多用电表欧姆挡为什么“中值”附近相对误差小?

詹光奕 杨双伟 史 艺

(北京市第101中学)

“多用电表”是高中常见的测量仪表，它可以用来测量电压、电流、电阻，其表盘如图1所示，电阻挡的刻度是不均匀的.在中学物理教学中，通常会直接告诉学生结论:指针应该落在“中值”附近再读值，并基于此结论选择合适的电阻倍率挡位.

图1

为什么指针应该落在“中值”附近呢? 教师给学生的解释一般是中值附近刻度相对“均匀”，估读误差小，但对其依据往往不做说明.

本文基于中学生的学习基础，本着可以自主阅读并理解的角度，以几个进阶问题为线索，从理论上对多用电表欧姆挡测量结果为什么在中值附近相对误差小进行推证和解答.

问题1 多用电表的欧姆挡工作原理是什么?

欧姆表工作分串联式和并联式两类，串联式基本原理如图2所示，并联式基本原理如图3所示.干电池电源电动势、内阻分别记为E、r，G 为表头，其满偏电流、内阻分别记为Ig、Rg.RT为滑动变阻器，其余电阻均为定值电阻.被测电阻(图中未画出)在“－”和“＋”接线柱之间连入电路.

图2

图3

以图2串联式欧姆表为例，测量前，需要进行欧姆调零，“－”和“＋”接线柱之间连入一段导线，即两表笔短接调零.调节RT＝R使表头满偏，此时，根据闭合电路欧姆定律有，其中R＋r＋Rg为欧姆表的内阻，也称该内阻为中值电阻，即R中＝R＋r＋Rg.此后RT的值不再调整.当被测电阻Rx串联接入回路，流经表头的电流为由此可以看出，对于给定的欧姆表，Ix与Rx有一一对应关系.将表头的电流刻度Ix改为与之对应的Rx的阻值，即为欧姆表.

图3所示的并联式欧姆表，虚线框部分等效为一个改装的灵敏电流计表头.测量前，同样需要调节RT使表头满偏，与上面的分析类似，根据闭合电路欧姆定律，Ix与Rx有一一对应关系.将表头的电流刻度Ix改为与之对应的Rx的阻值，即为欧姆表.

任何测量结果都不可能绝对准确.测量值跟被测物理量的真实值之间总会有差异，这种差异叫作误差.

测量值与真实值之差的绝对值，称为绝对误差.绝对误差与测量值的比值称为相对误差.相对误差一般用百分数来表示.

问题2 欧姆挡的相对误差与哪些因素有关?

以串联式欧姆表为例，欧姆挡测电阻的测量值

由式①可知，电阻测量误差主要需考虑两点，一是欧姆表中值电阻R中的误差，二是电流表的测量误差ΔIx.欧姆表中值电阻R中的误差主要由电源电动势和内阻的变化引起，一般情况下该因素引起的测量误差可以忽略不计.所以下面主要针对电流表的测量误差ΔIx进行分析.

对式①求微分可得

由式③可以看出，欧姆表电阻测量的相对误差和电流的绝对误差、电流测量值Ix，以及满偏电流Ig有关.

问题3 欧姆挡为什么“中值”附近相对误差小?

在表头精确度一定情况下，电流测量值的绝对误差仅由表头本身决定，可以认为不变，即|ΔIx|一定.那么根据式③可知当指针指在中值位置时，即Ix＝Ig2时相对误差最小.

用图4表达式③电阻测量的相对误差与电流测量值关系.

图4

为了在测量不同大小电阻阻值时指针都能指在中值附近，需要改变中值电阻，也即内阻阻值.图2中串联式欧姆表改变中值电阻，需要改变电源电动势.而图3中改变中值电阻，可以改变虚线框内的等效表头的满偏电流，并不一定要改变电源电动势，实际欧姆表内部大多采用图3的连接方式.

(完)