注重函数性质交汇 明晰函数图象判别

黄雅兰

(广东省东莞市第一中学 523000)

基本初等函数的性质是高考试题中最为常考的一种题型之一，通过函数图象去研究函数性质是数学方法中常见的一种研究手段，本文立足函数性质，分析了函数图象的相关问题.

1 函数性质的综合应用

例1 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)为偶函数，若f(-1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=( ).

A．4 B．2 C．0 D．-2

解法1f(x)是定义在R上的奇函数，

所以-f(x)=f(-x).

①

因为f(x+1)为偶函数，

所以f(-x+1)=f(x+1).

②

在②式中，用x+1替代x，

则f(-x)=f(x+2).

所以f(x)=-f(x+2).

③

在①式中，令x+2替代x，

则-f(x+2)=f(-x-2).

④

因为f(-x-2)=f[-(x+3)+1]，

再根据②式关系，得

f(-x-2)=f[-(x+3)+1]=f[(x+3)+1]=f(x+4).

综上所述，得f(x)=f(x+4).

所以f(x)的周期为4.

由已知得，f(x)是定义在R上的奇函数，则

f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,

f(2)=f(1+1)=f(-1+1)=f(0)=0,

f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,

f(4)=f(0+4)=f(0)=0,

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

解法2 由f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)为偶函数，可知函数f(x)是周期为4的周期函数.

又f(-1)=2,取f(x)=-2x,x∈[-1,1],

则f(1)=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=2，f(4)=f(0)=0.

所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

点评已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

2 函数图象的识别

图1

所以f(x)是偶函数.

所以f(x)的图象关于y轴对称，故排除C,D.

即f(x)<0，故排除B，选A.

例3(2021年广东湛江模拟)已知函数f(x)的图象如图2所示，则f(x)可以为( ).

图2

点评函数图象与解析式之间的4种对应关系:

(1)从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性判断图象的升降变化趋势；

(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；

(4)从函数的周期性判断图象是否具有循环往复特点．

3 函数图象的变换

例4已知定义在区间[0,4]上的函数y=f(x)的图象如图3所示，则y=-f(2-x)的图象为( ).

图3

图4

解法1先作出函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y=f(-x)的图象；然后将y=f(-x)的图象向右平移2个单位，得到y=f(2-x)的图象；再作y=f(2-x)的图象关于x轴的对称图象，得到y=-f(2-x)的图象.故选D.

解法2先作出函数y=f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y=-f(-x)的图象；然后将y=-f(-x)的图象向右平移2个单位，得到y=-f(2-x)的图象．故选D.

点评通过图象变换识别函数图象要掌握的两点：

(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；

(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．

4 函数图象的应用

图5

故方程2f2(x)-3f(x)+1=0有5个解．

点评利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等，当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.