理解变化量,探究切割后长方体表面积的策略

李美红

(浙江省杭州市临平区临平第一小学 浙江 杭州 311000)

1.测试的背景

实际教学中许多数学老师都有这样的经验：长方体表面积的新课教学中，学生能根据实物很快推导其计算公式，但是在实际解决问题的过程中错误五花八门。尤其是正方体切割后变成了两个长方体过程中，产生了新的量。对于这一典型习题。他们到底会想到怎样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。为此，笔者给出一个表面积问题。让五年级的两个平行班的学生去解决“一个正方体切割成两个相同的长方体后的表面积计算。”试图从学生的习题中了解变化量，寻求解决新的长方体表面积的策略，提升学生的空间观念。

2.测试的问题、对象和过程

2.1 测试的问题。一个正方体的表面积是96平方厘米，把它切成两个相等的长方体后，每个长方体的表面积是多少平方厘米？

如果你认为做完题目了，请在下面的□内打√

(1)你认为这道题目有趣吗？

很有趣□ 比较有趣□ 一般□ 无趣□

(2)你认为这道题目难吗？

很难□ 比较难□ 一般□ 不难□

(3)做完这道题，你有什么想法？

2.2 测试的对象。根据现行的小学数学教材，杭州市临平区五年级的学生已经学过了正方体的特征。因此，测试的对象选择了小学五年级的学生各一个班，学生的年龄是11、12岁，人数分别是43、44人。

2.3 测试的过程。某天下午，在学生不知情的情况下，对学生进行测试。在测试前，没有给学生任何的解题提示，直接让学生独立地解答，并自我记录做题时间。如果学生自己认为解题已经完成，就把测试卷交给老师，学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这一正方体切割成两个相同长方体后的表面积的真实水平。测试后，我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，选择了个别学生一一进行访谈。测试与访谈在两天中完成。

3.测试的结果

3.1 我校503班44位学生中有26位学生能正确解答这个面积问题，504班43位学生中有22位学生能正确解答这个面积问题。通过汇总数据分析我们发现503班学生解答这个面积问题的正确率是59%。504班学生解答这个面积问题的正确率是51.2%，有部分学生不能正确地计算长方体的表面积。两个班的正确率比较接近。

3.2 两个班学生解决实际问题方法有所不同，学生思维模式有共性又有差异。细品学生每一份测试卷，我们发现学生的思维模式还是超乎老师想象之外，真可谓教学相长也。主要集中以下几种策略：

策略一：“从变化的面考虑”

先求一个面的面积是16平方厘米；再求变化的面的面积是8平方厘米；变化的面有4个，不变的面的面积有2个。下面是一名学生的解答过程：

据统计503班有5人采用了这一策略，504班有3人采用了这一策略。这类学生仔细观察了题目给出的图形，寻找“变”与“不变”的面，从而解决了每个长方体的面积。由此可见，变化的面和不变的面，学生都在仔细观察思考，这样的观察对教学意义深远。

策略二：“从每个单一的量考虑”

先求出原来正方体一个面的面积；再求出新产生面的面积；然后逆向思维推算现在长方体的长、宽、高；最终解决了新的长方体的表面积。

503班有19人采用了这一解题策略，504班有15人采用了这一策略。这类学生基础知识扎实，紧紧围绕课堂学过的长方体表面积公式，逐一寻找现在的这一个长方体的长、宽、高的量。这说明了打好扎实的基础对提高学生灵活解题也起一定的积极作用。

策略三：“从增加的面考虑”

先求出分割后每一部分的面积；再加上增加的一个面的面积。下面是一名学生的解答过程：

据统计503班有4人采用了这一策略，504班有5人采用了这一策略。这类学生根据“每切一下，增加两个面的知识点考虑。”思维方式灵活，学习潜力很大。教学中可以作为培养学生空间思维的深度和宽广特性。

策略四：“从两个整体的长方体考虑”

先解决原来正方体一个面的面积，图中新产生了两个面的面积，和原来正方体面积之和再除以2就是现在长方体的表面积。如下图所示：

据统计503班有5人采用了这一策略，504班有4人采用了这一策略。这类学生能从整体和局部出发考虑问题，思维方式正确。但列综合算式能力有待提高。教学中应因势利导，不断培养列综合算式的习惯。

