几何图形研究思路的探究

李玥

【摘  要】三角形是最简单的几何图形，是研究其他几何图形的基础，而《三角形的边》作为起始课，是学生对三角形第一个性质的学习，为后面角的性质的学习等也提供了探究思路和方法。以人教版《三角形的边》为例，谈谈如何在几何教学中帮助学生建构几何图形的研究思路，培养数学核心素养。

【关键词】三角形的边;数学核心素养;几何图形

三角形是在研究了线段和直线基础上的又一几何图形，是最简单的几何图形，而多边形可以按不同方式分割成若干个三角形，并应用三角形的性质来研究。古希腊几何学以三角形为研究主角，就是因为三角形既简单而又能充分反映空间的本质[1]，所以三角形是研究其他几何图形的基础，为接下来研究全等三角形、等腰三角形、相似三角形和平行四边形等内容奠定了知识基础和研究思路，在整个几何教学中至关重要，具有重要的研究价值。而《三角形的边》作为三角形的起始课，是学生对三角形第一个性质的学习，为后面角的性质的学习等也提供了探究思路和方法。初中数学具有六大核心素养，这是重要的教学目标，尤其在几何教学中，更多地涉及数学抽象、逻辑推理、直观想象等能力。本文即以人教版《三角形的边》为例，谈谈如何在几何教学中帮助学生建构几何图形的研究思路，培养数学核心素养。

一、分析教学内容

教学实施前，分析教学内容是必要的前提。《三角形的边》这节内容是人教版八年级上册第十一章三角形中的第一节第一课时，涉及三角形的概念、分类、三边关系等内容。教学的主体是学生，故需了解学情，准确把握教学起点。学生在小学时已经学过有关三角形的一些知识，也了解三角形的许多性质，在七年级第四章《几何图形初步》和第五章《相交线与平行线》中又学习了线段、平行线、相交线等知识，这些知识是本节内容的基础，本节课正是在已有知识内容的基础上继续研究。另外，该年龄段的学生思维活跃，易对学习对象产生兴趣，在学习时也能够自觉地与实际生活和已学过的知识相联系，并具有一定的自主学习能力。但同时，学生在逻辑推理和数学应用能力上有一定欠缺，通过推理的方法证明有关结论有一定难度。明确了这些，也就明确了教师在本节内容上的教学目标。

二、培育核心素养

（一）设计问题串，培养学生数学抽象能力

学生在接触三角形之前，已经在七年级学习了更简单、更基础的点、线等几何元素，学习了线段、射线和直线，两条直线间有相交和平行两种位置关系等知识，其中线段正是组成三角形的基础。在本节课的教学引入部分时，可先不让学生直接回忆小学学过的三角形内容，而是引导学生回顾七年级学过的点、线等知识，为后面帮助学生串联起几何知识，总结几何图形研究思路打下基础。教师可以在引入部分设计几个问题，帮助学生回忆旧知：

问题1：首先回顾一下，我们在七年级学习了哪些几何图形？几何图形最基本的元素是点，点动就得到了什么？（学生：线）

追问：我们学过哪些线？（学生：线段、射线、直线）

追问：如果增加一条线，两条线可以组成哪些几何图形？（学生：平行线、相交线和角）

追问：如果再增加一条线，三条线又可以组成哪些几何图形？

对于最后这个追问，学生可能会有遗漏或说不清楚分类的标准，这里就可以再次向学生渗透几何图形研究的其实就是两种关系——数量关系和位置关系。当考虑三条线组成什么图形的时候，可以根据位置关系分类，而类比判断两条线的位置关系时关注的是两条线是否有交点，于是研究三条线的位置关系可以关注三条线的交点个数，进而得到四种几何图形。其中，交点个数为0时，三条直线平行;交点个数为1时，三条直线交于一点;交点个数为2时，两条平行线被第三条直线所截;交点个数为3时，就出现了这节课的主题——三角形。四种情况中前三种学生已经研究过了，于是顺其自然地揭示课题：第四种构成的几何图形——三角形是我们本章要学习的内容。

这里渗透了分类讨论的数学思想方法，同时对分类的标准进行强调，也为后续三角形的分类做了一个铺垫。

问题1是从知识的本质联系角度引入课题的，为学生后续建构几何图形研究思路起到了引领作用。但对于刚升入八年级的初中生来说，也要提供一些实际例子让学生了解三角形在生活中的广泛性和重要性。于是设计了问题2：观察多媒体展示的图片，通过观察分析找出图片中的三角形，并在PPT图上把这些三角形描出来。通过生活中的真实例子，学生认识到三角形是一种基本的几何图形，从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微小的分子结构，直至我们熟悉的交通工具，到处都有三角形的形象，使得学生对三角形这个图形有了更清晰的认知。

而本节课的最后，再对所学知识进行归纳小结，提出问题：这节课我们从哪些方面来研究三角形？经过本节课的学习，学生会自己总结：学习了定义、分类、性质等方面，而从定义、分类、性质三方面研究三角形，也是我们研究几何图形的一般思路。于是本节课小结部分就与前面的引入部分前后呼應，既帮助学生认识了今后研究几何图形的一般思路，也为本章三角形后面的学习起到了引导作用。

