学习，而是因为它让学生摆脱了传统的教学方法。这不仅提高了学生的数学能力，也有助于提高他们的思维能力。它还可以提高您提出问题的技能和能力。教师应适当传播教学知识，拓宽学生知识面，唤醒学生求知欲，帮助教师发展有效、高效、可扩展的教学方法。

6.结语

在习题课的教学中，充分考虑了每个例题的功能和价值，明确选题方向，通过设计多个变式，引导学生从同类问题的若干特例出发进行分析，进行习题归类单变量，双变量的转化与化归，最后强调函数求最值时候消元方法的根本。在教学过程中，侧重激发学生的学习兴趣，对题目的探索过程，慢慢寻找合适的解题方法，让学生亲身体会解题过程中，那种“柳暗花明”带来的喜乐感，从而爱上研究数学，爱上数学。