策略五：“从转换面的教导考虑”

先求出一个面的面积；再想分开的合在一起就一共是4个面的面积。下面是一名学生的解答过程：

503班有1人采用了这一策略，504班有没有人采用了这一策略。这类学生善于把不同面积的两个面转化成原有图形的一个面，转化思想得到有机渗透。他们学的灵活、有趣。学习不是负担，能够多次体会到学习的乐趣。

策略六：“从每个单一的量考虑”

原来正方体一个面的面积显而易见，图形左右两个面没有变化，上下前后四个面的面积是原来面积的一半。就是如下所示两面的面积加上四个面的面积。

据统计503班有3人采用了这一策略，504班有没有人采用了这一策略。这类学生能够从已知条件入手，不断细化各个元素，从而寻求到题目的答案。分析能力强、思维严谨、有序。

策略七：“从总量中减去变化的面考虑”

先求出原来一个正方体的面积，再用原来的面积总和减去变化的四个变化面的面积。四个变化面的面积相当于原来一个面面积的一半。具体步骤如下

据统计503班有1人采用了这一策略，504班有没有人采用了这一策略。这类学生抓住语文字面意思“减去”的含义入手。减去上、下、左、右四个面就是原来的两个面。文字理解深刻，理解能力强。

3.3 学生是一个个鲜活的生命，他们奇特各异的思维，真是让老师兴奋、激动。他们从自身原生态的思维模式出发，按照自己最初的想法思考。

认知机构有差异、起伏、深度。但是他们具有“整体”、“单一”、看问题的能力；也能渗透“变换”“转换”的数学思想；有“变”与“不变”的角度思考的策略；有从字面意思出发解决的途径；有从基层落实着手解决问题的能力。不同的学生呈现了多种不同的认知结构和思考模式。

3.4 题目的有趣性、难度和答题的正确率之间有着比较密切的关系。我们备课组统计发现两个班对题目有趣度和对题目难度的比例各个层次出奇的接近。兴趣是最好的老师，提高学生对数学的兴趣和爱好是重中之重。

从表1可知，504班学生认为这个面积题的有趣的程度超过了503班的学生。班级差异还是存在的，504学生喜欢挑战自我，超越自我的学风更加热烈些，学习积极性更加高涨些。学生从自己出发或者从他们最最熟悉的同学角度去思考给我们的教学和班上同学带来的思维碰撞。下列是他们做完后的真实想法呈现。