当学生能从图形中找出三角形后，可以请学生回顾小学时是怎么对三角形下定义的。于是设计了问题3：在小学我们是怎么定义三角形的？

学生对三角形概念的认识可能就只是三条线连起来，但这并不严谨。这里教师可以运用教具直观演示并设计了一些反例（如图1）帮助学生完善对三角形的更全面的认识：三角形是由三条线段构成的，但这三条线段连起来的时候不能“出头”，也就是需要

“首尾顺次相接”。而且，还需要满足“不在同一条直线上”，像图1-（6）这样是构成不了三角形的。通过这些，学生就抽象出了三角形的概念。

图1                图2

接下来用符号语言表示三角形及其顶点、边和内角，并出示课堂练习1：图2中有几个三角形？用符号表示这些三角形并进行变式：（1）以E为顶点的三角形有哪些？（2）以∠A为内角的三角形有哪些？通过这个课堂练习，给学生渗透找三角形的顺序，做到不重不漏，进一步落实了边、角、顶点等知识。

同样先请学生回顾小学时是怎么对三角形进行分类的。提出问题4：在小学阶段，我们对三角形是怎么分类的？

虽然在前面的学习中已经渗透了分类要注重标准，并且不重不漏。但是学生刚开始回答这个问题时会把锐角三角形、等腰三角形等放在一起，这里可向学生再次强调，首先要明确分类的标准——角还是边。学生比较清楚的是按照内角的大小来分类，而按照边的相等关系分类时会出现困惑，有些学生会把等腰三角形和等边三角形看成并列的两类。这时，教师可借助PPT帮助学生回顾和理解等腰三角形（顶角、底角、腰、底边）和等边三角形的概念，在概念明确后，学生自然就明确了三角形的两种分类。

（二）从实验操作到推理论证，培养学生的直观想象和逻辑推理能力

推理，包括合情推理和演绎推理。通过培养学生的空间观念，乃至针对图形的几何直观，可以提升学生几何方面的合情推理能力[2]。在直观想象后还需要严谨的证明，做到有理有据，培养学生的演绎推理能力。

这节课重点研究三角形的边的性质——三角形的三边关系，于是设计问题5：任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长一样吗？

首先请学生观察、思考，得出BA+AC>BC，这两条线路的长不一样，同时还要说清楚推理依据：两点之间，线段最短。由实验操作得出的结论会让学生忽略数学的严谨性，所以还需要进行推理证明，向学生渗透从实验操作到推理论证的数学思维。因为问题中的三角形是任意的，于是就得到了一般的结论：三角形两边的和大于第三边，并用符号语言表示，可以列出三个不等式。接下来将上述三个不等式变形，会得到：三角形两边的差小于第三边。于是，对第三边来说，它小于两边之和，大于两边之差。

三角形的三边关系这个性质有什么作用呢？这里可设计几道练习题，并让学生总结归纳解题策略。

问题6：下列长度的三条线段能否组成三角形？

为什么？

（1）3，4，8（  ）;（2）5，6，10（  ）;（3）6，11，5（  ）。

因为一个三角形的三边满足任意两边之和都大于第三边，所以判断三条线段能否构成三角形就需要判断这三条线段是否满足任意两条线段之和都大于第三条线段。部分学生可能会忽略“任意”这个点，在解答时思维定势，误认为每题都是选第1条和第2条线段的和与第3条线段比较大小来判断能否组成三角形。另外，学生也会产生疑问，因为“任意”选取两条线段时会有三种可能，那这三种可能需要一一比较吗？实际上，学生经过探究思考会发现，只要计算较小的两条线段和与最长线段比较就可以了。于是学生就归纳出解决此类题目的策略：只要满足较小的两条线段之和大于最长线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形。

问题7：用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边长的4倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？

这道练习题交给学生板书完成并分析解题思路，一方面由学生归纳出解决此类题目的策略，渗透分类讨论的数学思想方法。另一方面教师也要强调解决几何问题通常通过画图简洁明了，体现了数形结合的数学思想方法。

总之，通过几道练习题引导学生归纳出三角形三边关系有两个主要的作用：一是可以判断三条线段是否能构成三角形;二是提供了一个不等关系，可以依此性质列不等式，进而求线段的范围。

三、反思教学过程

三角形是最简单的几何图形，是研究其他几何图形的基础，从定义、分类、性质三方面研究三角形，也是我们研究几何图形的一般思路。而《三角形的边》作为三角形的起始课，起到了引领的作用，为后续的学习也提供了探究思路和方法等。比起三角形的相关概念、分类、性质等最终结论，研究三角形的过程和思路更为重要。学生在探究中独立思考、交流合作，經历了知识的生成与建构过程，既整体把握了知识间的逻辑结构，又获得了研究几何图形的研究思路等经验，从而在今后其他平面图形的学习过程中迁移经验，进一步提高各方面能力，培养数学核心素养。数学知识并不是零散地分布，它需要置于整体知识体系中，这就对教师提出了更高标准的要求。为更好地进行几何教学，帮助学生对几何图形进行研究，需要教师详细地了解知识的逻辑结构、背景及相关素材，需要教师具备广博的知识，建构丰富的知识体系，这对教师的专业发展也起到了极大的促进作用。

【参考文献】

[1]项武义.基础几何学[M].人民教育出版社，2004.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京人民教育出版社，2012.

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