表1 两个班学生对题目有趣程度认定的比例

师：做完这道题，你有什么想法？

生1：这道题不难，我觉得上课认真听和计算方面都不错的话，做对这道题75%的可能性是有的。有些图形题，都要用画图表示。

生2：这道题看上去简单，但公式不懂，意思不懂事做不出来的。

生3：这个题目是锻炼我们的想象能力的。

生4：我的想法是：1、其实很简单，不要想得太复杂；2、是平时做过的题目，积累很重要。

生5：这道题目看似很难，可只要认真计算，仔细审题，理清头绪，就很简单了。

生6：这道题目不是非常难，刚刚做这道题时，我也想来很久，突然就想到作业本上有做到过，就按照老师教的思路写了。

生7：我的想法是：这道题有一点脑筋要转一下的感觉，我想可能对于一些不怎么爱动脑筋的同学，有一点点的难度；我还觉得这道题目应该简化成为一道较难的填空题。

生8：这道题目可以有多种方式解答，很考验一个人的多项思维，真心的不错，题型笔记简单，可以在原有样板上稍加一些难度，可能会更加良好，只是我个人的真实感觉。

生9：认真做事就能成功。

生10：最开始我想成了平方数，所以做不出来，不过后来写好了。

生11：学数学就是在探索无穷的奥秘，每一道题都有乐趣，只有自己解答出来才能懂得其中的乐趣。

生12：我的想法是审题认真，划划重要的词句。

生13：这道题目简单，解法多，比较有趣。

生14：做完这道题，我的想法是：题目要看仔细，不能马上做，先在脑子里想一下顺序再写。

生15：做题目的时候不光要清楚题目的条件，如果有图的话，也要仔细观察图。

生16：我觉得这种类型的题目，主要是在于对图形的掌握，把一个正方体切成两个长方体，其实就是多了两个面，所以只要看懂图形，做这类题目就不难了。

表1中两个班觉得有趣和比较有趣的占了将近50%左右。在统计中笔者还有趣的发现：部分同学采用了多种方法解题。将近30%左右的学生采用了两种以上的方法来思考。

表2可以看出认为一般和不难的学生占了将近50%，有趣的是这部分学生的解答过程正确率相对认为难或比较难的学生来说就高一些。如果我们在教学中，让学生在独立解决问题的基础上，进行讨论与交流，那么学生就能相互启发，从而促进他们有较大的发展。

表2 两个班学生认定题目难度的比例和实际答题的正确率

3.5 男、女同学解题情况人数统计：

图一：503班、504班解题正确人数统计

图二：503班、504班解题错误人数统计

图一中发现503班男生、女生正确的人数接近，504班男生正确人数比女生多；图二发现503班男生错误人数比女生多，504男生、女生错误人数接近。

4.测试分析 策略研究

4.1 兴趣是最好的老师。通过以上学生对题目感兴趣程度和正确率的数据统计，我们发现兴趣是最好的老师，只有学生内心喜欢数学，热爱数学，被数学的学科魅力屈服，这样是真正能学好数学的最高境界。

我们备课组分析学生、研究学生,努力从这些方面着手提高学生学习数学的兴趣。

(1)鼓励为主，每天网上浏览十句夸奖的话语再进课堂。

(2)作用面批交流为主，了解孩子的真实思维再针对性教学

(3)多和家长沟通，表扬孩子的优点，让家长配合一起鼓励孩子。

(4)课堂注重思维的广度和深度的拓展，鼓励孩子敢想敢发表。

(5)和孩子们一起享受数学课堂，注意语音幽默贴近孩子生活。

4.2 针对练习，培养多元策略。图形的教学是一个空间观念培养的关键时期，每天的练习设计要紧密联系课堂实际教学，学习了长方体的表面积计算后，逆向练习，切割后图形的练习设计要具体补充，同时要注重实际教具的演示过程，注重知识的形成过程，让教学也成为一种乐趣，和学生一起享受思考带来的乐趣。

4.3 拓展练习，提升思维深度。没有拓展练习的课堂犹如一池死水，无法激发学生探究的欲望。在基础练习之后，每节课都要适当安排拓展练习，类似于切割正方体表面积求长方体表面积这样可以方法多种多样，思维拓展，方法各异的练习。数学是严谨的学科的同时也要体现数学的开放，提升思维的广度。从而提升学生整体的数学素养。

我们需要不断实践和探索，追寻两者的平衡，基础扎实，进行拓展练习。两者结合展现师生智慧互动的火花。

4.4 空间观念，体验现实意义。通过变化的量想，学生可以从不同的角度来发展空间观念，体验每个面的现实意义。长方体表面积的计算可以从单一面出发，也可以整体思考，可以从增加的面考虑，也可以从减少的面考虑，孩子考虑的角度在变化，同时其他学生的思维可以促进同学之间的共同进步。通过这些途径，学生感知和体验空间与图形的现实意义。

4.5 转换思想，知识融会贯通。转化的思想应用于数学学习的各个领域，但不管在哪方面，它都是以简单的、已知的、实际的、基本的知识为基础，将复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。

学生与学生之间的差异是客观存在的，我们不要也不能期望所有的学生能够齐头并进，让不同的学生在原有的基础上得到不同的发展才是我们努力的方向。

结束语

教学需要积累和反思，且行且思。一个典型习题可以折射出教学问题。从学生中来的资源，是积累和反思的切入点。通过统计学的原理来分析更科学、也更有说法力。在积累中反思，在积累中成长。改变教学行为之前，先改变我们的观念吧。这关乎教学的灵魂和信念，这会让我们的教学行为有了目标和归宿，即便只是一个习题也可以这么深入的思考和提炼。我们的教学真的可以这么快乐而有意义！